第VII部分 论流体的运动及抛射体所遇到的阻力

    命题XXXII 定理XXVI

    如果两个相似的物体系统由数目相等的小部分构成，且对应的小部分相似且成比例，在一个系统中的每一个对在另一个系统中的每一个，处于彼此相似的位置，且具有密度相互间的给定之比，且它们彼此在成比例的时间开始相似的运动（在一个系统中的小部分彼此之间且在另一个系统中的小部分彼此之间），如果在同一个系统中小部分相互不接触，除非在反射的瞬间；亦不相互吸引或者排斥，除非加速力与对应的小部分的直径成反比且与速度的平方成正比：我说，那些系统的小部分在成比例的时间彼此继续相似的运动。

    我说，相似且处于相似位置的物体在成比例的时间彼此的运动相似，当那些时间结束时，它们相互之间总在相似的位置：假如一个系统的小部分与另一个系统对应的小部分相比较。因此时间成比例，在此期间由对应的小部分画出相似图形的相似且成比例的部分。所以如果存在此类的两个系统，它们对应的小部分，由于在运动开始时的相似性，将继续相似的运动，直到它们彼此相遇。因为如果没有力的作用，由运动的定律I，它们将在直线上均匀地前进。如果它们由某一个力相互作用，且那些力与对应的小部分的直径成反比，且与速度的平方成正比，因为小部分的位置相似且力成比例，总的力，由它对应的小部分受到作用，由每个作用力（按照诸定律的系理2）合成，有相似的指向，一如它们趋向位于小部分中的相似的中心，且那些总力彼此如同每个分量，这就是，与对应的小部分的直径成反比，且与速度的平方成正比；所以使对应的小部分继续画出相似的图形。只要那些中心静止（由第I卷命题IV系理1和系理8）事情将会如此。但如果它们运动，因为移动的相似性，它们的位置在系统的小部分之间保持相似；在小部分画出的图形中引入相似的变化，所以，对应且相似的小部分的运动相似直到它们初次相撞，且所以相撞相似，反射相似。然后（由已证明的）小部分之间彼此的运动相似直到它们再次相撞，且如此继续，以至无穷。此即所证 。

    系理1 因此，如果任意两个物体，它们相似且相对于系统的对应的小部分处于相似的位置，在成比例的时间它们开始相似的运动，且如果它们的大小和密度彼此如同对应的小部分的大小和密度：这些物体在成比例的时间继续相似的运动。因为对两个系统中较大的部分与对小部分，情况是一样的。

    系理2 如果两个系统中所有相似且位于相似位置的部分彼此静止，且它们中的两个，它们大于其余的，且在两个系统中相互对应，沿位置相似的线开始无论何种相似的运动，它们引起系统的其余部分的相似的运动，而且其余部分之间在成比例的时间继续相似的运动；且因此画出的空间与它们的直径成比例。

    命题XXXIII 定理XXVII

    假定同样的情形，我说，系统的较大的部分受到的阻碍按照来自它们速度的二次比和直径的二次比以及系统的部分的密度之比的复合比。

    因为阻力部分地来源于向心力或者离心力，由它们系统中的小部分相互作用，部分地来源于小部分和较大部分的相撞和反射。第一种阻力彼此如同整个引起运动的力，阻力来源于此，亦即，如同整个加速力以及对应的部分的物质的量；这就是（由假设）与速度的平方成正比且与对应的小部分的距离成反比，又与对应的部分的物质的量成正比：且因此，由于一个系统中小部分的距离比另一个系统中对应的小部分的距离如同前一系统的小部分或者部分的直径比后一系统中对应的小部分或者部分的直径，且物质的量如同部分的密度和直径的立方；阻力彼此如同速度的平方和直径的平方，以及系统的部分的密度。此即所证 。后一类阻力如同对应反射的数目和力的联合。但反射的数目彼此与对应部分的速度成正比，与它们的反射之间的空间成反比。且反射力如同对应部分的速度和大小以及密度的联合；亦即，如同部分的速度和直径的立方以及密度。且如果所有这些比联合起来，对应部分的阻力彼此如同部分的速度的平方和直径的平方以及密度的联合。此即所证 。

    系理1 所以，如果那些系统是像空气那样的两种弹性流体，且它们的部分相互静止；此外两个相似物体与流体的部分的大小和密度成比例，且在那些部分中被放在相似的位置，两者沿位置相似的直线被抛射；且加速力，由它流体的小部分相互作用，与被抛射的物体的直径成反比，且与速度的平方成正比：那些物体在成比例的时间在流体中引起相似的运动，它们画出的空间相似且与它们的直径成比例。

    系理2 因此在同样的流体中一个快速的抛射体所承受的阻力，差不多按照速度的二次比。因为，如果力，由它远离的小部分相互作用，按照速度的二次比被增大，阻力将精确地按照相同的二次比；且因此在一种介质中，它的部分由于它们彼此远离而没有力相互作用，阻力精确地按照速度的二次比。所以，令A，B，C为由相似且相等并按等距离规则分布的部分构成的三种介质。设介质A和B的部分以彼此如同T和V的力相互退离，介质C的部分完全隔离这种力。且如果四个相等的物体D，E，F，G在这些介质中运动，前两个物体D和E［分别］在前两种介质A和B中，且后两个物体F和G在第三种介质C中；又设物体D比物体E的速度，且物体F比物体G的速度按照力T比力V的二分之一次比：物体D的阻力比物体E的阻力，且物体F的阻力比物体G的阻力，按照速度的二次比；且所以物体D的阻力比物体F的阻力如同物体E的阻力比物体G的阻力。令物体D和F等速，如同物体E和G；且按照任意的比增大物体D和F的速度，再按照同一比的二次方减小介质B中的小部分的力，介质B任意靠近介质C的形态和条件，且因此相等且等速的物体E和G在这些介质中的阻力持续接近相等，使得它们的差在最终变得小于任意给定的差。所以，由于物体D和F的阻力彼此如同物体E和G的阻力，它们也类似地接近等量之比。所以物体D和F的阻力，当它们更迅速地运动时，接近相等；且因此，由于物体F的阻力按照速度的二次比，物体D的阻力很接近地按照相同的比。

    系理3 在任意弹性流体中快速运动的一个物体的阻力几乎与如果流体的部分的离心力被隔离，且不相互退离时一样，只要流体的弹性力来源于小部分的离心力，且速度如此之大致使力没有足够的时间［发生］作用。

    系理4 因此，由于相似且等速物体的阻力，在一种其远离的部分不相互退离的介质中，如同直径的平方；等速且快速运动的物体在弹性流体中的阻力也很近似地如同直径的平方。

    系理5 且由于相似，相等且等速的物体，在同样密度的介质中，介质的小部分不相互退离，无论那些小部分是较多且较小，或者是较少且较大，在相等的时间与相等的物质的量相撞，所以在那些物质上施加等量的运动，且反过来（由运动的第三定律）物体受到来自流体物质的相等的反作用，这就是，受到同等的阻碍；显然在相同密度的弹性流体中，当［物体］非常快速地运动时，它们的阻力近似相等；无论那些流体由较粗糙的小部分构成，或者由非常精微的小部分构成。介质的细微性对非常快速地运动的抛射体的阻力没有大的减小。

    系理6 所有这些论断在其弹性力来源于小部分的离心力的流体中如此。但如果那个力有别的来源，例如小部分以类似羊毛或者树枝的方式扩张，或者由于任意其他的原因，它使小部分之间的运动更少自由；阻力，由于介质的较小的流动性，较在以上的引理中为大。

    命题XXXIV 定理XXVIII

    如果一个球和一个圆柱由相同的直径画出，在由相等且彼此等距地自由放置的小部分构成的稀薄介质中，沿圆柱的轴的方向以相同的速度运动：球的阻力是圆柱的阻力的一半。

    因为介质在同一个物体上的作用是相同的（由诸定律的系理5），无论物体在静止的介质中运动，或者介质的小部分以同样的速度撞击处于静止的物体；我们考虑物体，一如它是静止的，且让我们来看由于介质的运动它被何种冲击推动。所以，指定ABKI为以C为中心，CA为半直径画出的球体，且介质的小部分以给定的速度沿平行于AC的直线碰到那个物体的表面，又设FB为这样的［平行］直线。在它上面取LB等于半直径CB，且引BD，它与球切于B。在KC和BD上落下垂线BE，LD；则力，由它介质的小部分沿直线FB与球面在B倾斜地相碰，比一个力，由它同样的小部分与以轴ACI围绕球画出的圆柱ONGQ在b垂直地相碰，如同LD比LB或者BE比BC。再者，这个力沿着它的相碰的方向FB或者AC移动球的效力（efficacia），比它沿确定的方向移动球的效力，亦即，沿直线BC的方向直接推动球的效力，如同BE比BC。且由比的联合，一个小部分沿直线FB倾斜地碰在球上，它沿相碰方向移动球的效力，比相同的小部分沿相同的直线垂直地碰在圆柱上，它沿相同的方向移动圆柱的效力，如同BE的平方比BC的平方。所以，如果在bE上，它垂直于圆柱的底面的圆NAO且等于半径AC，取bH等于（BEquad. ）/（CB）：则bH比bE如同小部分在球上的效力比小部分在圆柱上的效力。且所以立体，它由所有的直线bH占据，比一个立体，它由所有的直线bE占据，如同所有的小部分在球上的效力比所有的小部分在圆柱上的效力。但是，前一个立体是以顶点C，轴CA和通径CA画出的抛物线形体（parabolois），且后一个立体是外接抛物线形体的圆柱：习知抛物线形体是外接抛物线形体的圆柱的一半。所以介质在球上的整个力是其在圆柱上的整个力的一半。且所以，如果介质的小部分静止，且一个圆柱和一个球以相等的速度运动，球的阻力是圆柱的阻力的一半。此即所证 。

    解释

    由同样的方法可以比较其他图形彼此之间的阻力，且能发现那些更适于在阻力介质中继续它们的运动的图形。如以圆形的底CEBH，它由中心O，半径OC画出，和高OD构作一个圆锥截形CBGF，它所受到的阻碍在沿轴的方向朝着D前进时小于任意其他以相同的底和相同的高构作的圆锥截形：高度OD平分于Q，并延长OQ至S，使得QS等于QC，则S为需求的圆锥截形的顶点。

    附带地，由于角CSB总为锐角，因此，如果立体ADBE由椭圆形或者卵形ADBE围绕轴AB旋转生成，且生成的图形被三条直线FG，GH，HI切于点F，B和I，使得GH在切点B垂直于轴，且FG，HI与同一GH包含135度的角FGB，BHI，则立体，它由图形ADFGHIE围绕相同的轴AB旋转生成，所受的阻碍小于前一立体；只要两者都沿它们的轴AB的方向前进，且两者的端点B在前面。的确，我认为这个命题对将来造船不会没有用处。

    但如果图形DNFG为此类曲线，如果从它的任意点N向轴AB上落下垂线NM，且由给定的点G引直线GR，它平行于在N与图形相切的直线，又与轴的延长截于R，作成MN比GR如同GRcub. 比4BR×GBq ；立体，它由这个图形围绕轴AB旋转画出，在以上所说的稀薄介质中自A向B运动，它所受到的阻碍小于以相同的长度和宽度转动画出的任何立体。

    命题XXXV 问题VII

    如果一种稀薄的介质由小部分构成，它们极小，静止，相等且彼此等距地放置，需求在此介质中均匀前进的一个球所遇到的阻力。

    情形1 设想在相同的介质中，一个以相同的直径和高度所画的圆柱以相同的速度沿自身的轴的长度［的方向］前进。且我们假设介质的小部分，它们与球或者圆柱相碰，以最大可能的反射力弹回。又由于球的阻力（由上一命题）是圆柱的阻力的一半，且球比圆柱如同二比三，再者垂直碰到圆柱的小部分，被最大可能地反射，传送它自身速度的二倍给它们。因此，圆柱在均匀前进中画出其轴的长度的一半的时间，传送给小部分的运动比圆柱的整个运动，如同介质的密度比圆柱的密度；且球，在均匀前进中画出其整个直径的时间，传送相同的运动给小部分；又在画出其直径的三分之二的时间，传送给小部分的运动比球的整个运动，如同介质的密度比球的密度。且所以，球遇到的阻力比一个力，由它球的整个运动在球均匀前进中画出其直径的三分之二的时间能被除去或者生成，如同介质的密度比球的密度。

    情形2 我们假设介质的小部分与球或者圆柱相碰而不被反射；则圆柱向与它垂直相碰的小部分，传递其单纯的速度给它们，且因此所遇到的阻力是前一种情形的一半；又球的阻力也是前一种情形的一半。

    情形3 我们假设介质的小部分从球弹回的反射力既不是最大又不是零，而是某个平均的力，则球的阻力按照第一种情形的阻力和在第二种情形的阻力之间的同一个平均比。此即所求 。

    系理1 因此，如果球和小部分无限坚硬，所有弹性力被隔绝，且因此所有反射力也被隔绝：球的阻力比一个力，由它在球画出其直径的三分之四的时间能除去或者生成它的整个运动，如同介质的密度比球的密度。

    系理2 球的阻力，其他情况相同，按照速度的二次比。

    系理3 球的阻力，其他情况相同，按照直径的二次比。

    系理4 球的阻力，其他情况相同，如同介质的密度。

    系理5 球的阻力按照一个比，它由来自速度的二次比和直径的二次比，以及介质的密度之比复合而成。

    系理6 且球的运动以及它的阻力的能如此表示。设AB为时间，在此期间由于球的阻力的均匀持续能使球失去其全部运动。竖立AD，BC垂直于AB。且设BC为整个运动，再过点C，以AD，AB为渐近线画双曲线CF。延长AB至任意点E。竖立垂线EF交双曲线于F。补足平行四边形CBEG，并引AF与BC交于H。则如果球在任意时间BE，它的初始的运动BC均匀地持续，在无阻力介质中画出的空间CBEG由平行四边形的面积表示，同一物体在阻力介质中画出的空间CBEF由双曲线的面积表示，则其运动在那段时间结束时由双曲线的纵标线EF表示，其运动失去的部分由FG表示。且在同一时间结束时其阻力由长度BH表示，阻力失去的部分由CH表示。所有这些由第II卷命题V系理1和系理3是明显的。

    系理7 因此，如果球在时间T由于均匀地持续的阻力R失去其全部运动M：同一个球在有阻力的介质中经时间t，在那里阻力R按照速度的二次比减小，失去其运动M的（tM）/（T+t）份，剩下（TM）/（T+t）份；且球所画出的空间比由均匀的运动M在相同的时间t所画出的空间，如同数（T+t）/T的对数 （38） （logarithmus）乘以数2.302585092994比数tT，因为双曲线BCFE的面积比矩形BCGE按照这个比。

    解释

    在此命题中我已展示了球形抛射体在不连续的介质（medium non continuum）中的阻力和迟滞，且我显示这个阻力比一个力，由它球在以均匀持续的速度画出其直径的三分之二的时间能除去或者生成球的整个运动，如同介质的密度比球的密度，只要球和介质的小部分是高度弹性的且具有最大的反射力；但这个力，在球和介质的小部分无限坚硬且隔绝任何反射力时，减小一半。此外，在连续的介质中，如水，热油，以及水银中，在其中球不与流体所有产生阻力的小部分相碰，而只压迫最靠的小部分，且这些小部分压迫其他的小部分，它们又压迫其他的小部分，如此下去，在这种介质中阻力减小一半。球在这种极端的流体介质中遇到的阻力比一个力，由它球在以那个均匀持续的运动画出其直径的三分之八的时间能除去或者生成其整个运动，如同介质的密度比球的密度。这正是后面我们要努力表明的。

    命题XXXVI 问题VIII

    确定从圆柱形容器底部开的一个孔中流出的水的运动。

    设ACDB 为一个圆柱形容器，AB为其上方的开口，底CD平行于地平线，EF为在底中间的圆孔，G为孔的中心，且圆柱的轴GH垂直于地平线。再想象一冰柱APQB，它与容器的腔有相同的宽度，且有相同的轴，又以均匀的运动持续下降，它的部分一接触到表面AB就化成液体，当它们化成水由其重力流入容器，且在它们的下降中形成瀑布或者水柱ABNFEM，再从孔EF中穿过，并恰好充满它。设冰下降的和在圆AB附近的水的均匀的速度是水下落且由下落画出高度IH所能获得的速度；又IH，HG位于一条直线上，且过点I引直线KL平行于地平线交冰的边缘于K和L。则水从孔EF流出的速度等于水自I下落且由下落画出高度IG所能获得的速度。且因此由伽利略的定理，IG比IH按照从孔流出的水的速度比水在圆AB的速度的二次比，这就是，按照圆AB比圆EF的二次比；因为这些圆与通过它们的水的速度成反比，水在相同的时间以相等的量恰好通过它们。这里所考虑的水的速度朝向地平线。而平行于地平线的运动，由它下落的水的部分彼此靠近，由于它不起源于重力，亦于改变起源于重力的垂直于地平线的运动，这里没有加以考虑。确实我们假设水的部分略有凝结，且由于其凝结在它们下落时由平行于地平线的运动而彼此靠近，使得它们只形成一个瀑布而不被分成几个瀑布，但起源于那种凝结的平行于地平线的运动，这里我们没有考虑。

    情形1 现在想象整个容器的腔内包围下落的水ABNFEM，充满冰，使水通过冰如通过一个漏斗。且如果水与冰几乎不接触，或者，这是一回事，如果水接触冰且由于冰极光滑，水很自由且全然没有阻力地滑过它；水以与以前同样的速度从孔EF流出，且水柱ABNFEM的整个重量用于产生如同以前的向下流体，再者容器的底承受环绕的冰柱的重量。

    现在在容器中的冰溶化；则水流出的速度保持与以前一样。它不小于以前，因为冰化成的水努力下落；它不大于以前，因为冰化成的水不能下落，除非对其他下落的水的阻碍等于其自身的下落。同样的力在流出的水中应产生同样的速度。

    但是在容器的底部的孔，因为水的小部分在流出时的倾斜运动，［水流的速度］应稍大于以前。因为现在水的小部分不都垂直从孔通过；而且从容器侧面各处汇流并聚积于孔，以倾斜的运动通过；其路径向下弯折，它们汇合为一水流，在孔的下方较在孔中稍细，它的直径比孔的直径近似地如同5比6或者 比 ，只要我对直径的测量无误。我设法得到在中间穿孔的一块很薄的平板，圆孔的直径为八分之五吋。且流出的水流在下落中不会被加速并由于加速度变细，我将这块板安在容器的侧面而不是底部，使得水流沿平行于地平线的直线流出。然后，当容器中充满水时，我打开孔使水流出；且水流的直径，在离孔二分之一吋的距离，尽可能准确地测量，得出为四十分之二十一吋。所以此圆孔的直径比水流的直径，很近似地如同25比21。所以水流过孔，从各个方向会聚，且流出容器之后，由于会聚而变细，且由于变细而被加速直到离孔半吋远，且在那个距离按照25×25比21×21或者近似地17比12，亦即约略按照二比一的二分之一次比较水流在孔中时细小和快速。由实验证实在给定的时间通过在容器底部的圆孔流出的水量，是以上面所说的速度，不是通过那个孔，而是通过一个圆孔，其直径比那个孔的直径如同21比25，在相同的时间应流出的水量。且因此这些水通过孔向下流出的速度差不多等于一个重物在下落时通过容器中蓄积着的水的高度的一半时能获得的速度。但水在流出容器后，它由于会聚而被加速，直到它前进到离孔几乎等于孔的直径的一个距离，获得一个速度，它约按照二比一的二分之一次比大于水流出孔的速度；这个速度很接近一个重物下落，且其下落画出在容器中蓄积着的水的高度时能获得的速度。

    所以，此后水流的直径由我们称为EF的较小的孔表示。再想象在约等于孔的直径的距离处引另一较高的平面VW平行于孔EF的平面且穿一较大的孔ST；通过它下落的水流正好充满下方的孔EF，因此它的直径比下方的孔的直径大约如同25比21，由此水流垂直通过下方的孔；且流出的水量，按照这个孔的大小，很接近要求的问题的解。两个平面包围的空间和下落的水流，可以被认为是容器的底部，但为了使问题的解更简单和更数学化，只应用下面的一个平面代替容器的底更好，再想象水从冰上流下好像从漏斗流下，且通过在下方平面的孔EF流出容器，保持其持续的运动，且冰保持静止。所以接下来以Z为中心画出直径为ST的圆孔，当在容器中的所有水为流体时，瀑布通过孔流出容器。且设EF为孔的直径，下落的瀑布恰好穿过它，无论流出容器的水通过上方的孔，或者从在容器中的冰中间落下如同通过漏斗。且设上方孔的直径比下方孔的直径近似地如同25比21，又孔的平面之间的垂直距离等于较小的孔的直径EF。则水从容器中通过孔ST流出，在该孔向下的速度是一个物体从高度IZ的一半下落能获得的速度；两个下落的瀑布在孔EF的速度，是一个物体从整个高度IG下落获得的速度。

    情形2 如果孔EF不在容器的底的中央，而开在别处；水以与前面相同的速度流出，只要孔的大小相同。因为重物经过倾斜的线比经过垂直的线下降到同样的深度所用的时间要长；但在两种情形中获得相同的下降速度，正如伽利略所证明的。

    情形3 水从在容器的侧面上的孔流出的速度是相同的。因为如果孔细小，使得而AB和KL之间的间隔在感觉上消失，且水平地涌出的水流形成抛物线的图形。从这个抛物线的通径能推出，水流出的速度是一个物体在容器中蓄积着的水的高度HG或者IG下落能获得的速度。因为通过所做的一个实验，我发现如果蓄积着的水高于孔的高度为二十吋，且孔高于平行于水平面的高度也是二十吋，涌出的水流落在那个平面上，距离从孔向那个平面落下的垂线计，大约为37吋。因为在没有阻力时水流应以40吋的一个距离落在那个平面上，抛物线形水流的通径是80吋。

    情形4 而且流出的水如果向上，它以相同的速度离开。因涌出的细的水流以其垂直运动上升到在容器中蓄积着的水的高度GH或者GI，除了其上升由于空气的阻力而略微受阻；且因此它以从那个高度下落能获得的速度流出。蓄积着的水的每个小部分从各个方向所受的压迫相等（由卷II命题XIX），且以相等的力退离压力被携带到各个方向，无论它通过在容器的底部的孔下降，或者通过其侧面的孔水平地流出，或者进入一管道中并由此从在管道上面的部分所开的细孔射出。且速度，水以此速度流出，是我们在本命题中所定出的，这不仅被推理导出，且由已描述的人所悉知的实验，这也是显然的。

    情形5 无论孔是圆形，正方形或者三角形，或者任意［面积］等于圆形的图形，水流出的速度相同。因为水流出的速度与孔的形状无关，而由它低于平面KL的高度引起。

    情形6 如果容器ABDC的靠下的部分浸没在蓄积着的水中，且蓄积着的水高出容器的底的高度为GR：容器中的水通过孔EF流入蓄积着的水中的速度，是水下落且在其下落中画出高度IR所能获得的速度。因为在容器中低于蓄积着的水的表面的所有水的重量，由于蓄积着的水的承受而平衡，且因此一点也不加速容器中水的下降运动。这种情形亦可通过测量水流出的时间由实验揭示。

    系理1 因此，如果水的高度CA延伸至K，使得AK比CK按照在底的任意部分所开的孔的面积比圆AB的面积的二次比：水流出的速度等于一个速度，它能由水下落且在其下落中画出高度KC获得。

    系理2 且力，由它能生成涌出的水的所有运动，等于一个圆柱形水柱的重量，它的底是孔EF，且高为2GI或者2CK。因为涌出的水，在流出等于这个圆柱的时间，以其自身的重量自高度GI下落所能获得的速度涌出。

    系理3 在容器ABDC中所有水的总重量比一个部分的重量，它被用于水向下流出，如同圆AB和EF的和比二倍的圆EF。因为设IO是IH和IG之间的比例中项；且由孔EF流出的水，在水滴自I下落能画出高度IG的时间，等于其底为圆EF且高为2IG的一个圆柱，亦即，等于其底为AB且其高是为2IO的一个圆柱，因为圆EF比圆AB按照高度IH比高度IG的二分之一次比，这就是，按照比例中项IO比高度IG的简单比；且在水滴自I下落能画出高度IH的一段时间，流出的水等于其底为AB且高为2IH一个圆柱；且自I下落的一水滴经H到G画出高度的差HG的一段时间，流出的水，亦即，在立体ABNFEM中所有的水，等于圆柱的差，亦即，等于其底为AB且高为2HO的一个圆柱。且所以在容器ABDC中所有的水比在立体ABNFEM中所有下落的水如同HG比2HO，亦即，如同HO+OG比2HO，或者IH+IO比2IH。但是在立体ABNFEM中所有水的重量用于水流下，且因此在容器中所有水的重量比一个部分的重量，它被用于水流下：如同IH+IO比2IH，且因此如同圆EF和AB的和比二倍的圆EF。

    系理4 且因此在容器ABDC中所有水的重量比另外一个部分的重量，它由容器的底承受，如同圆AB和EF的和比这些圆的差。

    系理5 且一个部分的重量，它由容器的底承受，比另外一个部分的重量，它被用于水流下，如同圆AB和EF的差比二倍的较小的圆EF，或者如同底的面积比二倍的孔的面积。

    系理6 但一个部分的重量，它只压迫底，比所有水的重量，它垂直压在底上，如同圆AB比圆AB和EF的和，或者如同圆AB比圆AB的二倍对底的超出。因为由系理4，部分的重量，它只压迫底，比在容器中所有水的重量，如同圆AB和EF的差比这些圆的和；且在容器中所有水的重量比垂直压在底上的所有水的重量，如同圆AB比圆AB和EF的差。所以，由错比，部分的重量，它只压迫底，比所有水的重量，它垂直压在底上，如同圆AB比圆AB和EF的和或者圆AB的二倍对底的超出。

    系理7 如果在孔EF的中央放置一个以中心G画出的小圆PQ，且它与地平线平行：水的重量，它由那个小圆PQ承受，大于其底是那个小圆且高为GH的一个水圆柱的三分之一的重量。因为设ABNFEM为瀑布或者下落的水柱它具有如上的轴GH，并想象冻结在容器中围绕瀑布的和小圆上面的所有水，其流动性对于水的即刻和非常迅速的下落是不需要的。且设PHQ为小圆之上冻结的水柱，它具有顶点H和高GH。又想象这个瀑布以其全部重量下落，既不靠在PHQ上又不压迫它，而自由且无摩擦地滑过它；也许除了在冰的顶点，那里在瀑布刚开始下落时，是凹的。且由于环绕瀑布的水AMEC，BNFD冻结，相对于下落的瀑布的内表面AME，BNF是凸的，如此这个柱PHQ对瀑布的面也是凸的，且所以大于其底为那个小圆PQ且高为GH的一个圆锥，亦即，大于所描述的同底同高的圆柱的三分之一。但那个小圆承受了这个柱的重量，亦即，大于圆锥或者三分之一那个圆柱的一个重量。

    系理8 水的重量，它由很小的圆PQ承受，似乎小于其底是那个小圆且高为HG的一个水圆柱的三分之二。因为保持以上的假设，想象画出一个其底为那个小圆且半轴或者高为HG的半扁球。则这个图形等于那个圆柱的三分之二且包含其重量由那个小圆承受的冻结的水柱PHQ。因为为了使水的运动最大地陡直，那个柱的外表面与底PQ交于一个稍微尖锐的角，因为水在下落中持续被加速，且因为加速度使柱变细；又由于那个角小于直角，这个柱的下面部分位于半扁球内。它在上面部分也是尖锐的，因为否则水在扁球的顶的水平运动较其向地平线的运动无限地迅速。且小圆PQ愈小，柱的顶愈尖锐；又小圆减小以至无穷，则角PHQ被减小以至无穷，且所以柱位于半扁球内。所以，那个柱小于半扁球，或者其底为那个小圆且高为GH的一个圆柱的三分之二。此外，小圆承受水的力等于这个柱的重量，因为周围水的重量被用于［水］向下流。

    系理9 水的重量，它由很小的圆PQ承受，近似地等于其底为那个小圆且高为 GH的一个水圆柱的重量。因为这个重量是前述圆锥和半扁球的重量之间的算术平均。但是，如果那个小圆不是特别的小，而被增大直至它等于孔EF；它承受垂直落在其上的所有水的重量，亦即，其底为那个小圆且高为GH的一个水圆柱的重量。

    系理10 且（就我所知）重量，它由小圆承受，比其底为那个小圆且高为 GH的一个水圆柱的重量，总很接近地如同EFq 比EFq - PQq ，或者如出圆EF比这个圆对小圆PQ的一半的超出。

    引理 IV

    一个圆柱，它沿其长度的方向均匀地前进，阻力不因增加或者减少其长度而改变，且因此与由同样的直径所画的圆以同样的速度沿垂直于圆的平面的直线前进时的阻力相同。

    因为圆柱的侧面一点也不对抗其运动；且圆柱，当它的长度减小以至无穷时，转化为一个圆。

    命题XXXVII 定理XXIX

    一个圆柱，它在一种被压缩的，无限的且非弹性的流体中沿自身长度的方向均匀地前进；阻力，它起源于［圆柱的］横截部分的大小，比一个力，由它圆柱的整个运动在画出四倍其长度期间能被除去或者生成，非常接近地如同介质的密度比圆柱的密度。

    因为如果容器ABDC的底CD与蓄积着的水的表面接触，且水从这个容器中经与地平线垂直的圆柱形管道EFTS流入蓄积着的水中，且小圆PQ被放置在管道中央任何平行于地平线的地方，又延长CA至K，使得AK比CK按照管道的开口EF对小圆PQ的超出比圆AB的二次比：显然（由命题XXXVI的情形5，情形6以及系理1）水从小圆和容器的壁之间的环形空间穿过的速度是水下落且在其下落中画出高度KC或者IG能获得的速度。

    且（由命题XXXVI系理10）如果容器的宽成为无限，使短线HI消失且高度IG、HG相等；水向下流在小圆上的力比其底为那个小圆且高为 IG的一个水圆柱的重量，近似地如同EFq 比EFq - PQq 。因为以均匀的运动通过整个管道流下的水的力，与在放置在管道中任意部分的小圆PQ上的力相同。

    现在封闭管道的开口EF、ST，且在各个方向受到压迫的小圆上升，在其上升中它迫使上方的水通过小圆和管道的壁之间的环形空间下落：则小圆上升的速度比水下降的速度如同圆EF和PQ的差比圆PQ，则小圆上升的速度比速度的和，这就是，比水下降的相对速度，以它水流过上升的小圆，如同圆EF和PQ的差比圆EF， 或者如同EFq -PQq 比EFq 。设那个相对速度等于一个速度，由上面的证明，以这个速度水在穿过同样的环形空间期间，小圆保持不动，亦即，等于水下落且在其下落中画出高度IG能获得的速度；则水的力对小圆上升与前面一样（由诸定律的系理V），亦即，上升的小圆的阻力比其底为那个小圆且高为 IG的一个水圆柱的重量，很接近地如同EFq 比EFq - PQq 。但是小圆的速度比一个速度，水下落且在其下落中画出高度IG得到它，如同EFq -PQq 比EFq 。

    设管道的宽度被增加以至无穷，那些EFq -PQq 和EFq 以及EFq 和EFq - PQq 之间的比最终成为等量之比。且所以小圆的速度现在是水下落且在其下落中画出高度IG能获得的速度，它的阻力变成等于其底是那个小圆且高度为高度IG的一半的一个水圆柱的重量，从那里圆柱应下落以... -->>
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