公理或运动的定律

系统，它们的前进运动总应由重力的中心的运动估定。

    系理 V

    被给定空间所包围的诸物体之间的相互运动是同样的，无论那个空间或者是静止的，或者是均匀地一直向前运动而没有圆周运动。

    因为朝向相同方向的运动的差，以及朝向相反方向的运动的和，在开始时（由假设）在这两种情形中是相同的，且碰撞和冲击（impetus）起源于这些和或者差，由于它们物体相互冲撞。所以由定律II，碰撞的作用在两种情形中是相等的；且因此在一种情形中相互之间的运动与在另一种情形中相互之间的运动保持相等。这被经验恰当地证明。在一条船上，无论船静止，或者它一直均匀地前进，所有的运动以相同的方式发生。

    系理 VI

    如果诸物体彼此之间无论以何种方式运动，它们被沿着平行线的相等的加速力推动；它们都将继续彼此之间的运动，遵循的方式就如同没有那些力作用一样。

    因为那些力，由相等的作用（按照被移动的物体的量）且沿着平行线，使每个物体由定律II被相等地（对于速度）移动，且因此它们之间彼此的位置和运动绝不改变。

    解释

    迄今为止我所陈述的原理，已被数学家们接受且被多种实验所证实。由前两条定律和前两个系理，伽利略 发现重物的下落按照时间的二次比，且抛射体的运动在抛物线上进行；这与实验符合，除了那些运动由于空气的阻力而略有迟滞。当一个物体下落时，均匀的重力相等地作用，在每一相等的时间小段中，施加相等的力于那个物体，且产生相等的速度：在整个时间内施加的整个力生成的整个速度与时间成比例。且在成比例的时间画出的空间如同速度和时间的联合；亦即按照时间的二次比。又当一个物体被向上抛出时，均匀的重力施加力且被夺去的速度与时间成比例；上升到最大高度的时间如同被夺去的速度，且那个高度如同速度和时间的联合，或者按照速度的二次比。又，一个物体沿任意直线被抛射，起源于它的抛射的运动与起源于它的重力的运动被结合在一起。因此，如果物体A在给定的时间仅由抛射的运动能画出直线AB，且仅由下落的运动在相同的时间能画出高度AC：补足平行四边形ABDC，则那个物体由复合的运动在时间结束时在地方D被发现；且曲线AED，它由那个物体画出，是一条在A与直线AB相切的抛物线，它的纵标线 （6） （ordinata）BD如同ABq （7） 。依据相同的定律和系理，关于摆在振动的时间方面的问题已被证明，这也由对时钟的日常经验所支持。从这些相同的定律和系理以及第三定律，克利斯托弗·雷恩 爵士，神学博士约翰·沃利斯和克利斯蒂安·惠更斯 这些无疑是前一代名列前茅的几何学家，分别发现了坚硬物体碰撞和反射的规律，且在几乎相同的时间通报给皇家学会 ，它们之间（相对于这些定律）完全相符，的确沃利斯 首先，其次是雷恩 和惠更斯 公布了发现。但是向皇家学会 用摆的实验证实这些规律的真实性的是雷恩 ；不久，杰出的马略特 认为它适宜用一整本书来阐述。但是为了使这个实验与理论准确地符合，必须既要考虑空气的阻力，又要考虑相遇物体的弹性力。设球形物体A，B悬挂在中心为C，D的平行且相等的细线AC，BD上。以这些中心和间隔画半圆EAF，GBH，它们被半径CA，DB平分。物体A被拉到弧EAF上的任意点R，且（拉开物体B）由此释放，经过一次振动后它返回到点V。RV是迟滞，它来自空气的阻力。设ST是这个［弧］RV的四分之一，位于中间，这自然使得RS和TV相等，且RS比ST如同3比2。则ST是［物体］自S下落到A期间所遇到的迟滞的一个近似的表示。物体B被放回到它自己原来的地方。物体A自点S下落，且它在反射的地方A时的速度，在没有可感觉到的误差的情况下，与如果它在真空中从地方T下落时一样大。所以这个速度被弧TA的弦表示。因为摆在最低点的速度如同弧的弦，弧在下落中被画出，是几何学家习知的一个命题。反射之后物体A到达地方s，且物体B到达地方k。除去物体B并发现地方v，如果物体A由此被释放，一次振动后它返回到地方r，设st是rv的四分之一且位于中间，这自然使得rs和tv相等；且物体A在地方A刚反射后的速度由弧tA的弦表示。因为t是那个真实的和正确的地方，如果取消空气的阻力，物体A应上升到那里。由类似的方法，我们校正地方k，物体B上升到那里；并发现地方l，在真空中那个物体应上升到那里。按照这种方式能使我们的实验中的一切，仿佛在真空中一般。最后物体A乘以（据我如此说）弧TA的弦，它显示物体A的速度，以得到刚刚在反射前在地方A它的运动；然后乘以弧tA的弦，以得到刚刚在反射后在地方A它的运动。且因此物体B乘以弧Bl的弦，以得到刚刚在反射后它的运动。且由类似的方法，当两个物体从不同的地方同时释放，我们需要发现两者在反射之前，以及反射之后的运动；且之后我们能比较它们之间的运动，并推断反射的效应。按这种方式，以十呎长的一架摆检验此事，既用不等的物体，又用相等的物体，且使物体经过一个很大的间隔后相遇，如八或者十二或者十六呎；我总是发现，在三吋的测量误差的限度内，当物体彼此平直地相遇，物体在相反的方向所引起的运动的变化相等，且因此作用和反作用总相等。于是，如果物体A以九份的运动碰到静止的物体B，且失去七份的运动，在反射后以二份的运动继续前行；物体B以那七份的运动退回。如果物体迎面相遇，A以十二份的运动且B以六份的运动，又A以二份的运动退回；B以八份的运动退回，两者中的每一个都减少了十四份的运动。从A的运动中减去十二份的运动，则没有剩下的运动，减去另两份，则产生向着相反方向的二份的一个运动；且由是从物体B的六份的运动减去十四份的运动，产生向着相反方向的八份的一个运动。但是，如果物体沿相同的方向运动，A以十四份的运动较为迅速，B以五份的运动较为缓慢，且反射后A以五份的运动前进；B以十四份的运动前进，结果是九份的运动从A转移到B。且在其余的情形亦如此。通过物体的相遇和撞击，绝不改变运动的量，它由来自同向运动的和以及反向运动的差确定。因为我把测量中一吋或者二吋的误差归之于以充分的精确性做每一件事时的困难性。困难在于，一方面，同时释放摆，使得物体彼此在最低的地方AB相撞；另一方面，标记物体相遇后上升到的地方s，k。但是摆的物体的部分的不相等的密度，以及结构由于其他的原因的不规则性，也会引起误差。

    此外，为了防止有人非难此规律，这个实验就是为证明它而发明的，认为这个规律预先假设物体或者是绝对坚硬的，或者至少有完美的弹性，在自然的组成中找不到这类物体；我加以补充，刚才所描述的实验对柔软的物体和坚硬的物体的成功，无疑它们不依赖坚硬的状态。因为如果对不是完全坚硬的物体验证那个规律，只需按弹性力的量的一个确定的比例减小反射。在雷恩 和惠更斯 的理论中，绝对坚硬的物体彼此以相遇的速度向后退。这对完全弹性的物体可以更确切地证实。对不是完全弹性的物体，退回的速度必须与弹性力一起减小；因为那个力（除非物体的部分由于相遇而被损坏，或者仿佛在锤击下而扩大）是（就我所能断定的而言）无疑的和确定的，并使物体彼此以相对的速度退回，它比相遇时的相对的速度按照给定的比。我用羊毛线紧紧地缠成并压紧的球对此做了实验。首先释放摆并测量它们的反射，我发现了它们的弹性力的量；然后我由此确定在其他相遇情形时的反射，且它们与实验相符。［羊毛］球彼此总以一个相对的速度退回，它比相遇时的相对速度约略如同5比9。由钢制成的球几乎以相同的速度退回，由软木制成的球以略小的速度退回，但玻璃球的相对速度之比约为15比16。按这种方式由理论确证了关于碰撞和反射时的第三定律，这与实验完全相符。

    关于吸引，我如此简捷地证明此事。任意两个物体A、B相互吸引，想象任意的障碍物居于中间，阻止它们相遇。如果其中一个物体A受到另一物体B的牵引比另一物体B受到前一个物体A的牵引大，则障碍物受物体A压迫的推动比受物体B压迫的推动大，且因此不能保持平衡。较强的压迫占优势，且使两个物体和障碍物［构成］的一个系统向着B的方向一直运动，在自由的空间中以总被加速的运动前进，以至无穷。这是荒谬的且与第一定律矛盾。因为由第一定律，此系统应保持它自身的静止的或者均匀地一直运动的状态，且因此物体相等地推动障碍物，所以彼此被相等地牵引。我曾经用磁石和铁对此实验。如果把它们分别放在靠近的杯子中，并排漂浮在蓄积着的水中；二者之中的任何一个不推进另一个，但是由于向两个方向的吸引相等，它们抵抗相互趋向对方的努力，最后由于处于平衡而静止。

    于是地球和它的部分之间的重力也是相互的。设地球FI被任意的平面EG截成两部分EGF和EGI：则这些部分彼此向着对方的重量相等。因为如果另一个平面HK，它与前一个平面EG平行，较大的部分EGI被它截成两部分EGKH和HKI，使HKI等于先前割下的部分EFG；显然中间的部分EGKH固有的重量不偏向末端的部分中的任何一方，而在两者之间处于平衡，据我如此说，它被悬浮着，并且静止。但末端的部分HKI自身的整个重量压在中间的部分上，且那个中间的部分推动另一末端的部分EGF；且因此，力，由它部分HKI和EGKH的和EGI趋向第三部分EGF，等于部分HKI的重量，亦即第三部分EGF的重量。且所以两个部分EGI，EGF向着对方的重量是彼此相等的，正如我要证明的。且除非那些重量相等，否则漂浮在自由的以太中的整个地球，会退让较大的重量，且逃离以太远去，以至无穷。

    正如物体在相遇和反射中的势是相同的（idem pollent），它们的速度与它们的固有的力成反比；于是在机械的运动中那些动作者的势是相同的，且彼此承受相反方向的努力，动作者的速度，如果沿着它们的力的方向确定，与力成反比。因此使天平的臂运动的重物是等势的（æquipollent），如果在天平的振动期间它们与它们的向上或者向下的速度成反比：这就是，直线上升或者下降的重物是等势的，如果它们与天平的轴和悬挂它们的点之间的距离成反比；如果这些重物由于斜面或其他障碍物而倾斜地上升或下降，它们是等势的，如果它们与上升或者下降成反比，只要沿垂直的方向取得：之所以如此是因为重力的方向是向下的。类似地，在滑轮或者滑轮组中，手直接拉绳的力，它比无论竖直或倾斜上升的重物如同重物垂直上升的速度比手拉绳的速度，手拉绳的力承担重物。在时钟或类似的仪器中，它们由彼此结合在一起的小轮制成，推进和阻碍小轮的运动的相反的力，如果与它们施加于小轮上的部分的速度成反比，则它们彼此相互承受。压一个物体的螺旋的力比手转动柄的力，如同柄在被手推动的那个部分的旋转速度，比螺旋向着被压迫的物体前进的速度。一个力，由它一个楔压迫它劈开的木头的两部分，比锤击在楔上的力，如同楔沿着锤加在它之上的力的方向上的速度比一个速度，由它木头的部分沿着垂直于楔的表面的直线退离楔。且所有机械均同此理。

    机械的功效和用处仅系于，为了减小速度我们增加力，且反之亦然；由此，对适当的装置的所有的类型，问题：以给定的一个力移动给定的一个重物，或者由一给定的力克服任意给定的阻力，已被解决。因为如果机械如此制造，使得动作者的和抵抗者的速度与它们的力成反比；动作者能承受阻力，如果速度的差异较大，它将克服阻力。无疑，如果速度的差异如此之大，使得它能克服所有的阻力，如通常起源于接触的物体彼此滑过的摩擦，起源于连续的物体彼此被分开时的凝聚力，以及起源于提升物体时的重量；克服了所有这些阻力，剩余的力产生一个与它自身成比例的运动的一个加速度，部分地在机械的部件上，部分地在阻碍的物体上。但论述力学不是我目前之事。由那些例子我希望证明运动的第三定律的广泛性和确定性。因为，如果一个动作者的作用由它的力和速度联合起来确定，且如果类似地，抵抗者的反作用由它的各个部分的速度和起源于它们的摩擦、凝聚、重量和加速度的阻力联合起来确定；则作用和反作用，在所有用到的装置中，彼此总相等。且在作用通过装置传播并最终施加在所有阻碍物体上的这个限度内，它最终的方向总与反作用的方向相反。