第VI部分 论摆体的运动和阻力

    命题XXIV 定理XIX

    摆的物体的物质的量，它们的振动的中心离悬挂点的中心等距，按照来自重量之比和在真空中振动的时间的二次比的一个复合比。

    因为速度，它能由给定的力在给定的时间在给定的物质上产生，与力和时间成正比，且与物质成反比。较大的力或者较长的时间或者较少的物质，产生的速度较大。这由运动的第二定律是显然的。现在如果摆的长度相同，运动的力在离垂线等距的位置如同重量；且因此，如果两个振动物体画出的弧相等，又那些弧被分成相等的部分；由于时间，在此期间物体画出弧的每个对应部分，如同整个振动的时间，在对应的振动部分的速度彼此与引起运动的力和整个振动的时间成正比，且与物质的量成反比；于是，物质的量与力和振动的时间成正比且与速度成反比。但速度与时间成反比，由此时间的正比和速度的反比如同时间的平方，且所以物质的量如同运动的力和时间的平方，亦即，如同重量和时间的平方。此即所证 。

    系理1 且因此，如果时间相等，在每个物体中的物质的量如同重量。

    系理2 如果重量相等，物质的量如同时间的平方。

    系理3 如果物质的量被取作相等，重量与时间的平方成反比。

    系理4 因此，由于时间的平方，其他情况相同，如同摆的长度；如果时间和物质的量是相等的，重量如同摆的长度。

    系理5 且一般地，摆的物质的量与重量和时间的平方成正比，且与摆的长度成反比。

    系理6 但在无阻力介质中，摆的物质的量与相对的重量（pondus comparativum）和时间的平方成正比，且与摆的长度成反比。因为在任意重的介质中，相对的重量是物体的引起运动的力，如我在上面所解释的；且因此，在这样一种没有阻力的介质中它被赋予与在真空中绝对的重量（pondus absolutum）同样的作用。

    系理7 由此，一个方法是显然的，它既用于物体的彼此比较，对在每个［物体］中的物质的量；又用来比较同一物体在不同位置的重量，以知道重力的变化。通过以最大的精确性所做的实验，我总是发现在每个物体中的物质的量与它们的重量成比例。

    命题XXV 定理XX

    诸摆的物体，在任意的介质中，它们按照时间的瞬之比被阻碍，且摆的物体，它们在同比重的无阻力介质中运动，在相同的时间完成在旋轮线上的振动，又同时画出成比例的弧段。

    设AB为一条旋轮线的弧，它由在无阻力介质中振动的物体D在任意时间画出。那条弧在C被平分，于是C为其最低点；且加速的力，由它物体在任意位置D或者d或者E被推动，如同弧CD或者Cd或者CE的长度。那些力由同一弧表示；又由于阻力如同时间的瞬，且因此被给定，用旋轮线的给定的弧段CO表示它，且取弧Od，按照它比弧CD与弧OB比弧CB有相同的比；则力，由它在阻力介质中的物体在d被推动，是力Cd对阻力CO的超出，由弧Od表示，且因此比一个力，由它在无阻力介质中物体D在位置D被推动，如同弧Od比弧CD；且所以在位置B亦如同弧OB比弧CB。因此，如果两个物体D，d离开位置B且被那些力推动：由于力在一开始时如同弧CB和OB，初始的速度和初始画出的弧按照相同的比。令那些弧BD和Bd，以及余下的弧CD，Od按照相同的比。因此力，它们与那些弧CD，Od成比例，保持与开始时同样的比，且所以物体继续同时按相同的比画出弧。所以力和速度以及余下的弧CD，Od总如同整个弧CB，OB，且因此那些余下的弧同时被画出。由是两个物体D，d将同时到达位置C和O，在无阻力介质中的那个在位置C，且在阻力介质中的那个在位置O。现在，由于在C和O的速度如同弧CB，OB；弧，它们由物体再进一步前进时同时画出，按照相同的比。令那些弧为CE和Oe。力，由它在无阻力介质中的物体D在E被迟滞，如同CE；且力，由它在阻力介质中的物体d在e被迟滞，如同力Ce与阻力CO的和，亦即，如同Oe；且因此力，由它们物体被迟滞，如同与弧CE，Oe成比例的弧CB，OB；且所以，速度，按照那个给定的比被迟滞，保持那个相同的给定的比。所以速度和以这些速度画出的弧彼此总按照弧CB和OB的那个给定的比；且所以，如果整个弧AB，aB按照相同的比被取得，物体D，d同时画出这些弧，且在位置A和a同时失去所有的运动。所以，整个振动是等时的，且被同时画出的任意弧段BD，Bd或者BE，Be，与整个弧BA， Ba成比例。此即所证 。

    系理 所以在阻力介质中最快速的运动不发生在最低点C，而在那个点O被发现，在此整个画出的弧aB被平分。且物体此后前进到a，被迟滞的程度与此前在它自B向O下降时被加速的程度相同。

    命题XXVI 定理XXI

    诸摆的物体，它们按照速度之比被阻碍，在旋轮线上的振动是等时的。

    因为，如果两个物体，离悬挂中心等距，振动画出不等的弧，且在弧的对应部分的速度彼此之间如同整个弧；阻力与速度成比例，彼此之间亦如同相同的弧。所以如果从起源于重力的引起运动的力，它们如同同样的弧，被除去或者被加上这些阻力，差或者和彼此之比按照与弧相同的比，又由于速度的增量或减量如同这些差或者和，速度总如同整个弧：所以速度，如果在某一情形如同整个弧，它们将总保持相同的比。但在运动的开端，当物体开始下降并画出那些弧，力，由于与弧成比例，生成的速度与弧成比例。所以速度总如同被画出的整个弧，且因此那些弧总被同时画出。此即所证 。

    命题XXVII 定理XXII

    如果摆的物体所受的阻碍按照速度的二次比，在阻力介质中的振动的时间与在同比重的无阻力介质中的振动的时间之差，很接近地与振动所画出的弧成比例。

    因为设相等的摆在阻力介质中画出不等的弧A，B；且物体在弧A上的阻力，比物体在弧B上的对应部分的阻力，按照速度的二次比，亦即，很接近地如同AA比BB。如果在弧B上的阻力比在弧A上的阻力如同AB比AA；由上面的命题，在弧A和B上的时间就相等。且因此在弧A上的阻力AA，或者在弧B上的AB，在弧A上产生对在无阻力介质中的时间的超出；且阻力BB在弧B上产生对在无阻力介质中的时间的超出。但那些超出很近似地如同产生它们的力AB和BB，亦即，如同弧A和B。此即所证 。

    系理1 因此，由在阻力介质中不相等的弧上所成的振动的时间，可以知道在同比重的无阻力介质中的振动的时间。因为时间的差比在较短弧上对在无阻力介质中的时间的超出，如同弧的差比较短的弧。

    系理2 愈短的振动愈等时，且极短的振动与在无阻力介质中的振动非常接近地在相同的时间完成。事实上，在较大的弧上完成的时间略长，因为在物体下降时由于阻力时间被延长，［阻力］按下降时画出的长度的大小，大于随后上升时的阻力，由于阻力［上升的］时间被缩短。但短的和长的振动的时间似乎由于介质运动而有些延长。因为被迟滞的较物体按速度之比所受阻碍略小，且被加速的物体比均匀前进的物体所受阻碍略大；因为介质，由于从物体接受的运动沿［与物体］同样的方向前进，在前一种情形受到的较大的推动，在后一种情形受到较小的推动，且由此或大或小地随物体一起运动。所以较按照速度之比，摆在下降时受到较大的阻碍，在上升时受到较小的阻碍，且由于这两种原因，时间被延长。

    命题XXVIII 定理XXIII

    如果在旋轮线上振动的一个摆的物体所受的阻碍按照时间的瞬之比，它的阻力比重力如同在整个下降中所画出的弧对随后上升所画出的弧的超出，比二倍的摆的长度。

    指定BC为下降画出的弧，Ca为上升画出的弧，且Aa为弧的差；又保持在命题XXV中的作图和证明，力，由它振动物体在任意位置D被推动，比阻力，如同弧CD比弧CO，它［CO］是那个差Aa的一半。且因此，力，由它振动物体在旋轮线的开端或者最高点被推动，亦即，重力，比阻力，如同那个最高点和最低点C之间的弧比弧CO；亦即（如果弧被加倍）如同整个旋轮线的弧，或者二倍的摆的长度，比弧Aa。此即所证 。

    命题XXIX 问题VI

    假设一个物体在旋轮线上振动，所受的阻碍按照速度的二次比：需求它在各个位置的阻力。

    设Ba为一次完整振动画出的弧，且C为旋轮线的最低点，又CZ是整个旋轮线弧的一半，它等于摆的长度；且需求物体在任意位置D的阻力。无穷直线OQ被截于点O，S，P，Q，使得（如果竖立垂线OK，ST，PI，QE，且以O为中心，OK，OQ为渐近线画双曲线TIGE截垂线ST，PI，QE于T，I和E，再过点I引KF平行于渐近线OQ交渐近线OK于K，且交垂线ST和QE于L和F）双曲线的面积PIEQ比双曲线的面积PITS如同物体下降画出的弧BC比上升画出的弧Ca，且面积IEF比面积ILT如同OQ比OS。然后被垂线MN割下的双曲线的面积PINM，它比双曲线的面积PIEQ如同弧CZ比下降画出的弧BC。且如果被垂线RG割下的双曲线的面积PIGR，它比面积PIEQ如同任意的弧CD比下降画出的整个弧BC；则在位置D的阻力比重力，如同面积[（OR）/（OQ）]IEF-IGH比面积PINM。

    因为，由于来源于重力的力，由它物体在位置Z，B，D，a被推动，如同弧CZ，CB，CD，Ca，且那些弧如同面积PINM，PIEQ，PIGR，PITS；不仅弧而且力分别由这些面积表示。此外，设Dd为物体在下降时画出的极小的一个空间，且它由平行线RG，rg围成的极小的面积RGgr表示；又延长rg至h，使得GHhg和RGgr同时为面积IGH，PIGR的减量。则面积[（OR）/（OQ）]IEF-IGH的增量GHhg-[（Rr）/（OQ）]IEF，或者Rr×HG-[（Rr）/（OQ）]IEF，比面积PIGR的减量RGgr，或者Rr×RG，如同HG-[（IEF）/（OQ）]比RG；且因此如同OR×HG-[（OR）/（OQ）]IEF比OR×GR或者OP×PI，这就是（由于OR×HG，OR×HR-OR×GR，ORHK-OPIK，PIHR和PIGR+IGH相等）如同PIGR+IGH-[（OR）/（OQ）]IEF比OPIK。所以，如果面积[（OR）/（OQ）]IEF-IGH被称为Y，且如果面积PIGR的减量RGgr被给定，面积Y的增量如同PIGR-Y。

    如果V指定来源于重力的力，它与将要被画出的弧CD成比例，由它物体在D被推动，且阻力被设为R；总的力为V-R，由它物体在D被推动。且由此速度的增量如同V-R和在其间增量生成的那个时间的小部分的联合。但是速度自身与同时被划出的空间的增量成正比且与相同的时间的小部分成反比。因此，由于由假设阻力如同速度的平方，阻力的增量（由引理II）如同速度和速度的增量的联合，亦即，如同空间的瞬和V-R的联合；于是，如果空间的瞬被给定，如同V-R；亦即，如果把力V写作其表示PIGR，且阻力用另外某个面积Z表示，如同PIGR-Z。

    所以面积PIGR通过减去给定的瞬而均匀地减小，面积Y按照PIGR－Y之比增加，且面积Z按照PIGR-Z之比增加。且所以，如果面积Y和Z同时开始且在开始时相等，它们通过加上相等的瞬继续相等，且同样减去相等的瞬继续相等并同时消失。且反之，如果它们同时开始且同时消失，它们会有相等的瞬且总是相等；如此情形是由于如果阻力Z被增加，速度与那个弧Ca，它在物体上升时被画出，一起减小；且在靠近点C的点，整个运动与阻力一起停止，阻力消失得较面积Y更为迅速。且当阻力被减小时，得出相反... -->>
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