第I部分 论用于此后证明的最初比和最终比方法

    引理 I

    诸量，以及量的比，它们在任何有限的时间总趋于相等，在时间结束之前它们彼此之间比任意给定的差更接近，最终它们成为相等。

    如果你否认，则它们最终成为不相等，且它们最终的差变成D。那么，对于相等性它们就不能比给定的差D更为接近：与假设相反。

    引理 II

    如果在直线Aa，AE和曲线acE围成的任意图形AacE中，内接相等的底边AB，BC，CD，等等，与图形的边Aa平行的边Bb，Cc，Dd，等等包含的任意数目的平行四边形Ab，Bc，Cd，等等；并补足平行四边形aKbl，bLcm，cMdn，等等。此后如果平行四边形的宽度减小且其数目增加以至无穷：我说，内接图形AKbLcMdD，外接图形AalbmcndoE，以及曲线形AabcdE彼此之间的比，是等量之比。

    因为内接图形和外接图形之差是平行四边形Kl，Lm，Mn，Do的和，这就是（由于所有的底相等）一个底Kb和高的和Aa之下的矩形，亦即，矩形ABla。但这个矩形，其宽度AB无限减小，变得小于任何给定的矩形。所以（由引理I）内接图形和外接图形，并且居于它们中间的曲线形最终相等。此即所证 （8） （Q.E.D.）。

    引理 III

    当平行四边形的宽度AB，BC，CD，等等不相等，但都减小以至无穷时，同样的最终比也是等量之比。

    因为设AF等于最大宽度，并补足平行四边形FAaf。这个平行四边形大于内接图形和外接图形之差；但它的宽度AF被减小以至无穷，它将变得小于任意给定的矩形。此即所证 。

    系理1 因此，那些正消失的平行四边形的最终和与曲线形的所有部分重合。

    系理2 并且直线形，它被将要消失的弧ab，bc，cd，等等的弦包围，最终与曲线形重合。

    系理3 内接直线形，当被相同的弧的切线包围时是一样的。

    系理4 因此，这些最终的图形（相对于周线acE）不再是直线形，而是直线形的曲线形极限。

    引理 IV

    如果在两个图形AacE，PprT中，内接（如同上面）两组平行四边形，二者数目一样，且当宽度减小以至无穷时，一个图形中的平行四边形比另一个图形中的平行四边形的最终比，一个对一个，是相同的；我说，这两个图形AacE，PprT彼此按照那个相同的比。

    因为［在一个图形中的］一个平行四边形比［在另一个图形中对应的］一个平行四边形，如同（由复合）［在一个图形中平行四边形的］总和比［在另一个图形中平行四边形的］总和，并且如同一个图形比另一个图形［按照等量之比］；因为前一图形（由引理III）比前一和，以及后一图形比后一和，按照等量之比。此即所证 。

    系理 因此，如果两种任意类型的量按同样的份数被任意划分，那些部分在数目增加且它们的大小减小以至无穷时，彼此之间保持给定的比，第一个对第一个，第二个对第二个，其余的按顺序对其余的：则整个部分彼此之间按照那个相同的给定的比。因为，如果在这个引理的图形中，平行四边形被取得彼此如同［量的］部分，则部分之和总如同矩形之和；因此，当部分及平行四边形的数目增加且大小减小以至无穷时，部分和将按照［一个图形中的］平行四边形比［另一个图形中的］平行四边形的最终比，亦即（由假设）将按照［一个量中的］部分比［另一个量中的］部分的最终比。

    引理 V

    诸相似形的所有的边，无论是直线或是曲线，它们相互对应成比例：则面积按照边的二次比。

    引理 VI

    如果位置给定的任意弧ACB所对的弦为AB，且在某点A，它在连续的曲率中间，被沿两个方向延伸的一条直线 （9） AD相切；此后点A，B彼此靠近并重合；我说，角BAD，它被包含在弦和切线之间，被减小以至无穷并最终消失。

    因为如果那个角不消失，弧ACB和切线AD所含的角等于一个直线角，且所以曲率在点A不连续，与假设矛盾。

    引理 VII

    在同样的假设下，我说弧、弦和切线彼此的最终比是等量之比。

    因为当点B靠近点A时，总认为AB和AD延长到在远处的点b和d，引bd平行于截段BD。又，弧Acb总相似于弧ACB。当点A，B重合时，由上一引理，角dAb消失；且因此有限的直线Ab，Ad和居于它们中间的弧Acb重合，所以相等。因此总与［Ab，Ad和Acb］成比例的直线AB，AD，和居于它们中间的弧ACB消失，且它们最终具有等量之比。此即所证 。

    系理1 因此，如果通过B引平行于切线的［直线］BF与过A的任意直线交于F，这个BF与消失的弧ACB的最终比为等量之比，因为如果补足平行四边形AFBD，BF比AD总是等量之比。

    系理2 如果通过B和A引另外的直线BE，BD，AF和AG与切线AD及其平行线BF相截，则所有线段AD，AE，BF和BG以及弦AB与弧AB彼此的最终比为等量之比。

    系理3 因此，这些线段在任何关于最终比的论证中可以相互替换。

    引理 VIII

    如果直线AR和BR以及弧ACB给定，它们与弦AB和切线AD构成三角形RAB，RACB和RAD，如果A和B互相靠近，我说这些三角形它们消失时的最终形状相似，并且它们的最终比为等量之比。

    因为当点B靠近点A时，总认为AB，AD，AR延长到在远处的点b，d和r，并引rbd平行于RD，且设弧Acb总与弧ACB相似。当点A，B重合时，角bAd消失，所以三个总是有限的三角形rAb，rAcb，rAd重合，因此之故相似且相等。所以，总与［rAb，rAcb，rAd］相似且成比例的RAB，RACB，RAD最终彼此相似且相等。此即所证 。

    系理 且因此那些三角形，在所有关于最终比的论证中能互相代替。

    引理 IX

    如果直线AE和曲线ABC的位置给定，它们相互截于一给定的角A，且以另一给定角向那条直线引作为纵标线的BD，CE，它们交曲线于B，C，然后点B和C同时向点A靠近：我说三角形ABD，ACE的面积最终彼此按照边的二次比。

    确实当点B，C靠近点A时，总认为AD延长到在远处的点d和e，使得Ad，Ae与AD，AE成比例，并竖立与纵标线DB，EC平行的纵标线db，ec交延长的AB，AC于b和c。引认为与ABC相似的曲线Abc，并引直线Ag，它与两曲线在A相切，并截纵标线DB，EC，db，ec于F，G，f，g。一方面保持Ae的长度，另外点B，C与点A会合，且角cAg消失，曲线形Abd，Ace与直线形Afd，Age的面积重合；因此（由引理V）将按照边Ad，Ae的二次比。但是面积ABD，ACE总与这些面积成比例，且边AD，AE总与这些边成比例。所以面积ABD，ACE最终按照边AD，AE的二次比。此即所证 。

    引理 X

    空间，它由受到一任意有限力推动的一个物体画出，无论那个力是确定的和不变的，或者持续增加或者持续减小，在运动刚开始时按照时间的二次比。

    时间由线AD，AE表示，且所产生的速度由纵标线DB，EC表示；这些速度画出的空间，如同这些纵标线所画出的面积ABD，ACE，这就是，运动刚开始时空间自身（由引理IX）按照时间AD，AE的二次比。此即所证 。

    系理1 因此容易推知，当物体在成比例的时间画出相似图形的相似部分时的误差，它由任意相等的力类似地用于这些物体上产生，由物体离开相似... -->>
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