第二部分 大小（量）

基础并与此处所阐释的概念一致，但是这些规定的创始者并没有把这种无限当作概念来探讨，而在应用时又不得不找与其更良好的宗旨相矛盾的办法。

    (37) 对这种思想的正确规定，莫过于牛顿。我在这里把属于运动和速度（他主要是从速度采用了流数Fluxion这一名词）观念的规定分开，因为这里出现的思想，不是在份所应有的抽象之中，而是具体的，夹杂着非本质的形式。牛顿解释这些流量说（《自然哲学之数学原理》第一卷，第十一补助命题注释） (38) ，他并不把它们理解为不可分的东西（这是以前数学家们，如卡伐里利 (39) 等所用的形式，含有自在地规定了的定量的概念），而是正在消失的可分的东西。再者，流量也不是一定部分的总和和比率，而是总和和比率的极限（limites）。可以责难说，正在消失的大小并没有最后的比率，因为在消失以前就还不是最后的，而当其消失，便也再不是什么比率了。但是对于正在消失的大小的比率，必须理解为这样的比率，即大小不是在比率以前，也不是在以后，而是连同比率一起消灭的（quacum evanescunt）。正在发生的大小的最初比率，也同样是连同比率一起发生的。

    牛顿只是按科学方法的当时水平，说明了一个名词所指的是什么，但是一个名词所指是这样或那样的东西，这原本是主观的意向或历史的要求，那里并没有表现出这样一个概念是自在而自为地必然的，具有内在的真理。但是从上所引，也表明了牛顿所提出的概念，与上述无限大小如何由对定量自身的反思而产生，是相符合的。这就是从大小的消失来了解大小，即是说它们已不再是定量；此外，它们也不是一定部分的比率，而是比率的极限。所以无论定量本身（即比率的各项），或是比率本身（只要这个比率也是定量），都应该消失；大小比率的极限，就是在那里既有比率，又没有比率，————更精确地说，就是定量在那里消失了，从而比率只是作为质的量比率而被保留，其各项也同样只是作为质的量环节而被保留。————牛顿又说，不可以从有正在消失的大小的最后比率，推论出也有最后的或不可分的大小。那样就会又是从抽象的比率跳到这种比率的各项上去，这样的各项本身在其关系之外另有一种值，它们是不可分的，像是某种是一或无比率的东西。

    针对这种误解，他还提醒我们说，最后比率不是最后大小的比率，而是极限；无限地减少着大小的比率，比任何已有的、即有限的差分都更接近极限，但是这些比率却不可越出那个极限，那样就会成了无。如前所说，最后的大小可以被了解为不可分的大小或一。但是在最后比率的规定中，无论是漠不相关的一，即无比率之物的概念，或是有限的定量的观念，都除掉了。另一方面，假如所要求的规定，已经发展成为纯粹仅仅是比率的环节这种大小规定的概念，那就既不需要牛顿把定量移植其中而仅仅表现为无限进展的那种无限的减少，也下需要在这里并不再有直接意义的那种可分性的规定。

    (40) 至于在定量消失中保留比率，在别处也有表现（例如卡尔诺 (41) 的《关于微分计算的形而上学的一些思考》），即正在消失的大小，由于连续规律，在消失之前仍然保持它们来源所自的比率。————这种观念只要不被了解为定量的连续，就表现了事物的真正本性，因为这种连续在无限进展中仍有定量，定量在消失中仍然这样继续自身，即在它自己的彼岸中所发生的，仍然只是一个有限的定量，一个系列的新项；一个连续的过程总是被想象为这样的，即：它所经过的值，全都仍然是有限的定量。反之，在被造成真正无限的那种过渡中，连续的却是比率；因为这种过渡倒是恰恰在于把比率提出使其纯粹，使无比率的规定（即一个定量是比率的一项，它被放在这种关系之外，也还是一个定量）消失，所以这种比率是很连续的，保持自身的。在这样的情况下，量的比率的这种纯净化不过是好像一个经验的实有物被概念掌握那样。这种实有物之所以高出自身，是由于它的概念含有与它自身同一的规定，但这是以这些规定的本质性和概念的统一性来把握的，在这之中，规定也就失去了漠不相关的、非概念的持久存在了。

    同样有兴趣的，是牛顿对现在所就的大小所表述的另一形式，即发生的大小（erzeugende Grösse）或根本（Prinzipien）。一个已经发生的大小（genita）是一个乘积或商数、方根、长方形、正方等————总之是一个有限的大小。“这种大小在继续运动和流动中增减而被认为是可变的，所以他对它的暂时增量（Inkrement）或减量（Dekrement）用了瞬刻（Moment）这个名词。但是这些瞬刻不应该被看作是一定大小的细小部分（particulae finitae）。这样的细小部分自身不是瞬刻，而是由瞬刻所发生的大小，这里所指的，倒不如说是有限大小正在发生的根本或开始。”定量在这里便以它是一个产物或实有物和以它是在发生中、在开始或根本中、即在它的概念中（或说在它的质的规定中在这里也是一样）而与自身有区别；在质的规定中，量的区别，即无限的增量或减量，只是环节；唯有已变成的东西，才是已经过渡到实有的漠不相关和外在性中的东西，才是定量。————真概念的哲学虽然必须承认上述关于增量或减量的无限规定，但是同时也必须注意到增量等形式本身也是归于直接定量和已经说过的连续进程的范畴之内的；而且x有了dx或i等的增量、增长、增添这样的观念，倒不如说应当看作是方法中存在着根本毛病，对于把质的量环节的规定从普通定量观念纯净地提出来，是一种长久存在的障碍。

    无限小量的观念远比上述的规定落后，这种观念本身就掩藏在增量或减量里面。按照这种观念看来，这些大小应该有这样的情况，即不仅是它们对有限的大小说来，可以省略掉，就是它们的较高序列对较低序列，或多数的乘积对个别乘积也都可以省略掉。 (42) 莱布尼兹突出地强调了这种省略的要求，有关这种大小的方法以前的发明者也同样使这种省略发生。这种省略主要是在运算过程中对计算赢得方便而有了不精密和显著不正确的外貌。————沃尔夫曾以他自己的方式，企图使这种省略问题通俗化，这就是说使概念不纯洁，用不正确的感性表象代替概念，而使其易于了解。他把较高级的无限差分对较低级的省略，比作一个几何学家进行测量一座山的高度时，有风吹掉了峰巅的一粒尘沙，或计算月蚀时省略了房屋、塔院的高度，都不会减少其精密。（《普通数学初阶》，第一卷，《数学分析初阶》，第二部分，第一章注释。）

    假如说常识承认这种不精密可以容许，那么，一切几何学家相反地，都会抛弃这种想法。在数学科学中完全谈不到这样的经验的精密；而数学测量由于运算或由于几何构造及证明也与田野丈量，经验的线、形等的测量完全有区别；这是很显然的事。除此而外，前面已经说过，数学分析家由于比较，也指出如何用严密几何学方法和如何依无限差分的方法所得的结果，彼此都是一样的，完全没有较多或较少的精密性可言。很显然，一个绝对精密的结果不能来自一个不精密的处理方法。可是另一方面，这种处理方法自身又以无足轻重为理由，不管前面所举的辩解遭到抗议，仍避免不了那种省略。要把这里所包含的荒谬情况弄明白并加以消除，这正是数学分析家们勉力以赴的困难所在。

    (43) 对这一方面，首先要举出尤拉 (44) 的观念。由于他以牛顿的一般定义为基础，他坚持微分计算要考虑一个大小的增量的比率，但是又须把无限的差分本身完全当作零（《微分计算教程》第一部分，第三章）。————对此须如何了解，前面已经谈过了；无限差分只是定量的零，不是质的零，或不如说作为定量的零，它仅仅是比率的纯粹环节。它不是一个就量而言的区别；所以在一方面把被称为无限小量的那些瞬刻也说成是增量或减量，并且是差分，那就简直是偏向了。这种规定首先是以把现存的有限大小加上或减去一点东西为基础，先有一种减法或加法，即算术的、外在的运算。但是从变量函数到它的微分的过渡，却必须看作是完全另外一种性质的过渡，如以前已经说明过的，这种过渡必须被认为是把有限的函数归结到其量规定的质的比率。————另一方面，假如说增量本身是零，要考虑的只是其比率，那么这一方面的偏向也是很显然的；因为一个零简直就不会再有什么规定性了。这种观念固然达到了定量的否定物并且表示了这个否定物，但是并没有同时以质的量规定这种肯定意义来把握否定物，这些规定若是从比率中摘取出来而被看作定量，那便会只是零。———— (45) 拉格朗日 (46) （《解析函数论》，导言）判断极限或最后比率的观念说，假如两个量仍然是有限的，那就立刻可以很容易设想它们的比率，一旦这个比率之项同时成了零时，那么这个比例所给予的概念，对于知性说来，就不明白、不确定了。 (47) ————事实上，知性必须超出比率各项作为定量是零这种单纯否定的方面，而要去把握它们是质的环节这种肯定的方面。————尤拉在以后（见前引书§84以下）又说两个所谓无限小量虽然不过是零，却有一个相互的比率，所以对它们不用零的符号而用别的符号；他为了此种证明而对有关的上述规定所增补的说法，是不能令人满意的。他想用算术比率和几何比率的区别来论证这一点；在算术比率中我们所看到的是差分，在几何比率中我们所看到的是商数，算术比率虽然等于两个零之间的比率，但几何比率却不因此而也是那样；假如说2﹕1＝0﹕0，那么，就比例的本性而言，第一项既然比第二项大两倍，第三项也就必须比第四项大两倍；所以0﹕0就比例说，应该被当作是2﹕1之比。————即使就普通算术说，n·0＝0，所以，n﹕1＝0﹕0。————但是正因为2﹕1或n﹕1是定量的比率，所以既没有一个0﹕0比率，也没有一个0﹕0记号是符合于这个定量比率的。

    我不再多事引证，因为以上的考察已经足够指明其中固然包含着无限的真概念，但是没有在概念的规定性中使概念突出并把握住它。因此在运算本身进行时，就不能使真的概念规定在运算中发生效力；反而回到有限的量规定性，运算避免不了一个仅仅是相对小的定量观念。计算使所谓无限的大小必须服从基于有限大小的本性的那些普通算术运算，如加法等，并且从而把这些无限的大小暂时当作有限大小来处理。计算一方面把这些无限的大小贬低到这样的范围，并把它们当作增量或差分来处理，另一方面又在把有限大小的形式和规律应用于它们之后，立刻将它们当作定量而加以省略；关于这一点，计算是需要为自己找辩护理由的。

    关于几何学家们消灭这些困难的尝试，我只举其最主要的。

    古代数学解析家对此并不曾感到有多大顾虑，但是近人的努力却在于使无限的计算有几何方法特有的自明性，并在数学中达到古人在几何方法中证明的谨严（拉格朗日的说法）。可是因为无限的分析原理比有限大小的数学原理有较高的性质，所以前一类必须自行放弃后一类的自明性，就像哲学不能要求有感性科学，例如博物学那样的自明性，————吃和喝也比思维和概念理解应该是更容易懂的事儿。现在且谈要达到古人证明的谨严的那些努力。

    许多人曾经试图完全避免无限的概念，不用这个概念来实现与使用这个概念密切相关的东西。————譬如拉格朗日就谈论过兰登 (48) 所发明的方法，并且说那种方法纯粹是分析的，不用无限小的差分，而是先则引用了变量的不同的值，然后又使其相等。此外，他又断言微分计算所特有的特点，即方法简单、运算容易等，都在这里失去了。这种办法与我们以后还要细谈的笛卡尔切线方法的出发点，很有符合之处。这里所能指出的是，这一点至少是明显的：这种办法，先假定变量不同的值，以后又使其相等，这一般是属于微分计算方法本身以外的另一种数学处理范围，并且这种计算自身的现实具体的规定所归结的那种单纯比率，即推导出来的函数与原始函数的单纯比率，其特性也没有得到强调；这种特性，我们以后还要详细说明。

    (49) 近人中的较老一辈，如费尔马 (50) 、巴罗 (51) 等人都在后来发展成为微积分计算的应用中，用过无限小，后来莱布尼兹及其后继者，还有尤拉，都总是坦率相信无限差分的乘积及其较高级方幂可以略去，其理由只是因为这些差分与较低的序列相对比便消失了。他们的基本命题唯有依靠这一点，即依靠一个乘积或方幂的微分是什么的规定，因为他们的全部理论学说都归结到这一点。其余一部分是展开［函数或系列］的作用，一部分则是应用；可是有较高兴趣的、或者说唯一有兴趣的东西，却实际上是在应用那一部分里，这以后还要加以考察。————与现在问题有关的，我们在这里只是要举出初步的东西；关于曲线的主要命题，也同样以无足轻重为理由而被采用，曲线的原素，即纵横坐标的增量，具有次切线（Subtangent）和纵横坐标的相互比率；为了取得相似三角形的目的，便将弧（它与以前有理由称为特殊的三角形的两个增量构成一个三角形而是其第三边）认为是一条直线，是切线的一部分，从而被认为是增量之一达到了切线。 (52) 这些假定一方面使那些规定高出于有限大小的本性，但另一方面却又对现在称为无限的瞬刻应用了只适用于有限大小的处理办法，在这样的办法里，没有东西可以因其无足轻重而省略掉。方法所遭受的困难，在这样的办法里，仍然很厉害。

    这里需要举出牛顿的一个值得注意的办法（《自然哲学的数学原理》，第二卷，第七命题后面的第二补助命题），————为了消除这种情况，即在求微分时算术上不正确地省略无限差分的乘积或其较高级的乘积，便发明了一种很有意思的把戏。从乘积的微分，便很容易推导出商数、方幂等的微分，而他是用以下的方式找到乘积的微分的。假如x，y每个的无限差分都小一半，其乘积就成为 ；假如让x和y有同样的增加，其乘积就成为 。现在再从第二个乘积减去第一个乘积，仍然剩余下ydx＋xdy，而这是增长了整个dx和dy的剩余，因为这两个乘积就是以这个增长而有区别的；所以这就是xy的微分。————人们可以看出在这种办法中，构成主要困难的那一项，即两个无限差分的乘积dxdy，由它本身而消除了。但是虽然以牛顿的鼎鼎大名，也必须说这样的运算，尽管是很初级的，却仍旧不正确；说 ，这是不正确的。只有为流量计算重要性找理由的这种需要，才能够使一个像牛顿那样的人自己受到这种证明的欺骗。

    牛顿用来推导微分的其他形式，是与原素及其方幂的具体的，和运动有关的意义联系着的。使用系列形式也是他的方法的特征，在这里，其含义是说永远能够用增添更多的项来取得所需要的精密的大小，而省略掉的项则是相对地无足轻重的，结果一般只是一种近似；在这里，好像他也不以这种理由为满足，正如他在解高等方程时，用近似的方法，以较高方幂（这些方幂是在替代已有方程中每一个找到了的但仍不精密的值之时所发生的）很微小这样粗疏的理由而将它们省略掉那样；参看拉格朗日《数字方程》第125页。

    牛顿用省略重要的高级方幂来解决问题，他所犯的这个错误，使他的反对者有机会用他们的方法战胜他的方法，拉格朗日在近著中（《解析函数论》，第三部分，第四章），也指出了这种错误的真正根源；这种错误证明了在使用那种工具时，还有徒具形式的和靠不住的东西。拉格朗日指出牛顿之所以犯错误，是因为他所略去的系列的那一项，含有一定问题关键所在的方幂。牛顿执着于各项因其相对微小而可以省略那种形式的、肤浅的原则。大家知道在力学中，若一运动的函数在一个系列中展开，这个系列的各项便被给予一定的意义，于是第一项，或第一个函数，是关于速度的瞬刻，第二个函数是关于加速力，第三个函数是关于诸力的阻力。于是系列各项在这里被认为不仅是一个总和的部分，而且是概念的一个整体的质的环节。因此，省略其余属于简单无限系列的各项，与以各项相对微小为理由的省略，是具有全然不同的意义的。 (53) 牛顿的解决，错误不在于其系列各项只被当作是一个总和的部分，而在于没有考虑到含有问题所在的质的规定的那一项。

    在这个例子里，处理办法要依赖质的意义。这里也可以连带提出一般主张，即：假如指出原则的质的意义并使运算附属于这种意义，————而不要形式主义地只是在为微分起名称的任务中才提出微分的规定，只是在一个函数的变量得到增长之后才提出这个函数与它的变化的一般区别，————那么，原则的全部困难便会消除。在这种意义之下，很明显，由展开（x＋dx）n 而发生的系列，用它的第一项便可以完全穷尽xn 的微分。其余各项之不被考虑，并不是由于它们的相对微小；————这里并不曾假定有不精密之处、缺点或错误，被另一错误抵消了或改善了，————卡尔诺主要就是从这种观点来为无限小的普通计算方法辩护的。既然所处理的不是一个总和，而是一个比率，那么，这个微分便完全可以由第一项找到；假如需要更多的项，即更高级的微分时，其规定也不包含作为总和的一个系列之继续，而包含人们唯一想要有的同一比率之重复，而这个比率却在第一项中已经完备了。对一个系列及其总和的形式上的需要，以及和它有关的东西，都必须与那种对比率的兴趣分别开。

    卡尔诺关于无限大小的方法的种种解释，最明显地揭示了它含有上面引证的想法中的一切最为动听的东西。但是，在转到运算本身时，通常的关于被省略之项相对于其他项说来是无限小的想法，多少又出现了。卡尔诺是用下述事实来辩解他的方法的，那就是，计算结果是正确的，引进这种不完整方程（他是这样称呼这些方程的————就是那些作了这种算术上不正确省略的方程）对于简化计算具有便利：他并不是从事物自身的性质来辩解它的。

    大家都知道拉格朗日为了跳出无限小观念以及最初、最后比率和极限的方法所引起的困难，重又采用了牛顿原来的方法，即级数法。他的函数计算，在精确、抽象、普遍等方面的优点都已经得到足够的承认，这里所要举出的，只是这种计算依靠一个基本命题，即差分虽不成为零，却可以认为是如此微小，以至系列的每一项，在大小方面，都超过了一切后继各项的总和。————这个方法也是从增长和函数差分的范畴开始，函数的变量得到增长，于是便从原来的函数得到使人厌烦的系列；而在后来，系列的被省略的各项，同样也只是鉴于它们构成了一个总和，才被考虑，省略它们的理由也是建立在它们的定量的相对性上。所以一方面这里的省略一般也并不是回到前面曾经提过的、在某些应用中出现的那种观点，以为系列各项应当有确定的质的意义，而被忽略的各项并不是因为它们在量上不重要，而是因为它们在质上不重要；另一方面，这种省略本身在所谓微分系数那种很重要的观点中便消除了，这是拉格朗日在所谓计算应用中才确定地加以强调的观点，我们在下一注释里还要对此详细讨论。

    这里所谈的那种被称为无限小的量的形式，其一般质的特性已经证明；这种质的特性在上述比率极限的范畴中，可以最直接地找到，而且极限在计算中的使用成了特殊方法的标记。拉格朗日对这个方法的判断是：它在应用中并不简便，极限这一名词也没有明确的概念；在这里我们愿意接受判断的第二点，并仔细看看，关于极限的解析的意义提出了什么。在极限观念里，当然包含着变量的质的比率规定这一以前说过的真正范畴；因为这些变量所采取的dx和dy的形式，应该直接地只被看作是 的瞬刻，而 本身则应该被认为是唯一而不可分的符号。就计算的运用说，尤其是就计算的应用说，计算由于微分系数的两端分开而取得的好处，因此便失去了，这一点可以暂时置之不理。那个极限现在应该是某一函数的极限，————它应该标出与此函数有关的某一个值，这个值是依导数（Ableitung）的方式而规定的。但是，用单纯的极限范畴，我们并不能比用这个注释中所涉及的东西前进更远；这个注释要指出在微分计算中出现为dx和dy的无限小，不仅具有一个非有限的、非已知的大小那种否定的、空洞的意义，如人们所说的一个无限的数量，或无限进展之类，而是具有量的、一个比率环节本身的质的规定性那种明确意义。但是这个范畴却对一个已知函数那样的东西，还没有比率，与这个函数的处理和那种规定在函数中的使用都没有牵涉；所以极限观念若是停留在为它所已经证明的规定性里，便什么也引导不出来。但是极限这一名词本身已经包含着它是某物的界限这种意思，即是说它表示了变量函数中所包含的某一个值；这就必须看一看这种具有极限的具体情况是如何发生的。————极限应该是两个增量互相具有的比率的极限；在一个方程式中，有关的两个变量，被当作是互为函数，它们被认为是以这两个增量而增加；这里的增长被认为是本来不确定的，所以也并没有使用无限小。但是，首先，这种寻找极限的道路，也招致了和其他方法所包含的同样的前后不一贯。这条道路如下。假如y＝fx，当y变为y＋k时，则fx应变为fx＋ph＋qh2 ＋rh3 ……等等，所以k＝ph＋qh2 ＋……等，而kh＝p＋qh＋rh2 ……。假如现在k和h消失了，那么，除p之外，第二项也消失，于是现在那个p就是两种增长比率的极限。可见h作为定量是被当作＝0，但是 却不因此而是＝ ，它还仍然应该是一个比率。免去这里所包含的不连贯，应该是极限观念所获得的好处；同时p不是一个现实的比率，如 的比率，而仅仅是一定的值，比率可以无限的接近它，以致其差别可以比任何已有的差别更小。下面将考察一下就彼此应该真正接近的事物而论，接近有什么更确切的意义。一个量的差别，不仅可以而且应该比任何已有的差别都更小，一个量的差别假如有了这种规定，就不再是量的差别了，这一点本身是很明显的，其自明性和任何能够在数学中是自明的东西一样；但是这样便没有超出 ＝ 以外。另一方面，假如 ＝p，即被认为是一定的量的比率，这个比率事实上也是如此，而以h＝0的假定（只有用它才找得出 ＝p），它却反倒陷于困境了。另外，假如承认 ＝0，————而有了h＝0，那么事实上自然也就有k＝0；因为k增长为y，只有在这个增长是h的条件下才会出现，————于是要问p，这个完全确定的量的值，究竟是什么。对此自然立刻有一个简单枯燥的回答，说它是一个系数，由什么导数发生的，————即以一定方式由原始函数所导出的第一个函数。假如对此可以满足，拉格朗日就实质而论，对此实际上也是满足的，那么，微分计算科学的一般部分，紧接着那种称为极限理论的形式部分，免掉了增长，然后又免掉了增长的无限小或任意的小，也免掉了这样的困难，即：除首项而外，或不如说只是除首项的系数而外，要把因引入那些增长而不可避免地出现的一系列的其他更多之项，重行销去，此外，也清除了与此相关的其他东西，首先是无限、无限接近等形式的范畴，以及在这里是同样空洞的连续量 (54) 范畴，而这些范畴在别处是像一个变化的倾向、发生、机缘等，同样被认为是必需的。就完全可以满足理论的枯燥规定而言，p不过是由展开一个二项式而引导出来的一个函数，但是除此而外，现在必须指出，p还有什么更多的意义和价值，即对以后的数学上的需要，还有什么关联和用处；关于这一点，将在注释二中讨论。这里接着首先要讨论的，是：问题主要所在的比率，对于它本来的质的规定性的理解，由于在表述中流行使用的渐近观念，引起了混乱。

    我们已经指出过，所谓无限差分就是表示作为定量的比率的两端之消失，而留下来的只是两端的量的比率，比率之所以纯粹，因为它是以质的方式规定的；质的比率在此并没有丧失什么，倒不如说它正是有限的量转化为无限的量的结果。我们已经看到这里正是事物的全部本性所在。————譬如纵横坐标的定量便消失于最后比率之中；但是这个比率的两端在本质上仍然一端是纵坐标的原素，另一端是横坐标的原素。当人们用想象使一纵坐标无限地接近另一纵坐标之时，从前有区别的纵坐标便过渡为另一纵坐标，以前有区别的横坐标也过渡为另一横坐标；但是本质上，纵坐标不过渡为横坐标，横坐标也不过渡为纵坐标。我们仍然就这个变量的例子来说，这里并不是要把纵坐标的原素看作是一个纵坐标与另一个纵坐标的区别，而要看作是对横坐标的原素的区别或说质的大小规定；一个变量的根本对另一变量的根本有相互的比率。当区别不再是有限大小的区别时，它在本身以内，也就停止其为杂多的东西，而消融为单纯的内涵，是一种质的比率环节对另一种质的比率环节的规定性了。

    但是事物的这种状态之所以被弄得很模糊，是因为前例中所说的纵坐标的原素被了解成差分或增量，即它仅仅是一个纵坐标的定量与另一纵坐标的定量之间的区别。于是这里的极限便没有比率的意义，只被当作最后的值，与另一同类的大小经常接近，以至其区别愿意怎样微小，便可以怎样微小，而最后的比率便成了一个相等的比率。这样，无限差分便是一个定量与另一定量的区别之荡漾不定，而质的本性便在观念中退后了，就这种本性说来，dx在本质上并不是对x的比率规定，而是对dy的。与dx对比，dx2 固然可以消失；但dx与x对比，却更会消失；这就真正意谓着：dx只是对dy才有一比率。————几何学家们在这样的表述中主要该做的事，就是使一个大小对它的极限的接近，明白易晓，把握住定量与定量的区别如何是区别而又不是区别这一特点。但是“接近”这一范畴，却本身简直什么也没有说，也不曾使任何东西明白易晓；dx已经把接近抛在背后，它既不是近，也不是更近；而无限近本身就意味着邻近和接近的否定。

    由于现在事情是这样，即增量或无限差分，假如只就定量方面来看，它们便只是定量的极限，而定量却在它们之中消失了，这样，它们便被理解为无比率的瞬刻。从这里会得出不能容许的观念，即在最后比率中，如横坐标、纵坐标、或正弦、余弦、切线、反正弦以及一切等等都可以被认为彼此相等。假如一条弧线将被当作一条切线处理，那么，这种观念好像就会占上风；因为弧与直线当然也是不可通约的，它的原素比直线的原素有另外不同的质；假如有圆的方（quadrata rotundis），假如弧的一部分，尽管是无限小，却被认为是切线的一段，从而被当作直线来处理，这似乎比混同纵横坐标、反正弦、余弦等还更荒谬，更不能容许。————但是这种处理，与方才斥责过的那种混同，有本质的区别，理由是：在一个以一个弧的原素及其纵横坐标的原素为边的三角形里，其比率与那条弧的原素好比是一条直线的原素，即切线的原素，是同一的；诸角 (55) 所构成主要比率，仍然就是这些原素的比率，由于那个比率把属于这些原素的有限大小都抽掉了，所以那些角仍是同一的。 (56) ————人们对此也可以说，作为无限小的诸直线是过渡为曲线了，并且它们在无限中的比率是一个曲线的比率。直线就定义说，既然是两点之间最短的距离，那么，它与曲线的区别，其根据就在于数量的规定，在于这段距离上可区别的较小的数量，所以那是一种定量的规定。但是当这种规定被认为是内涵的大小，是无限的环节，是原素时，它就在数量中消失了，于是它与曲线的区别也消失了，这种区别仅仅依赖定量区别。————所以直线和曲线，作为无限，并没有量的比率，从而根据已经承认的定义，也彼此不再有质的差异，而是直线过渡为弧。

    说同一整体的无限小部分彼此相等，这样的假设本身是不确定而全然漠不相关的，它与把异质的规定等同起来，相近而又毕竟不同。但是，这种假说应用到一个自身中就有异质的对象，即带有大小规定本质的不均性的对象，却引出高等力学中一个命题所含的奇特的颠倒，这个命题说：一个曲线的各无限小部分，是以匀速运动在各个相等的、并且诚然是无限小的时间通过的；同时关于这个运动，又作这样的主张，即曲线的各有限的、即存在看的、不相等的部分，是以这样的运动在各个相等的、有限的、即存在着的时间部分通过的；这就是就，这种运动是、并且被认为是存在着的、不匀速的运动。这个命题是用文字来表现一个解析的项应当意味着什么，这种项是由前面已经引用过的不匀速而又符合某一规律的运动公式之展开而发生的。新发明的微分计算，永远总是和具体对象打交道，较早的数学家对它的结果，企图用词句来述说，用几何图表来表现，主要是为了把这些结果，依照普通证明方式，用于定理。解析的处理，把一个对象，例如运动的量，分解为一个数学公式的各项，这些项便在公式那里获得了对象的意义，例如速度、加速力等等；根据这样的意义，这些项便应该给出正确的命题，物理的规律，而它们的客观联系和比率也应该依照解析的关联来规定，正如在一个匀加速运动中，存在着一个特殊的、与时间成比例的速度，但是除此之外，还总是要添上重力的增长。这一类的命题，在近代力学的解析的形态中，常常是被当作计算的结果来引用，而不理会它们是否本身有实在的意义，即与一存在物相符合的意义，也不理会这样意义的证明。假如用显明的实在的意义去看待这些规定，要使其联系————譬如从那种简单的匀速度到一种匀加速度的过渡————明白易晓，有了困难，那么用解析的处理也就可以完全消除这种困难，因为在解析处理中，这种联系只是现今已有牢固权威的运算的简单结果。仅仅用计算，便会超出经验，找到规律（即没有存在物的存在命题），这被说成是科学的胜利。但是在微分计算最初的幼稚时期，应该指出那些用几何图线来表示的规定和命题本身的实在意义，使其可通，并且在这样的意义之下，将那些规定应用于有关的主要命题之证明。（参看牛顿在《自然哲学的数学原理》第一卷第二部分第一命题对他的万有引力论基本命题的证明，与舒伯特 (57) 的《天文学》————第一版，第三卷§20————比较，那里承认，在证明的关键之点，情况并不严格地像牛顿所假定的那样。）

    不能否认，在这个领域里，许多东西主要靠无限小的帮忙而被满意地当作证明，其理由不外是所得结果总是先前已经知道的，而这样安排得来的证明，至少也能带来一种证明架子的假象，————比起单纯的信仰或经验的知识来，人们总是更喜欢这种假象一些。但是我毫不犹豫，认为这种方式丝毫不比对证明单纯变戏法、卖假药好一些，其中甚至也要算上牛顿的证明，尤其是方才引过的、属于他的那些证明，人们为此把牛顿捧上天，说他高出克卜勒之上，因为克卜勒仅仅是由经验找到的东西，牛顿却对它加以数学的证明。

    为了证明物理的规律，这些证明的空架子便架起来了。但是，由于物理的量的规定就是那些以环节的质的本性为基础的规律，数学对它们根本不能够证明；理由很简单，因为这门科学不是哲学，不是从概念出发，并且质的方面，由于不是以辅助证明的方式从经验取来，因此便在数学的范围以外了。说数学中出现的一切命题都应该有严格证明，要维持数学的这种荣誉，使它常常忘记了它的界限；于是简单承认经验是经验命题的源泉和唯一证明，便似乎是触犯了数学的荣誉。后来关于这种情况的意识变得较为有修养了；但是在这种意识没有区别清楚什么是数学可证明的和什么是只能从别处取得证明的以前，以及区别清楚关于什么只是解析展开的项和什么是物理存在物以前，科学性是不能达到严格而纯净的态度的。但是牛顿的那种证明架子，无疑也将和牛顿从光学实验得来的另一无根据的构造以及与其有关的推论，遭到同样公正的命运的。应用数学至今还是充满着这类经验和反思的酿制品，但是和那种光学自长时期以来就已经开始一部分接着一部分在科学中实际上被忽视了一样（这里仍有不彻底处，即剩余的部分尽管其中有矛盾，却还是被保留下来了），那些骗人的证明，事实上也同样已经有一部分被忘却或被其他证明代替了。

    注释二　微分计算从它的应用所引导出来的目的

    前一注释中所考察的，一部分是微分计算所用的无限小的概念规定性，一部分是将无限小引入微分计算的基础；两种规定都是抽象的，所以本身也是容易的。但是所谓应用，却既提供了较大的困难，又提供了较有趣的方面；这个具体方面的原素，应该是本注释的对象。微分计算的全部方法只用一个命题便毕业了，即dxn ＝nxn－1 dx，或 ＝P，即等于依dx或i的方幂而展开的x＋dx，x＋i，这个二项式的首项系数。再不需要学更多的东西；以后的形式，如乘积的微分、指数的量等等推演，都可以机械地由此得出；用很少时间，或许用半点钟，便可以学会全部理论————因为求得微分，其反面，积分也就有了，即微分的原始函数也就求得了。不过，在以解析的方式，即以完全算术的方式，由变量函数的展开而求得那个系数之后，在这个变量由增长而获得一个二项式的形式之后————在课题这一情况很容易办好之后，而其另一情况，即正在发生的系列，除首项外，其余诸项都被省略，仍有其正确性；要懂得这一点并使其可以理解，却须费较长的工夫。假如情况是：唯有那个系数才是必要的，那么，这就会正如我们所说，只要有了系数的规定，一切与理论有关的东西，用不了半点钟便完结了，而省略系列的其余各项也并不成为困难，它们之作为系列各项（作为第二、第三等函数，它们的规定已经与第一项的规定一起解决了），倒是完全谈不到的，因为这里的事情与它们毫不相干。

    这里可以首先提说一下，人们当然立刻可以看出微分计算不像是只为自己而发明、建立的；它之创立另一种解析办法，不仅不是为它自己，而且勉强干脆省略掉展开一个函数所产生的各项，那倒简直是与一切数学原理完全矛盾，因为这一展开的整体却仍然被认为完全属于有关的事情，————这个事情被看作是一个变量（在给予这个变量一个二项式形态以后）的展开了的函数与原始函数的区别。需要这种办法，而在这种办法本身那里又缺少论证，这就立刻显出了它的来源和基础必定是在别的地方。在别的科学中，也曾出现过同样的事，那首先树立起来的、作为基本的东西，并且许多科学命题都应该从那里演绎出来，却是一个不明不白的东西，它的理由和根据反而要在后来才得显明。微分计算史中的演进，说明了尤其在各种切线法，也同样是以人工制造品做事情的开始；在方法扩展到更多的对象以后，它的方式才渐渐被意识到，而被纳入抽象的公式，并被试图提高为原则。

    我们已经指出过，那些被安置在相互比率中的定量，其质的量规定性就是所谓“无限小”的概念规定性，这里联系着想用关于无限小的描写和定义来证明那种概念规定性的经验的研究，在这种情况下，无限小是被当作无限差分以及诸如此类的东西。————这种情况之发生，其兴趣只在于抽象的概念规定性；更进一步的问题则是从这种抽象的规定性过渡到数学的形成和应用，情况是怎样的。为此目的，首先须更进一步着手理论方面、即概念规定性，它本身将证明并非是完全无益的；然后就要考察这种概念规定性与应用的关系，并就这里范围所及，在这两方面都要证明，一般结论对于微分计算所需要做的事，以及做成它的方式如何，都同样是适宜的。

    这里首先需要提一下，现在所谈的概念规定性在数学方面的形式，已经附带讲过了。量的事物，其质的规定性，首先一般地表现为量的比率，但是在说明所谓各种计算方式时（参看有关的注释），也曾经预示在方幂比率（将来在适当的地方还要加以考察）中，数由于它的单位和数目这两个概念环节之相等被当作是回复到自身，从而在自身那里获得无限性、自为之有、即由自身规定的有这一环节。于是，正如已经提到过的那样，显明的质的大小规定性，主要是与方幂的规定有关，既然微分计算的特点就是用质的大小形式来运算，那么，它的特殊的数学对象，就必定是对方幂形式的处理，而且有关使用微分计算的全部课题及其解答，都指出唯有方幂规定本身的处理，是其兴趣所在。

    这种基础虽是如此重要，并且立刻把某种确定的东西提到顶点，代替了徒具形式的范畴，如可变的、连续的或无限的大小之类，也代替了仅仅是一般函数的范畴，却仍然太一般了；其他的运算也同样与此有关；先是乘方和开方根，然后是指数大小、对数、系列的处理，较高级的方程式，其兴趣和努力都只是在于以方幂为基础的比率。这些比率无疑必须共同构成一个处理方幂的体系，方幂规定可以在各种比率中建立起来，但在那些比率之中，这个体系却是微分计算的特殊对象和兴趣所在，它只是由微分计算本身，即由所谓微分计算的应用，才可以取得。这些应用实际是事物本身，是数学解决一定范围内的问题的实际办法；这种办法比理论或一般部分为时较早，它只是后来由于以后创立了理论的关系，才被称为应用；理论想要提出办法的一般方法，并给予方法以原则，即给予它以论证。至于曾经白费过什么样的努力，要为以前对这种办法的观点找出原因，来真正解决出现的矛盾，而个是仅仅用那种就数学办法说来虽属必要，但在这里却须省略掉的无足轻重的东西，或走相同的路用无限或任意接近的可能性以及诸如此类，来宽恕或掩盖这种矛盾：这在前一注释中已经指出过了。假如从被称为微分计算的这一数学的现实部分用与以前不同的方式，抽掉这种办法的一般东西，那么，那些原则和搞那些原则的努力，本身既然表明是某种歪斜的、仍陷于矛盾的东西，所以也就大可省去了。

    假如我们简单地接受数学这一部分现有的这种特点，加以研究，那么，我们所发现的对象就是：

    （1）方程式，任何数目的大小（这里一般可以以二这一数目为限）在这些方程式中就联系为规定性的这样一个整体，即，第一，这些大小以作为固定界限的经验的大小为其规定性，然后以这些大小与经验的大小的联系方式以及它们自身间的联系方式为其规定性，这一点在一个方程式中的情况一般都是如此；但是因为两个大小只能有一个方程式（相对地说来，较多的大小当然就会有较多的方程式，但是方程式永远要比大小的数目少），所以这类方程式属于不确定的方程式；————第二，这些大小之所以在这里有其规定性，因为它们的一种情况就在于它们（最少是它们中之一）之出现于方程式中有比一次方幂较高的方幂。

    对此需要先说几句话，第一，依据上述第一种规定，这些大小完全只有像在不确定的解析课题中出现的那些变量的特性。它们的值是不确定的，但是，情况却是这样的，即，假如一个大小从别处得到了一完全确定的值，即一个数值，那么，另一大小也就确定了，这样，一个大小便是另一个大小的函数。变量、函数以及诸如此类的范畴之所以对这里所谈的特殊的大小规定性，仅仅如我们以前所说，是形式的，那是因为这些范畴所具有的一般性还不包含微分计算全部兴趣所在的那个特殊方面，从而也不能用解析来解释。这些范畴原本是简单的、不重要的、容易的规定，只因为要把本来不在其中的东西，即把微分计算的特殊规定，放到它们里面去，以便从它们那里又把这种东西引导出来，这才造成麻烦。至于所谓常数，可以说常数先是作为漠不相关的经验的大小，它对变量进行规定，也只是关于变量的经验的定量方面，作为变量的最低或最高的极限；但是常数与变量的联系方式，对于特殊函数（这个函数就是那些变量）的本性说来，本身也是它的环节之一。但是反过来说，常数本身也是函数；例如一条直线假如有它是一条抛物线的参数这种意义，那么，它的这种意义也就在于它是 这个函数；一般和展开二项式那样，常数是展开的首项系数，为各方根之和，第二项系数是这些方根两个与两个等等乘积之和，所以这些常数在这里一般都是方根的函数；在积分计算里，常数也由一定的公式来规定，在这种情况下，它是被当作这一公式的函数来处理的。我们以后将用一种与函数不同的规定，来考察这些系数，其全部兴趣所在，只是系数在具体方面的意义。

    但是现在考察变量用以区别它们在微分计算中的自身和它们在不确定的课题中的状态这一特点，那在前面所述已经提出了，即这些变量，最少是一个或全部都有比一次方幂较高的方幂，至于那些变量全部是否都有同一较高的或不等的方幂，却是不相干的；它们在这里所具有的特殊不确定性，在于它们以这样的方幂比率，互为函数。变量的变化因此是在质方面被规定了的，从而是连续的；连续性本身不过又是一个同一性（即在变化中自身仍然保持，仍然同一的规定性）的一般的形式的范畴，但在这里却有其确定的意义，当然这只是在方幂比率中，因为这个比率不是以定量作它的指数，也不构成变量比率的量的、不变的规定性。因此也须注意反对另一种形式主义，即一次方幂只是与较高的方幂相比，才是方幂；x本身只是任何一个不确定的定量。所以就直线方程：y＝ax＋b，或简单的匀速度方程：s＝ct本身加以区分，并无意义；假如从y＝ax或也从y＝ax＋b变为a＝ ，或从s＝ct变为 ＝c，那么，同样地，a＝ 就是切线的规定，或 ＝c就是简单速度的规定。后者作为 是表现于与被称为匀加速运动的展开那种东西的关联之中；但是单纯的、简单匀速的（即不由运动诸能率之一的较高方幂规定速度的）一个能率，出现于匀加速的运动的系统之中，那就正如前面说过的，本身是空洞的假定，只是以方法的习惯成规为基础。方法既然从变量应有增长这一观念出发，那么，只是一次方幂的函数这样的变量当然也有增长。假如现在为了求出微分而必须认为由此而发生的第二个方程式与已知的方程式有区别，那么这种运算的空虚就表现出来了；因为前面已经讲过，在运算以前和以后，对于所谓增长和对于变量本身，方程式都是相同的。

    （2）以上所说，明确了需要处理的方程式的本性，现在要举出来的，是这种处理的兴趣所在是什么。这样的考察所能给予的，只是已知的结果，就形式说，这些结果尤其是像拉格朗日所理解的那样；但是我为了剔除那里混杂着的异质的规定，所以提出的说明，完全是很基本的。————上述种类的方程式的处理的基础，显示出方幂在它自身之内被认为是一个比率，是一个比率规定的系统。方幂在以上被表述为数，它之所以能够如此，是因为它的变化是由它自身规定的，它的环节、即单位与数目，也是相同的，————如以前所指出的，方幂在平方中也就很完全了，而在更高的方幂中，不过是更形式的，在这里无关宏旨。现在方幂作为数（虽然人们较喜欢用“量”这一名词，以其较为一般，但是方幂本身总之仍旧是数），既然是一个数量，也表现为总和，那么，它在自身之内可以被除为任何数量的数，这些数除了一共等于它们的总和而外，其彼此之间和对总和便都没有别的规定了。但是方幂也可以被除为那些由方幂形式规定的差分的总和。假如方幂被当作总和，那么，它的方根数，或说方根，也被当作总和，至于除它的倍数也是任意的，但是这种倍数却是漠不相关的、经验的、量的东西。方根应当是总和；总和归到它的单纯规定性，即它的真正普遍性时，就是二项式；一切更多的项的增加都仅仅是这个同一规定的重复，因此也就是某种空虚的东西。 (58) 问题所在，只是这里由被认为是总和的方根乘方而生的诸项之质的规定性，这种规定性完全包含在乘方这一变化之中。于是这些项便完全是乘方和方幂的函数了。把数表现为这样的诸项（它们就是乘方的函数）一定数量的总和，然后兴趣就在于找出这些函数的形式，并随即从这些项的数量找出总和，因为要找出总和唯一必须依靠函数的形式，————这就构成大家知道的特殊的系列论。但是这里重要的是，把更有兴趣之点区别出来，即作为基础的大小本身（因为它是一复合体，在这里就来，即是一个方程式，其规定性自身就包括了一个方幂）与其乘方函数的比率。完全除去了前面所说的对总和的兴趣，这种比率就将表现出它是真正科学所产生的唯一观点，微分计算便是把这种观点放在最前列的。

    但是对以上所说，还必须先加上一种规定，或者不如说必须除去其中所包含的一个规定。我们曾经说过，变量（方幂就在它的规定之中）在它自身以内被认为是一个总和，而且是各项的系统，由于各项是乘方的函数，所以方根也当然被认为是一个总和，其形式被简单地规定为一个二项式：

    xn ＝（y＋z）n ＝（y＋nyn－1 z＋……）.

    这种表达，对于方幂的展开，即对于达到方幂的乘方函数，是从总和本身出发的；但这里问题所在，既不是总和本身，也不是由总和所产生的系列，那必须从总和取来的东西，只是关系。大小的关系本身，一方面是在抽去一总和本身加多（plus）之后所剩余的东西。但是这样的关系之已经被规定，就在于这里的对象是ym ＝axn 方程式，已经是较多的（变）量的复合体，它包含了这些量的方幂规定。在这个复合体中，每一个量都直接被当作是与另一个量有关系，其意义可以说是对它自身的加多，————被当作是另一量的函数；它们互为函数的特点，给了它们加多这一规定，正因此，这个加多是完全不确定的，而不是增长、增量以及诸如此类的东西。但是我们也可以把这种抽象观点放在一边；事情可以完全简单地停留在这样的一点，即已知在方程式中互为函数的变量，以致这种规定性包含了方幂的比率，在这之后，每一个乘方的诸函数也就可以互相比较————这第二类的函数，除了由乘方本身规定而外，并无其他规定。把一个方程式从它的变量的方幂移到它的展开函数的比率，起初可以就是随意的，或是可能的；这种转变的用处必须在以后的目的、益处、使用中显示出来；所以要做这种改移，只是由于它的有用。假如上面是从表达一个量（它作为总和，在自身中是被认为有不同的部分的）的这种方幂规定出发，那么，这种用处便只是一部分为了指出这些函数是什么种类，一部分在于求出这些函数的方式。

    这样，我们便到了普通解析的展开，它为了微分计算之故，将被理解为这样，即变量有了dx或i的增长，而现在二项式的方幂也由属于二项式的各项系列而表现出来。但所谓增长不应是一定量，只是一形式，它的全部价值就在于帮助展开；人们对以前提到的极限观念所愿意承认（而以尤拉和拉格朗日最为坚决）的东西，只是由变量产生的方幂规定，即增长及增长的方幂的所谓系数，系列依照这些方幂规定而安排自身，不同的系数也属于这些规定。这里还可以说只是为了展开的缘故，才假定有一增长，它不是定量，所以对此用1（一），是最合宜的，因为这种增长在展开中永远只出现为因数，正是一这个因数完成了虽有增长而无量的规定性和变化这一目的；另一方面，带着量的差分这种错误观念的dx，以及带着在此处无用的普遍性假象的其他符号，如i，总是有定量及定量方幂的外貌和假托；而后这种假托又惹起必须将它取消和省去的麻烦。为了维持一个依方幂而展开的系列形式，指数的符号作为指标（indices）同样也可以加在一的后面。但是无论如何，必须抽掉系列和按系数在系列中地位而有的系数规定；这一切之间的比率都是同一的；第二函数之从第一函数导引出来，也正如第一函数从原始函数导引出来那样，假如一个函数被算作第二函数，那么第一函数，虽然也是导引出来的，而对于第二函数说来也就又被算作原始函数了。重要之点是兴趣不在于系列，而唯一在于从展开所发生的方幂规定，这种规定与对方幂是直接的量有比率。所以这些方幂并不被规定为展开的首项系数，因为一项是以与系列中其他后继各项的关系而被称为首项，但是一个作为增长方幂这样的方幂以及系列本身，却与此无关，假如宁愿要导出的方幂函数，或如以前说的量的乘方函数这样单纯的名词，那么，它就已经被假定为已知的，“导数”就以这种方式被认为是包括在一方幂之内的展开了。

    假如说现在数学在这一部分解析中的真正开始，不过是求出由方幂展开而规定的函数，那么，也还有一个问题，即从这里得到的比率该怎么办呢，这个比率在哪里有应用和使用之处呢，求这些函数，到底是为了什么目的呢。求出具体对象的比率，可以将它们归结到那些抽象的、解析的比率；微分计算由此得到很大的兴趣。

    关于能否应用问题，借助于指出过的方幂环节的形态，首先从事情本性出发，还不要从应用事例去推论，也就自然产生如下的结果。方幂大小的展开（其乘方的函数由此产生），抽掉了较细密的规定，首先便一般地包含着将大小降低到最近的较低方幂。于是这种运算便可以应用到同样有着这种方幂区别的那些对象上去。假如我们现在考虑到空间规定性，那么，我们便发现它含有三维，我们为了把这三维与长、宽、高等抽象的区别相区别，可以称它们为具体的区别，即线、面和整体的空间；我们以最简单的形式，从自身规定，也就是从解析因次的关系去看待它们时，便有了直线、平面、作为平方的平面和立方。直线有一经验的定量，但是随着平面，便出现了质，即方幂的规定；至于较细密的变形，例如随着平面的曲线也出现了质，我们可以置之不理，因为这里所涉及的，首先只是一般的区别。这里也产生了从较高的方幂规定到较低的过渡以及相反的过渡之需要，因为，例如直线规定便应当从已知的平面等等方程式导出，或是相反。————此外还有运动；对它所要观察的，就是它通过的空间及因此所用去的时间的大小比率；运动表现为各种不同的规定，如简单的匀速、匀加速、匀加速和匀减速的交替、回到自身等运动；由于各种运动，都是依照其空间、时间两环节的大小比率来表示的，于是为了这些运动，便从不同的方幂规定，产生了方程式；在这种情况下，可能需要从另一种运动或另一种空间大小来规定一种运动或与运动相连的一种空间大小，于是也同样引起运算从一个方幂函数到一较高或较低的方幂函救的过渡。————这两种对象的例子应当可以满足引用这些对象的目的了。

    微分计算在应用中所呈现的偶然外貌，会因为意识到应用所能有的范围的本性和这种应用真正的需要与条件而大为简化。但现在的问题是需要进一步知道，在这些范围内，数学课题的对象的哪些部分之间有像微分计算特地建立起来的那样的比率。必须立即提出来说，这里有两种比率须加注意。一个方程式开方的运算，依其变最所导出函数来考察这一方程式时，所得的结果，本身真的不再是一个方程式而是一个比率；这个比率是真正微分计算的对象。正因此也就有了从较高方幂规定（原来的方程式）本身到较低方幂规定（导出的方程式）的第二种比率。我们在这里先把第二种比率放在一边；那在以后将是积分计算的特殊对象。

    我们先来考察第一种比率，并且对于从所谓应用取得的环节的规定（这是运算兴趣所在），举一个最简单的曲线例子，这些曲线是由一个二次方幂的方程式所规定的。大家都知道坐标线的比率是由一个有方幂规定的方程式所直接给予的。基本规定的结果是与坐标线有关联的其他直线，如切线、次切线、垂直线等规定。但是这些线与坐标线之间的方程式，却是直线方程式；整体（这些直线被规定为某部分）就是直线的直角三角形。从包含方幂规定的基本方程式到那些直线方程式的过渡，现在就包含着上述的从原始函数（即是一个方程式）到导出的函数（即是一个比率，而且当然是被包含在曲线中的某些直线之间的比率）的过渡。现在需要找出来的，就是这些直线的比率和曲线方程式之间的关联。

    最早的发现者只知道用完全经验的方式来陈述他们的发现，对于仍然是完全外在的运算不能加以评价，在这里提到一些历史方面的事，并不是没有兴趣的。我对此暂时满足于举牛顿的老师巴罗为例。他在《光学与几何学讲义》中，按不可分的方法来处理高等几何的问题，这种方法首先与微分计算的特点不同，他也说明了他规定切线的办法，“因为朋友们敦促过他”（第十讲）。这种说明的情况如何，这种办法如何被陈述为完全像外在的规则那样，————用的是和以前算术教科书中讲授算法的，“三数法” (59) 或更恰当些的所谓“弃九法”同样的笔调：要对此有适当的概念，须读他的原书。他划出一些细微的线（这些细微的线后来被称为一条曲线的特殊三角形中的增量），于是立下章程作为单纯的规则，要把随方程式的展开而出现的那些增量的方幂或乘积诸项当作是多余的，加以省略（因为这些项所值是零，etenim isti termini nihilum valebunt）；同样，假如一些项只含有原来方程式所规定的大小，它们也必须扔掉（————这就是后来从以增量构成的方程式中减去原来的方程式）；最后，必须用纵坐标本身来代替纵坐标的增量，用次切线来代替横坐标的增量。假如这样说可以容许，那么，我们就要说这种办法不能以小学教师的方式来说明；————后一种代替是假定了纵横坐标的增量与纵坐标和次切线有比例，这种假定在普通微分方法中，成了切线规定的基础；而这个假定在巴罗的规则中，却赤裸裸表现其幼稚。一个规定次切线的简单方式，是已经发现了的；罗伯伐尔 (60) 和费尔马 (61) 方法也达到了相似之点，————求出最大值和最小值的方法（最小值便从这种方法出发），是依靠同样基础和同样办法的。要找到所谓方法，即那一类的规则，而又把它们搞成神妙莫测，这在当时曾经是数学的狂热病，这种神妙莫测的东西不仅很容易，而且在某种情况看来，也是必要的，其理由也同样是它很容易，————这是因为发明者只找到了一种经验的、外在的规则，而不是方法，即不是从公认原则演绎出来的东西。这些所谓方法，莱布尼兹从他的时代，牛顿也同样从同一时代并且从他的老师那里，直接承受下来了；这些所谓方法，由于形式的普遍化和可以应用，为科学开辟了新路，但也就从而有需要使办法冲破单纯外在的规则形态，并且有了对它作必要修正的企图。

    我们若仔细分析这个方法，那么，真正的过程就是下面这样。首先，方程式中所包含的方幂规定（这当然是指变量的方幂规定），降低到它们的最初导数。但是这样一来，方程式各项的值便有了变化；因为再没有方程式剩下来，只是在一变量的最初导数与其他变量的最初导数之间产生了一个比率；代替px＝y2 有了p﹕2y，或是代替2ax－x2 ＝y2 有了a－x﹕y，这就是以后常常被称为 的那个比率。这方程式是一个曲线方程式，那个比率完全依靠这个方程式，从那里（这在上面就是按照一个单纯的规则）导出的，却反而是一个直线的比率，某些直线以此而有比例；p﹕2y或a－x﹕y，本身是从曲线的直线，即从坐标线，参数而来的比率；但是人们从这里还是没有知道什么东西。有兴趣的事，是要知道关于其他在曲线那里出现的直线，求出适合于它们的那个比率，即两种比率相等。————其次，问题是：由曲线本性所规定的，而又有这样比率的直线，是什么？————但这是久已知道的东西，由那种方法所获得的比率，就是纵坐标与次切线的比率。古人曾经用聪敏的几何方法求出这个；近代发明者所发现的东西，只是经验的办法，把曲线方程式如此安排，以便提供已经知道的那个第一种比率，它等于那包含它所要规定的直线（这里就是次切线）的比率。方程式的那种安排，一部分是有方法地去理解并造成的，即取导数（Differentiation），一部分却是发明了想象的坐标增量以及由这两个增量与切线的一个同样想象的增量所构成的想象的特殊三角形，于是由方程式的开方而找到的比率和纵坐标与切线的比率两者的比例性质，不仅不被表述为是经验地从旧知识得来的某种东西，而且是经过证明的东西。但是旧知识却以上述规则的形式，一般地，极其明白地证明自身假定是特殊三角形和那种比例性质的唯一的起因和有关的理由。

    拉格朗日抛弃了这种假冒的货色，开创了真正科学的道路；理解问题所在，须归功于他的方法，因为这种方法就在于把为了解决问题而必须作出的两个过渡分开来，把每一方面都分别加以处理和证明。————在对过程作较详细的说明时，我们仍然用求出次切线这样初步问题的例子。这个问题的解决，一部分，即理论的、或一般的部分，即从已知的曲线方程式求出第一函数，这由它本身就可以调整就绪；这一部分给了一个线的比率，即直线的比率，这些直线出现于曲线规定的系统之中。问题解决的另一部分，是求出曲线中有这种比率的那些直线。现在可以用直接的方式（《解析函数论》第二部分第二章）办到这一点，即没有特殊三角形，这就是说无须假定无限小的弧和纵横坐标，也无须给它们以dx和dy（即那种比率的两端）的规定和那个比率立刻直接与纵坐标及次切线相等的意义。一条线只有在它构成一个三角形的边之时，它（一个点也如此）才有它的规定，正如一个点的规定也只是在这样的三角形中那样。顺便可以提一下，这是解析几何的基本命题，它之引入坐标线就像它把力的平行四边形引入力学中那样（这本来是同一回事），正因此，平行四边形才完全不需要费许多气力去找证明。————现在以次切线为一个三角形的一边，纵坐标及有关的切线为三角形其他的边。切线作为直线，其方程式便是p＝aq（加上＋b对于规定并无用处，那只是为了癖好普遍性的缘故才添上去的）； 比率的规定便归在q的系数a之内，它又是方程式的有关的第一函数，但一般只需要把它看作是a＝ ，如以前所说，这是应用于曲线被当作切线的那种直线的规定。再者，现在既然假定了曲线方程式的第一函数，那么，它同样也是一条直线的规定；进一步说，既然假定了第一条直线的坐标线p与曲线的纵坐标y是同一的，那么，第一条直线被当作是切线与曲线相交的一点，也就是由曲线第一函数所规定的直线的起点，所以应该要指出的是：这第二条直线与第一条重合，即它是切线；用代数来表示，即因为y＝fx，和p＝Fq，现在设y＝p，所以fx＝Fq，而f′x＝F′q。现在被当作切线来应用的直线，与由方程式而来并被其第一函数所规定的直线，是重合的，所以第二条直线是切线；证明这一点将由横坐标的增量i和被函数展开的规定的纵坐标增量来帮忙。于是这里也同样出现了那个声名狼藉的增量；但是为了方才所说的目的而引入增量，以及依增量而展开函数，都必须与以前提到过的为求出微分方程式和为特殊三角形而使用增量，很好地区别开来。现在这里的使用是有理由而必要的；这种使用是在几何范围之内，因为切线与曲线有一共同的相交之点，在这切线与曲线之间，并没有另外的直线能够同样落在这一点上并通过其间，这是属于切线本身的几何规定的事。于是切线或非切线的质，便以这种规定而归结到大小的区别，那条线既是切线，绝对较大的小 (62) 便因与此有关的规定而加于这条切线之上。这种似乎是相对的小，丝毫不包含经验的东西，即不包含依赖定量本身的东西；假如需要比较的大小是依赖于环节的区别，而环节的区别就是方幂的区别，那么，这种小便是由公式的本性在质的方面建立起来的；由于这种区别归结于i和i2 而且这个i归根到底应当意谓着是一个数，于是便须设想i是一个分数，而i2 本身便比i小；这样，可以把i当作是一个随意的大小的这种观念，在此便是多余的，甚至用得不是地方。对较大的小的证明，因此也与无限小毫不相干，在这里丝毫不须引用无限小。

    对于笛卡尔的切线法，即使是仅仅为了它的美妙和它的今日已被遗忘但却是值得享有的荣誉，我也还愿意介绍它；此外，它与方程式的本性也有关系，关于这一点，以后在另一注释里还要谈到。笛卡尔在他的对别方面也很有益处的几何学中（第二册，第357页以下，全集第五卷，古冉版），讲述了这种独立的方法，在那里，所求的直线规定，也是从同样的导出函数里找到的，由于他在这种方法中，教授了方程式本性的伟大基础及其几何的结构，从而在很大程度上把解析推广到一般的几何。在他那里的问题，具有课题的形式，那就是画一条直线垂直于一条曲线的任何地点，由此而规定次切线等等；他的发现涉及当时有普遍科学兴趣的对象，这种发现是如此其几何式的，并由此而远远高出他的竞争者的单纯规则的方法（这种方法，前文已经提到过）；人们可以体会他在那本书里对这种发现也踌躇满志，他说：“我敢说这在几何学中，不仅是我所知道的，而且是我从来想要知道的最有用、最一般的问题。” (63) 他为解决直角三角形的解析方程式奠定了基础，这个三角形的形成，由于：（1）曲线上一点的纵坐标，而问题中所要求的直线应当在这一点上垂直，（2）这条直线本身，即垂直线，（3）被纵坐标和垂直线所切断的轴的一部分，即次垂直线。从一条曲线的已知方程式，无论是纵坐标或横坐标的值，现在都将在那个三角形的方程式中得到代替，于是便有了一个二次方程式（笛卡尔并且指出含有较高次的方程式的那些曲线，也怎样还原为这种二次方程式），在这个方程式中，那些变量只有一个出现，它或是平方，或是一次方幂；————一个平方的方程式 (64) ，它起初看来像是所谓不纯的方程式。于是笛卡尔有了这样的想法，即：假如在一条曲线上所取之点，被设想为这条曲线与一圆相切之点，这个圆便将还在另一点与这条曲线相切，于是对于两个由此产生而不相等的x，便将发生两个方程式，它们具有相同的常数和相同的形式；————或者说只有一个方程式，但具有不同值的x。但是为那一个三角形，却只有一个方程式，在那个三角形中，垂直于曲线的，是弦，或说垂直线；被设想的是：曲线与圆相切的两点是重合的，所以曲线可以与圆相交。但是这样一来，平方方程式的不相等的方根x或y的这种情况也就消失了。但是在一个有两个相等方根的平方方程式中，未知的方根含有一次方幂，其所含之项的系数，就是那仅仅一个方根的两倍；这就有了一个方程式，所求的规定便可由这个方程式找到。这种步骤必须看作是一个真正解析头脑的天才的把握，反之，次切线和纵坐标与纵横坐标的所谓应当是无限小的增量之间全然臆断的比例，与上述步骤相比，便完全落后了。

    由上述方式所获得的最后的方程式，它使平方方程式第二项的系数与双重方根或未知方根相等，这个方程式与用微分计算办法所找到的方程式是相同的。假如对x2 －ax－b＝0求微分便会有一个新方程式2x－a＝0；或从x3 －px－q＝0得到3x2 －p＝0。这里也可以说这样导出的方程式，其正确完全不是自明的。在一有两个变量的方程式中，变量之所以不失其为未知数的这种特色，正因为它们是可变的，如上面考察过的，其所发生的结果，只是一个比率；这是由于已经指出过的很简单的理由，因为用乘方函数来代替方幂本身的地位，方程式两项的值便会变化，至于在这样变了值的两项之间是否还有一个方程式，这件事就本身说来，却仍然是未知的 ＝P这个方程式不过表示P是一个比率，对 此外并没有赋予什么实在的意义。从这个比率＝P，还是同样不知道它与什么其他的比率相等；只有这个方程式，或说比例性，才对这个比率给了一种价值或意义。————如前所说，这种意义，即被称为应用的那种东西，是从别处，即从经验得来的，所以对于这里所谈的由求微分而导出的那些方程式，必须从别处知道它们是否有相等的方根，以便知道所得到方程式是否还正确。但是教科书中并没有明白注意到这种情况；当然这种情况是被消除了的，因为一个带有未知方根的方程式被归结为零，使其直接＝y，于是求微分时，结果当然就只有 这一比率了。函数计算固然应该是和乘方函数打交道，微分计算固然应该是和微分打交道，但是绝不能由此得出结论，说取了微分或乘方函数的大小，它们本身也应该只是其他大小的函数。在理论的部分，只指示要导出微分或说乘方函数，还并没有想到那些被教导要按这样导出而处理的大小，本身也应该是其他大小的函数。

    关于在求微分时省略常数，也还可以注意，取微分在这里意谓着常数在方根相等时，对于方根的规定是不相干的，因为那种规定由于方程式第二项的系数便已经穷尽了。和前引的笛卡尔的例子一样，常数本身就是方根的平方，所以方根从常数来规定，同样也可以从系数来规定，————因为常数也一般和系数同样是方程式的方根的函数。在普通表述中，所谓常数只是用加号（＋）减号（－）与其余各项联系，省略这个常数，只是依办法的单纯机械作行的，为了求出一个综合表现的微分，便只对变量给予一并从原来的表现减去由此而形成的表现。常数的意义及它们本身在什么程度上是函数，依照这种规定，它们是有用有用：这些都没有谈到。

    与常数的省略联系起来，关于求微分和求积分这两个以作类似于以前对有限和无限的名词所作的说法，即它们所包含的东西，倒是名词所说的反面。求微分是指建立差通过求微分，一个方程式反而降到较低的因次， (65) 而省略是去掉了规定性的一个环节；如前所说，假定变量的方根么，方根间的差分也就取消了。反之，求积分时，却应该再数；方程式固然因此而得到积分，但是这意谓着恢复了以前的方根的差分，而被假定相等的东西将再取微分。————普词也增添了对事物本质的含混朦胧，一切都是用次要的、甚题风马牛不相及的观点来提出的，这种观点一部分是无限分、增量以及诸如此类，另一部分是一般已知的和导出的函的单纯差分，而并没有标明其特殊的，即质的区别。

    另一个使用微分计算的主要部门，是力学；关于它的对运动————的基本方程式所发生的不同的方幂函数，其意义带提到过；在这里，我愿意直接从这些意义谈起。简单匀速表示，即c＝ 或s＝ct方程式，其中所经过的空间依一个单位c，即速度的大小，与所经历的时间成正比例，这个方用而进个增长，其省略，或是没名词，可的规定分；但是常数，又相等，那加上常取消过通的名至与主小的差数之间象————已经附的数学经验的程式对于求微分，并没有提供什么意义；系数c是完全规定了的，已知的，不能再有更多的方幂展开。————如何解析落体运动方程式s＝at2 ，在这以前也已经提到过；———— ＝2at解析的首项、假如翻译为语言并连带地移植为存在物，那就是：一个总和（这个概念，我们久已去掉了）的项应该是运动的一部分，并且这一部分应该这样地加到惯性力（即简单匀速运动）里去，那就是：运动在无限小的时间部分中是匀速的，但在有限的、即事实上存在着的时间部分中，是不匀速的。当然，fs＝2at，并且a和t的本身意义，都是已知的，这样也就一同建立了运动匀速的规定；既然a＝ ，于是2at＝ 就是普遍的；但是人们丝毫不因此而多知道什么。只是错误的假定，即2at是作为一个总和的运动的一部分，给予了一个像是物理命题的错误假象而已。a这个因数本身，是一个经验的单位，是一个定量本身，它需要归到重力上去；假如要用重力这一范畴，那倒不如说s＝at2 这一整体是结果，或更确切地说，是重力的法则。————从 ＝2at导出的命题也是一样，这命题说：假如重力停止发生影响，那么，物体便将以坠落终止时所达到的速度，在相等于坠落所费的时间内，通过它所曾经过的空间的两倍。————这里包含着一个本身很歪曲的形而上学；坠落的终止，或说物体坠落所终止的时间部分，它本身总之还是一个时间部分；假如它不是时间部分，那就是假定了静止，从而也就没有速度；速度的提出，只能按照在一定时间内，而不是在时间的终止部分所经过的时间。假如现在毕竟要把微分计算应用于完全没有运动的物理部门，例如光的情况（除了它在空间中的所谓传播之外）和颜色的量的规定，而将这里一个平方函数的第一导数也叫做速度，那么，这就必须认为是冒充存在物更要不得的形式主义。

    拉格朗日说，我们在物体坠落的经验中找到s＝at2 方程式所表示的运动。在这个运动之后，最简单的运动将是其方程式为s＝ct3 的运动，但是自然界并没有表现过这类的运动；我们还不知道c这个系数能意谓什么。对系数c说，虽然是如此；反之，却有一个运动，其方程式是s3 ＝at2 ，这就是太阳系天体运动的克卜勒规律；————这里第一个导出的函数 等等应该意谓着什么，以后用直接求微分来处理这个方程式，从这个出发点来阐释那种绝对运动的规律和规定：这些就恰恰相反，一定显得是很有兴趣的课题，解析在这种课题中会露出最可贵的光彩。

    所以微分计算对运动基本方程式的应用，就本身说，并没有提供什么实在的兴趣；至于形式的兴趣，那却是从计算的一般机械作用来的。但是就运动轨道的规定的关系来解析运动，这却包含另一种意义；假如这是一条曲线，并且它的方程式也包含了较高的方幂，那么，这就需要从作为乘方函数的直线函数到方幂本身的过渡；由于获得那些直线函数，须从原来包含时间因数的运动方程式去掉时间，所以这个因数也须同时降到较低的展开函数，从这些展开函数，可以得到直线规定的方程式。这个方面引起对微分计算另一部分的兴趣。

    以上所说的目的，在于强调并明确微分计算简单的特殊规定，用一些粗浅的例子来说明这种规定。这种规定之所以产生，在于：从一个方幂函数的方程式，求出展开项的系数，所谓第一导数；这个函数是一个比率，它在具体对象的诸环节中得到证明；如此由这个函数得来的方程式，便在那两个比率之间规定了这些环节本身。同样也需要简短考察一下积分计算原理以及这原理应用于积分计算特殊具体规定所发生的东西。这种计算的观点之所以已经简化并得到更正确的规定，因为它已不再被认为像与求微分对立时被称为累加法（Summations Methode）那样，在那时，增长还被当作是重要的成分，从而计算还好像与系列的形式有本质的联系。————这种计算的任务，起初也和微分计算的任务一样，是理论的，或者不如说是形式的；但是大家也都知道，它正是微分计算的反面；————这里是从一个函数出发，这个函数被认为是导数，并且是从一个还未知的方程式的展开而产生的次一项的系数，从这个导数应该找出原来的方幂函数；在展开的自然序列中必须被看作是原来的函数的，这里却是导出来的；而以前被认为是导出的函数的，这里却是已给予的，或一般开始的函数。但是这种运算的形式部分，似乎已经由微分计算实现了，因为一般由原来的函数到展开的函数的过渡及其间的比率，在那里已经确定了。假如一方面为了应用我们必须从那里出发的函数，另一方面又为了实现从这个函数到原来函数的过渡，在许多情况下，都必须采用系列形式作避难所，那么，首先便必须坚持这种形式本身与求积分的特殊原则并不直接相干。

    但是这种计算的另一部分任务，就形式运算的关系看来，现在就是这种运算的应用。现在这种应用本身就是任务，即是要认识上面所指出的意义，一个特殊对象的已知的、被认为第一导数的原来函数所具有的意义。这种理论本来似乎也可以在微分计算中完全了结的；但是出现了另外一种情况，使得事情不这样简单。因为在这种计算中，发生了这样的事，即是由一个曲线方程式的第一导数得到一个是直线的比率，所以从而就知道求这个比率的积分，也便有了在纵横坐标的比率中的曲线方程式；或者说，假如有了一个关于曲线平面的方程式，那么，微分计算便应该已经告诉人们关于这样方程式的第一导数的意义，即这种函数表示纵坐标为横坐标的函数，于是也就表示了曲线方程式。

    但是现在问题所在是：对象的规定环节哪一个本身在方程式中是已知的，因为解析处理只能以已知的作出发点，并从那里过渡到对象其余的规定。例如已知的，既不是曲线的一个平面空间的方程式，也不是由曲线旋转而发生的某种立体，也不是曲线的一段弧，而只是在曲线本身的方程式中的纵横坐标的比率。因此，从那些规定到这个方程式本身的过渡，是不能够在微分计算中已经得到处理的；求出这些比率是要留给积分计算来做的。

    但是从前又曾经指出过的，有较多变量的方程式，求它的微分，所给予的展开方幂或微分系数，不是作为一个方程式，而是作为一个比率；于是任务就是要为这个是导出函数的比率，在对象的环节中，指出与它相等的第二个比率。另一方面，积分计算的对象，是原来的函数对导出的（这里应该是已知的）函数的比率本身，并且任务是在已知的第一导数的对象中，指出那种需要去求得的原来函数的意义；或者不如说，由于这种意义（例如一条曲线的平面，或要使其变直的、被想象为直线的曲线等），已经被宣布为问题，任务就是要指出这样的规定将由原来的函数找到，并且指出什么是对象环节，什么就在这里必须被当作是（导出）函数的开始函数。

    把差分观念当作无限小的观念来使用的那种普通方法，现在却把事情弄得很容易；对于求曲线的平方，它就把一个无限小的长方形，即纵坐标和横坐标的原素（即无限小）的乘积当作不等边的四边形，这个不等边的四边形以对着横坐标无限小部分的那个无限小的弧为它的一边；于是乘积便在以下的意义有了积分，即积分给予了无限多的不等边四边形的总和，即平面，而这个平面所需要的规定，就是它的那种原素的有限的大小。同样，这个平面，由弧的无限小以及属于此种无限小的纵横坐标，形成了一个直角三角形，在这个三角形中，那个弧的平方须等于其他两个无限小的平方之和，求后两者的积分所得的弧，是被当作一个有限的弧的。

    这种办法，以那种一般发现为前提，那种发现为解析的这一部门奠定了基础，它在这里的方式，就是：成了平方的曲线，变直了的弧等等，对曲线方程式所给予的某一函数，有着所谓原来函数对导出函数那样的比率。因此现在所要知道的，是：假如一个数学对象（例如一条曲线）的某一部分被认为是导出的函数，那么，它的哪一另外的部分是由相应的原来函数来表示呢？人们知道，假如由曲线方程式给予的纵坐标函数被认为是导出的函数，那么，相对的原来函数就是这个纵坐标所切的曲线面积大小的表现；假如某一切线规定被认为是导出的函数，那么，它的原来函数就表现为属于这个切线规定的弧之大小等等；现在这些比率构成一个比例，它们一个是原来函数对导出函数的比率，另一个是数学对象两个部分或两种情况的大小比率；但是使用无限小并以它作机械运算的那种方法，却省掉了对这一点的认识和证明。它特殊的聪明功绩，是从别处已经知道了的结果里，找出一个数学对象的某些和哪些方面，与原来函数和导出函数有比率。

    在这两个函数中，导出的函数（或说它既是已被规定的，那就是乘方的函数），它在这里的计算中，相对于原来函数而言，是已知的，而原来函数却应该通过求积分，从那个导出的函数找出来。但是这个导出的函数既不直接是已知的，而数学对象的哪一部分或规定，应该被看作是导出的函数，以便把它还原为原来的导数，求出对象的另一部分或规定（它的大小就是问题所要求的），这个部分或大小，本身也不是已知的。普通的方法，如已经说过的，是立刻以导出函数的形式，把对象的某些部分想象为无限小；这些部分，一般可以从对象原来已经给予的方程式，通过求微分而规定（————正如无限小的纵横坐标是为了使一条曲线变直）。这种方法为此便采用这样的部分，它们可以与同样被设想为无限小的问题对象（这在前一例中，就是弧）有联系，这种联系是初步数学中已经确定的；因此，假如这些部分是已知的，那么，问题所要求得的那一部分的大小，也就被规定了；所以为了求曲线的长，上述的三种无限小便与直角三角形的方程式联系起来；为了求曲线的平方，纵坐标和无限小的横坐标便联系在一个乘积之中，因为平面在算术上，一般被认为是直线的乘积。于是从平面、弧等等这样的所谓原素到平面、弧等等的大小之过渡，其本身只被当作是从无限多的原素的无限表达过渡到有限表现，或说是它们的总和；所求的大小，应该是由这些无限多的原素构成的。

    因此，说积分计算单纯是微分计算倒转过来的、但一般较为困难的问题，只能是肤浅的说法；积分计算的真实兴趣，倒不如说是唯在于具体对象中原来函数和导出函数的相互比率。

    拉格朗日既不用那些直接假定的便易方式来免除任何问题的困难，也不同意在这一计算部门那样做。用少许几个例子，来指出他的办法的细节，这同样有助于说明事物的本性。他的办法正是以这一点为自己的任务，即，要本身证明在一个数学整体（例如一条曲线）的特殊规定之间，有着原来函数与导出函数的比率。但是，由于这种比率的本性，这一点在这个范围内，是不能用直接的方式来完成的；因为在数学对象中，这个比率把曲线和直线，把直线的因次及其函数和平面的因次及其函数等不同质的东西联系起来了；所以其规定只可以看作是一较大和一较小的东西之间的中项。这里当然又出现了带着加减号（plus und minus）的增长形式，而那个活泼有力的“展开”（Développons）也就在它的位置上了；但是正如以前所说，这里的增长只有算术的、有限的意义。需要规定的大小，它比一个易于规定的极限大些，比另一极限又小些，假如展开这种条件，便将引导出这样的事：例如纵坐标的函数，对面积的函数而言，就是导出的第一函数。

    拉格朗日对求曲线的长的说明，由于他从亚基米德原理出发，其饶有兴趣之处在于理解亚基米德方法之翻译为近代解析原理，这使我们对于用另一种方法去机械地搞的事业，可以洞见其内在的、真正的意义。这种办法的方式与方才所举的办法 (66) ，必然类似；亚基米德原理并没有给予直接的方程式，这个原理是说一条曲线的弧比包的弦较大，比在弧的终点及其交点间所做的两条切线之和较小。那种亚基米德的基本规定翻译成近代解析形式，就是发明一种表现法，其本身是一个简单的基本方程式，而那种亚基米德的形式却只是提出要求，要在每时每刻本身都是规定了的一个太大者和一个太小者之间无限进展，这种进展永远总是又有一个新的太大者和一个新的太小者，但它们的界限总是愈来愈紧密地接近。借助于无限小的形式主义，立刻便立下了dz2 ＝dx2 ＋dy2 这一方程式。拉格朗日的解说，由上述基础出发，却相反地指出弧的大小，对一个导出的函数说来，是原来的函数，其特殊之项，本身就是一个函数，这个函数是由一个导出函数与纵坐标的原来函数的比率构成的。

    因为在亚基米德的办法中，也像以后在克卜勒立体几何学对象的讨论中那样，都出现了无限小的观念，所以这一点常常被当作权威来引用，在微分计算中便使用了这个观念，而不去强调特殊的和有区别的东西。无限小首先意谓着这样的定量的否定，即所谓有限表现或完成了的规定性之否定，这样的规定性即是定量本身。同样，在后继的伐勒里乌斯 (67) 、卡伐列里 (68) 等人的著名方法中，都是以对几何对象的比率之考察为基础，各种规定也首先是只从比率方面来考虑，因此之故，那些规定的定量本身这一基本规定被放在一边，从而那些规定就认为应该是非大小的东西。但是一方面在这里并没有认识和注意到潜藏在单纯否定规定后面的一般肯定的东西，这在前面曾抽象地表明为质的量规定性，而这种规定性在方幂比率中便更加确定；————另一方面，因为这种比率自身又包括一定数量的更确定的比率如方幂的比率及方幂的展开函数等，所以它们又应该以那个无限小的一般的和否定的规定为基础，从那里引导出来。在方才举出的拉格朗日的解说中，找到了包含在亚基米德阐明问题的方式中的那种确定的肯定方面，因此对于那种受无界限的超越之累的办法，也就给了一个正确的界限。近代发明的本身伟大处，和它解决以前无法驾驭的问题，以及用简单方式处理以前可解决的问题的能力，这些都完全是由于发现了原来的和所谓导出的事物间的比率，以及发现一个数学整体中具有这种比率的那些部分。

    大小比率的特殊方面，是现在所谈论的特种计算的对象，对于需要强调这一点的目的，以上引证大概可以满足了。这些引证曾经能够限于简单的问题及其解决方式；要着手检查微积分计算所谓应用的全部范围，并且以所发现的原理为应用的基础，将一切应用的问题及其解决都还原到原理那里来完成归纳：这对于此处唯一有关的概念规定既不适宜，也非著者能力所及。但是以上的论述，也足够指出每一特殊的计算方式，都以大小的一种特殊的规定性或比率为对象，而这样的比率便构成了加、乘、乘方、开方根、计算对数、系列等等，和这一样，微积分计算也是如此；就属于这种计算的东西而言，方幂函数及其展开或乘方的函数的比率这个名词，或许是最合适的，因为这个名词对事物的本性含有最确切的见解。不过，既然依据其他大小比率的运算如加法等，一般都在这种计算中使用，于是对数、圆、系列等比率也同样应用了，这特别是为了使那些从展开函数导出原来函数所必需的运算有更加可以驾驭的表达。微积分计算固然共同具有较确切的兴趣，要用系列形式来规定展开的函数，这些函数在系列中叫做各项的系数；但是因为这种计算的兴趣仅仅涉及原来函数和它的展开的最近的系数，于是系列便想要依照具有那些系数的方幂而排列的众多的项，表现为一个总和。在无限系列中出现的无限物，就是一般定量的否定物的不确定的表现，它与包含在这种计算的无限物中的肯定规定，毫无共同之处。同样，无限小作为增长，展开借助于它才变为系列的形式，它对于展开，只是一种外在的手段；而它的所谓无限性，除了作为那种手段的意义而外，并没有任何其他的意义；因为所要求的东西，事实上并不是系列，所以系列引出的东西太多，要费多余的努力再把它去掉。拉格朗日虽然由于他的方法，在所谓应用中突出了真正的特殊性，因为它无须将dx，dy等强加于对象，直接指出了属于对象的导出（展开的）函数规定的那一部分，从而表现出系列形式与此处所讨论的问题无关；但他却又喜欢采用系列的形式，所以他的方法也就同样遭到上述的麻烦。 (69)

    注释三　其他与质的大小规定性有关的形式

    微分计算的无限小，就它的肯定意义说，就是质的大小规定性，对于这种规定性，我们曾较详细地指出它在这种计算中，不仅出现为一般的方幂规定性，而且是一方幂函数与展开方幂的比率那种特殊的方幂规定性。但是这种质的规定性所呈现的形式，还更为广泛，也可以说更为微弱；这种形式以及与此有关的无限小的使用和无限小在这种使用中的意义，还应该在这个注释中加以考察。

    因为我们从以上所说的出发，在这方面便须首先记住，从解析方面看来，各种方幂规定之所以出现为仅仅是形式的，并且完全是同质的，那是因为它们意谓着数的大小，本身没有彼此间质的不同。但是解析的比率应用于空间对象时，就完全显出了它的质的规定性，那就是从线到面、从直线到曲线等等规定的过渡。这种应用自身又带来这样的事情，即：空间的对象，就其本性说，是以连续大小的形式给予的，现在却要用分立的方式来把握它。所以面就是一定数量的线，线就是一定数量的点等等。这种解决唯一有兴趣之点，在于它本身规定了线分解为点，面分解为线等等，以便从这种规定出发，能够以解析的方式进展，真正说来，即是以算术的方式进展；对于需要找出来的大小规定而言，这些出发点就是原素；具体物（即连续大小）的函数和方程式应当从那些原素导引出来。对使用这种办法显得极有兴趣的问题，要求在这些原素中有一个自为地规定的东西作出发点；这与那种间接过程相反，因为那种过程只能相反地以极限开始；那个自为地规定的东西就处在极限之间，是那种过程所趋向的目标。纵使可以找到的，只是继续向前规定的规律，而不能够达到所要求的完全的规定、即所谓有限的规定，然而两种方法所得的结果是一样的。第一个想到那种倒转过来的过程，而将分立的东西作为出发点，这项荣誉应归于克卜勒。当他说明他对亚基米德测量圆的第一定理如何了解时，他以很简单的方式表达了这一点。亚基米德的这第一定理是大家都知道的，那就是：假如一个直角三角形的勾等于一个圆的半经，股等于圆的圆周，那么这个圆便等于这个直角三角形。因为克卜勒把这一定理的意义当作是圆周所有的部分和它所有的点同样多，即无限多，而每一部分都可以看作是一个等腰三角形的底线等等，所以他就把连续物的分解表现为分立物的形式。这里出现的无限这一名词，与它在微分计算中应该有的规定，还离得很远。————假如现在为这些分立物已经找到了一种规定性或函数，那么，以后还又应该把它们总括起来，本质上作为连续物的原素。但是既然点的总和不能给予线，线的总和不能给予面，那么，这就是点立刻已经被认为有线的性质，线也有面的性质了。但是那些有线的性质的东西还不就是线（假如它们被当作定量，那就会是线了），所以它们被想象为无限小。分立物只能够是一个外在的总括，在总括中的环节，保持着分立的一的意味；从这些一所出现的解析的过渡，只是到它们的总和，同时，这种过渡并不是由点到线或由线到面等几何的过渡；所以对于那些以点或线为其规定的原素，同时也就给予了（对以点为规定的原素）以线或（对以线为规定的原素）以面的性质，从而像是由细小的线的总和便成了一条线，由细小的面的总和便成了一个面。

    需要取得质的过渡这一环节并为此而以无限小作避难所，这一点必须看作是一切想要消除上述困难而本身却成了最大困难的观念的来源。要避免这种救急的应付，那就必须能够指出似乎是单纯加法的解析法，事实上本身已经含有乘法。但是在这方面，又出现了一个新的假定，它构成把算术比率应用于几何形状的基础；那就是算术的乘法对于几何规定，也是一种到较高因次的过渡，————一些大小，按照其空间的规定而言，是线；它们的算术的乘法，同时就是线成了面的规定那样一个乘积；3乘4（直线的）尺，是12（直线的）尺，但3（直线的）尺乘4（直线的）尺却是12（平面的）尺，而且当然是平方尺，因为两者既是作为分立的大小，其单位是同一的。直线与直线相乘，起初显得似乎有些荒谬，因为乘法只涉及数，是数的变化，这些数与其由过渡而成的东西，或说乘积，是完全同质的，不过大小变化了而已。另一方面，所谓线本身与线之相乘————这被称为积诸线为线（ductus lineae in lineam），就像积诸面为面（plani in planum）那样，积诸点为线（ductus puncti in lineam）也是如此————这不单纯是大小的变化，而是线作为空间的性质的规定性、作为一维（Dimension）的变化；必须把线过渡为面理解作线超出自身之外，正如点超出自身之外为线，面超出自身之外为立体那样。说点的运动就是线等等，其所想象的，与上面所说，是同一的东西；但是运动包括时间规定，并且在那种观念中，更像仅仅是情况的偶然的、或外在的变化；而需要采取的，却是表现为自身超出的概念规定性，————即是质的变化，并且在算术方面，它就是（如点等等）单位与（线等等）数目的相乘。这里还可以注意到在面超出自身时，便会出现面与面相乘，而发生算术乘积与几何乘积有区别的假象，因为面的超出自身，作为积诸面为一面（ductus plani in planum），在算术方面，会得出两个二维规定的相乘，从而会得出一个有四维的乘积，但这乘积却由几何的规定而降低到三维。假如说在一方面，数因为以一为根本，所以对外在的量的事物给予了固定的规定，————那么，它的相乘也同样是很形式的；把3·3当作数的规定，其自乘便是3·3×3·3；但是同一的大小，作为面的规定，其自乘却在3·3·3那里便被遏止住了，因为空间虽然被想象为从点，这个仅仅是抽象界限出发前进，但它却以第三维为它的真实界限，即从线出发的具体规定性。上述区别，对于自由运动，可以证明是很有效果的；在自由运动中，其空间的一方面是受几何规定（s3 ﹕t2 的克卜勒定律）支配的，其时间的另一方面，是受算术规定支配的。

    这里所考察的质的方面，如何与前一注释中的对象不同，可以无须更加解说便自然明了。在前一注释中，质的方面包含在方幂规定性之内；在这里，它却像无限小那样，仅仅在算术方面对乘积而言是因数，或者对线而言是点，对面而言是线等等。那个必须从分立物（连续大小被想象分解为这种分立物）到连续物的质的过渡，现在将作为加法来完成。

    但是这个似乎单纯的加法，事实上自身却包含着乘法，即包含从线的规定到面的规定之过渡，例如一个等边四边形的面积等于两条相互平行线之和与其高之半的乘积，就最简单地表现了这一点。这个高被想象为一些应该加在一起的一定数量的分立的大小的数目。这些大小是线，它们是在那两条作为界限的平行线之间并与其平行；它们的数量是无限多的，因为它们应该构成面，但又是线，为了成为有面的性质的东西，便必须随着否定而建立。为了避免从线的总和须得出面这样的困难，便立刻把线当作面，但同时却当作是无限细窄的面，因为它们只是以不等边四边形平行界限的带有线的性质的东西为其规定。它们是平行的，并且以不等边四边形另外两条直线的边为界限，于是它们就可以被想象为是一个算术级数的诸项；各项的差分，一般是相同的，但并不需要规定，而级数的首项和末项就是不等边四边形的那两条平行线；这个级数的总和，就是大家知道的那两条平行线与全项数目之半的乘积。后一定量只是完全对无限多的线这一观念而言，才被叫做数目；它是一个连续物，即高的一般大小规定性。很明显，所谓总和，同时就是积诸线为一线（ductus lineae in lineam），即线与线相乘，按照上面的规定，就是带有面的性质之物的发生。在长方形这种最简单的情况下，a，b两因数中每一个都是一个单纯的大小；但是以后即使在不等边四边形这样最初步的例子中，便已经只有一个因数是其高之半这样单纯的东西，而另一个因数，则相反地是由一个级数来规定的；后一因数也同样有线的性质，但是它的大小规定性较为复杂；因为这种规定性只能由一个系列来表示，这就是说要解析地、即算术地把这个系列总加起来；其中几何的因素是乘法，是从线维到面的过渡的质；前一因数只是为了后一因数的算术规定才被认为是分立的，就本身而言，它也和后一因数一样，是一个有线的性质的东西的大小。

    把面想象为线之总和这样的办法，当乘法本身与结果的目的无关时，也常常被使用。假如所从事的，是要指出在一方程式内的大小不是定量，而是一个比例，上面所说的情况便出现了。这是人所共知的证明方式，例如一个圆的面积与一个以此圆的直径为大轴的椭圆面积之比，正如大轴与小轴之比，因为这两种面积，每一个都被认为是与它有关的纵坐标的总和；椭圆的每一纵坐标与圆的相应的纵坐标之比，也正如小轴与大轴之比：所以得出结论说，纵坐标的总和（即面积）的比例也是一样的。那些想要避免面为线之总和这一观念的人，使这些纵坐标成为宽度无限小的不等边四边形，这种救急的应付是很普通而完全多余的；因为方程式只是一个比例，所以平面的两个线的原素，只有一个得到比较。另一原素、即横坐标轴，在椭圆和圆里被认为是相等的，是算术的大小规定的因数，即是等于1，因此，这个比例完全只依靠一个进行规定的因素的比率。对于面的观念必须要有两维；但是在这个比例中所应指出的大小规定，却仅仅只涉及一个因素。对这一因素加上总和的观念，使其顺从或帮助这观念，真正说来，这是误解了此处问题所在的数学规定性。

    这里所讨论的，也包含了前面提到过卡伐列里不可分方法的理由根据，所以它也同样得到论证，无须逃难到无限小那里。当他考虑到面时，不可分的东西就是线，当他考虑到梭锥体或圆锥体时，不可分的东西就是平方或圆面等等；他称那些被认为已确定的底线或底面为准尺（Regel）；这是一个常数，对一个系列的关系说，那就是系列的首项和末项；有了常数，那些不可分的东西就将被认为是平行的，即从形状看来，它们是有同一规定的。现在，卡伐列里的一般原理是（《几何习题》第六卷；后来的著作《习题》第一卷，第6页）：“一切形状，无论平面的或立体的，都与它们的一切不可分的东西成比例，并集体地（collective）加以比较，假如在这些不可分的东西中有一共同的比率，就分配地（distributive）加以比较。”为此目的，他以有同底同高的形状，来比较那些与底线平行并与底线有同等距离这样作出的诸线的比率；一个形状的一切这样的线，都有一个同一的规定，并构成形状的全部内容。例如他以这样的方式，也证明了诸同高的平行四边形与其底线成比例这一基本的命题；在两个形状中所作出的每两条与底线有同等距离并与底线平行的线，是有两底线的同一比率的，所以那两个形状全部也如此。事实上，这些线不是构成作为连续的形状的内容，而是构成在算术上应该被规定了的内容；有线的性质的东西是这种内容的原素，必须通过这种原素，内容的规定性才可以掌握。

    这里我们便被引导去思索一种区别，这种区别之发生，是关于一个形状的规定性究竟在哪里，即：规定性的情况或者是像这里的形状之高那样，或者是外在的界限。假如它是外在的界限，那么，就须承认形状的连续性，可以说是随着界限之相等或比率而来的；例如相互重合的形状之相等，是依靠作界限的诸线相互重合。但是在同高同底的平行四边形那里，只有底这一规定性才是外在的界限；至于引出对外在界限作规定的第二原则的却是高，而不是一般的平行性，形状的第二主要规定，即它的比率，就依靠高。欧几里得关于平行四边形有同高同底者相等之证明，便是把它们还原为三角形，即外在被界限的连续物；在卡伐列里的证明中，首先是关于平行四边形的比例性之证明中，界限一般地是大小规定性本身，它被解说为可以应用到每两条以相等距离在两个形状中作出的线。这些与底线相等或有相等的比率之线，集体地看来，便给予了有相等比率的形状。线的堆集观念与形状的连续性相抵触；但是仅仅对线的考察，已经完全穷尽了问题所在的规定性。不可分这种观念是否会引到需要依照数目来比较无限的线或无限的平面，对于这种困难，卡伐列里也常常给了答案（《几何学》第二卷，第一命题，注释）；他作了正确的区别，他不比较我们所不知道的无限的线或平面的数目（如已经提到过的，那不如说是被当作辅助手段的空洞观念），而是只比较大小，即等于那些线所包括的空间那种量的规定性本身；因为这空间被封闭在界限里，所以它的大小也就封闭在同一界限之内；他说，连续物不是别的，正是不可分之物本身；假如连续物在不可分之物以外，那么，它就是不可比较的了；但是要说有了界限的连续物不能相互比较，那是不合情理的。

    可见卡伐列里想把属于连续物外在存在的东西，与其中含有连续物的规定性并单单为了比较和为了关于连续物的定理的缘故而必须强调的东西区别开。他为此而使用的范畴，如连续物由不可分之物综合而成或由其构成之类，当然是不够满意的，因为这同时需要连续物的直观，或如上面所说，需要连续物的外在存在；假如不说“连续物不是别的，正是不可分之物本身”，而说：连续物的大小规定性不是别的，正是不可分之物本身的大小规定性，那倒会是更正确，从而也会立刻更明白些。有些学派从不可分之物构成连续物这一观念，得出有更大和更小的无限物这样坏的结论，卡伐列里却并不这样做，他在以后还表现更明确地意识到（《几何学》第七卷前言）他并不由于他的证明方式而被迫要有连续物由不可分之物综合而成这样的观念；连续物只是随不可分之物的比例而来的。他之采用不可分之物的堆集，并不是说它们似乎为了无限数量的线或平面的缘故而陷入无限规定之中，而是由于它们自身有了划出界限的明确状态和本性。但是为了搬走这块绊脚石，他到底不辞辛苦，还在专门为此而增加的第七卷中，用不杂有无限性的方式，来证明他的几何的主要命题。这种方式把证明归结到以前引过的普通的形状重合形式，即以前说过的作为外在空间界限这种规定性的观念。

    关于这种重合形式，首先还要加上一个评语，即它对于感性的直观，简直可以说是一种很幼稚的帮助。在关于三角形的基本命题中，设想有两个三角形并列着，它们每一个都有六个部分，假定一三角形有三部分与另一三角形相应的三部分相等，那么，就将证明这两个三角形是彼此相合的（kongruent），即这一三角形的其余三部分也与另一三角形的那三部分的大小相等，————因为它们借前三部分相等便彼此重合。假如更抽象地来把握事物，那么，正是因为在两形中每一对彼此相应部分之相等，现存的才只有一个三角形 (70) ；在这个三角形中，有三部分是被假定为已经规定的，于是其余三部分的规定性也随之而来。规定性以这种方式将被证明在这三部分中已经完全了，所以对规定性本身说来，其余三部分是多余的，是感性存在，即连续性的直观的多余。用这种形式来说，质的规定性便与直观中所呈现的东西，即与作为一个自身连续的整体，有了区别；而重合则使人意识不到这种区别。

    随平行线而来和在平行四边形那里，如以前说过的，却出现了一种新的情况，一部分是仅仅角的相等，一部分是形状的高，而形状的界限，即平行四边形的边，却与高不同。这里突出了含糊不清之点，就是在这些形状中，除了作为外在界限的底边这一个边的规定性而外，必须在什么程度上来把另外的外在界限，即平行四边形的另一个边或高，当作另外的规定性呢。在两个有同底同高的形状里，一个是直角的，一个却有很锐的角，因而其相对的角是很钝的角；对直观说来，后者可以很容易显得比前者更大些，因为直观将后一形状现有的大边当作是规定性的，并依照卡伐列里的想法，将两个面积按可以通过它们的平行线的数量加以比较；较大的边可以看作是比长方形垂直的边可能有较多的线。可是这样的设想并不曾有助于对卡伐列里的方法提供非难，因为在这两个平行四边形中为了比较而设想的平行线的数量，同时就已经假定了它们彼此距离相等或与底线距离相等，从而得出结论说：规定性的另一因素，是平行四边形的高，不是它的另一边。假如两个平行四边形有同高同底，但不在一个平面上而与一第三平面造成不同的角时，若加以比较，上面的情况就改变了；假如人们想象第三平面通过那两个平面并与自身平行而向前运动时，那么，由此而产生的平行截面，其相互的距离便不再是相等的，而那两个平面也就不相等了。卡伐列里仔细注意过这种区别，他将它规定为不可分之物的垂直移动（transitus rectus）与偏斜移动（transitus obliquus）的区别（见《习题》In.XII以下，并且在《几何学》第一、二卷中也已经有了），于是便截断了可能在这方面发生的肤浅的误解。巴罗在前面引过的他的著作中（《几何学讲义》第二卷第21页），也同样用过不可分的方法，可是他已经把这方法和一个假定纠缠不清；这个假定就是：一个曲线三角形（如所谓特殊的三角形）与一直线三角形，假如两者是无限的，即很小的，便可以相等。这个假定由他传到他的学生牛顿和别的同代数学家，其中也有莱布尼兹。我记得他在前书中引证了达盖 (71) 对此的责难，达盖也是当时从事研究新方法的聪明几何学家。达盖所提出的困难也同样是关于在计算圆锥体和圆球体的面积时，对于以应用分立物为根据的考察，应该把什么线当作是规定的基本因素。达盖斥责不可分的方法说，假如需要计算一个圆锥体的面积，那么，按照那种原子主义的方法 (72) ，就将想象圆锥体三角形是由与底线平行、与轴垂直的直线综合而成的，这些直线同时又是圆的半径，圆锥体的面积就是由这些半径构成的。现在假如这个面积被规定为各圆周之总和，而这总和又是由各圆周的半径的数目，即由轴的大小，或说由圆锥体之高所规定的；那么，这个结果却与亚基米德以前所教导的、所证明的真理相矛盾。于是巴罗与此相反，指出为了规定面积所必须采用的那条线，不是轴而是圆锥体三角形的边，它的旋转产生了面积，因此必须用这个边，而不是轴，作为对圆周数量的大小规定性。

    这类的责难和犹疑不定，其根源唯在所使用的观念不明确，以为线由无限数量的点构成，面由无限数量的线构成等等：这种观念使线或面的本质的大小规定性暗昧不明。————这些注释的用意就在于要指明那些肯定的规定，由于无限小在数学中的各种使用，可以说是被留在后台了；它们被包裹在单纯的否定范畴之中，必须把它们从那层云雾里抉发出来。在无限的系列那里，和在亚基米德的圆测量法那里一样，无限物只是意味着进一步规定的法则是已知的，不过所谓有限的、即算术的表现不曾给予而已，所以把曲线归结为直线是办不到的；这种不可通约性是它们的质的不同。分立物与连续物，其质的不同，一般也同样含有否定的规定，使其像是不可通约的，并且以如下的意义引来了无限物，即连续物（被当作是分立的），就它的连续的规定性而论，不应该再有定量。连续物，在算术方面被当作是乘积，因此自身被当作是分立的，即分解为原素，这些原素就是连续物的因数；连续物的大小规定性就在这些原素之中；正因为它们是原素或因数，它们才属于一较低的维；并且，它们是一个大小的原素或因数，只要有了方幂规定，它们就是属于比这个大小较低的方幂。就算术而论，这种区别似乎是单纯的量的区别，像方根与方幂或任何方幂规定性的区别那样；可是当这种表现的式子仅仅涉及量的事物本身时，例如a﹕a2 ，或d.a2 ＝2a﹕a2 ＝2﹕a或t﹕at2 的引力律，那么，它就给予了什么也没有说的1﹕a，2﹕a，1﹕at等比率；这些比率的各项，对它们的单纯的量的规定来说，必须用不同的质的意义使它们相互分开，譬如s﹕at2 ，作为一种质的大小，因此而被表现为另一种质的大小的函数。于是呈现于意识的，便只是量的规定性；用这种规定性，按它的方式去运算，毫无困难；要用一条线的大小与另一条线的大小相乘，也不会有麻烦；但是这些大小相乘，立刻便产生了从线过渡为面这样质的变化；在这种情况下，一个否定的规定出现了；这种规定引起了困难；理解了它的特点和事物的简单本性，困难是可以解决的；但是用无限物来帮忙，想由此消除困难，却反而只是陷于混乱，使困难完全悬而未决。

    【注释】

    (1) 参看第120页。

    (2) 参看第120页。

    (3) 反思的环节，指同一与区别。————译者注

    (4) “必须……概念上去”一句，黑格尔说得较为简括，并非逐字征引。参看蓝译本第36页。————译者注

    (5) 参看蓝译本第36页，重点是黑格尔加的。————译者注

    (6) 参看第120页。

    (7) 莫德拉图，新毕达哥拉斯派，尼罗王时代人。————原编者注

    (8) 参看第120页。

    (9) 前面的多（Vieles），是定量以前的环节，与一相对，这里所说多数（Mehreres），是定量已经规定为数以后的环节。黑格尔在抽象概念发展中，往往用寻常的字眼而又附加一些独特的意义，因而更增加了晦涩。————译者注

    (10) 他物，指数目。————译者注

    (11) 这些规定，指定量、数等。————译者注

    (12) 参看蓝公武中译本第277页。————译者注

    (13) 引文中的重点，都是黑格尔加的。————译者注

    (14) 两者，指定量及他物。————译者注

    (15) 以下一段引文，与现在流行的各版本不同，尤其后半出入很大。黑格尔引用的版本现已无从查考，引文中重点是黑格尔加的。关于这一段可参看伏尔兰德本第186页，商务印书馆中译本，1960年，第164页。————译者注

    (16) 《实践理性批判》，伏尔兰德本第186页，商务印书馆版第164页。这一段文字仍与现在流行版本差别很大。重点是黑格尔加的。————译者注

    (17) 《实践理性批判》，伏尔兰德本第186页，商务印书馆版第164——165页，词句仍略有出入。重点和括弧内的词句是黑格尔加的。————译者注

    (18) 黑格尔曾多次阐述“不同”“区别”“差异”等都是关系，这里是指康德的自然规律，即使与意志不同，也与意志没有本质关系。————译者注

    (19) 两者，指意志与自然。————译者注

    (20) 参看第120页。

    (21) 参看第120——121页。

    (22) 参看《纯粹理性批判》，蓝译本第330页。重点是黑格尔加的。————译者注

    (23) 参看第120——121页。

    (24) 参看第120——121页。

    (25) 《纯粹理性批判》，篮译本第330页。重点是黑格尔加的。————译者注

    (26) 参看第120——121页。

    (27) 《纯粹理性批判》，蓝译本第331页。此处黑格尔是概括大意，并非逐句征引原文。————译者注

    (28) 参看第120——121页。

    (29) 参看第121页。

    (30) 参看第121页。

    (31) 见《纯粹理性批判》中对宇宙论第一个二律背反正题的注释。————黑格尔原注

    (32) 《纯粹理性批判》，蓝译本，第332页，中间删略了关于世界和时空的几句话。————译者注

    (33) 《纯粹理性批判》，蓝译本，第333页，重点是黑格尔加的。————译者注

    (34) 参看第122页。

    (35) 见斯宾诺莎《伦理学》第一部分，命题八，附释一。贺麟译本第7页。————译者注

    (36) 按指《伦理学》第一部分，公则（五），贺麟译本第4页，以下引文，仍是《书信集》中语。————译者注

    (37) 参看第122页。

    (38) 参看《自然哲学之数学原理》，郑太朴译，商务印书馆版，第60——61页。————译者注

    (39) 卡伐里利（Cavalieri，1598——1647），博洛尼亚（Bologna）的数学教授，著有：《不可分的连续的新几何学》，1635年；《几何学习题》，1647年。————原编者注

    (40) 参看第122页。

    (41) 拉萨尔·尼古拉·马格里特·卡尔诺伯爵（Graf Lazare Nicolas Marguerite Carnot，1753——1823），共和国军“胜利的组织者”，一直到1815年被放逐时，在政治上和军事上都同样是重要人物，死于马格德堡。他的《关于微分计算的形而上学的一些思考》出版于1797年。————原编者注

    (42) 参看第122页。

    (43) 参看第122页。

    (44) 尤拉（Leopold Euler，1707——1783），彼得堡、柏林的教授，以后又在彼得堡。著有《无限的分析引论》，1748年；《微分计算教程》，1755年，《积分计算教程》，1768——1794年。————原编者注

    (45) 参看第122页。

    (46) 拉格朗日（Jos Louis Lagrange，1736——1812），尤拉的柏林后继者，以后又任巴黎综合工艺学院教授。著有《解析函数论》，1797年出版。————原编者注

    (47) 数学中0﹕0这个比率的值是不确定的。————译者注

    (48) 兰登（John Landen，1719——1790），英国数学家，著有《数学夜思集》，1755年，等书。————原编者注

    (49) 参看第122页。

    (50) 费尔马（Pierrede Fermat，1601——1665），著有《数学运算的变数》，1679年。————原编者注

    (51) 巴罗（Isaac Barrow，1630——1677），剑桥大学教授，著有《几何学讲义》，1669年，《光学讲义》，1674年。————原编者注

    (52) 意思是说：弧本是曲线，但在无限小的情况下，却被当作了直线。————译者注

    (53) 拉格朗日在应用函数论于力学，即直线运动一章中，把这两种观点以简单的方式并列起来（《解析函数论》，第三部分，第一章，第四节）。经过的空间被看作是流过的时间的函数，这就是x＝ft方程式，后者作为f（t＋θ）展开时，便有：

    于是在这段时间所经过的空间，便以

    的公式来表示。于是借以通过空间的运动，可以说是由于各个部分的运动综合而成的（这就是说因为解析的展开，给了多数的，并且诚然是无限多的项），这些运动的与时间相应的各段空间，便是 等……。当运动已知时，第一部分运动在形式上是匀速的，有一个由f′t规定的速度，第二个是匀加速的运动，它是由一个与f″t成比例的加速的力而来的。“其余各项现在既然不与任何简单的、已知的运动有关，所以就不需特别考虑它们；我们并且将指明对于规定运动时间的开始之点，它们是可以抽掉的。”这一点随后便有了说明，但当然只是用一切项对于规定在一段时间经过的空间大小都属需要的那种系列，来和第三节表示落体运动的方程x＝at＋bt2 比较，因为那里只有这样两项。由于解析展开而产生了各项，这个方程便有了说明，只是由于假定了这种说明，这个方程才获得它的形态；这个假定是匀加速运动由一个形式上匀速的，以在先前时间部分所达到的速度而继续的运动，和一个被付与重力的增长（它在s＝at2 中就是a，即经验的系数）综合而成，————这一个区别在事物本性中并不存在，也无根据，而只是对着手解析处理时所得的东西，作了错误的物理的表现。————黑格尔原注

    (54) 连续量或流量这个范畴，是由观察外在的和经验的大小变化而提出的，————这些大小由一个方程式而有了互为函数的关系；但是微分计算的科学对象，既然是一定的（通常用微分系数来表示的）比率，而这样的规定性很可以称为规律；于是对这种特殊的规定性说来，单纯的连续性一方面已经是一种外来的东西，另一方面，这种连续性在一切情况下都是抽象的，而在这里则是空洞的范畴，因为它关于连续规律，什么也没有说。在这里将会完全堕入什么样的徒具形式的定义，这从我的可尊敬的同事狄克孙教授先生* 对微分计算演绎时使用的基本规定，联系到对这门科学一些新著的批评所作的敏锐的、一般的论述，便可以看出，这种论述见《科学评论年鉴》1827年，153号以下；在同上年鉴1251页甚至引证这样的定义：“一个经常的或连续的量，连续物（Kontinuum），是每一个被设想为在变的状况之下的大小，以致这个变的出现不是以跳跃的方式，而是由于不断的前进。”这到底不过是被下定义的事物的同语反复而已。————黑格尔原注

    *狄克孙（Dirksen，Enno Herren，1792——1850），柏林数学教授。著有《变数计算的解析表述》，1823年。————原编者注

    (55) 诸角，指上面所说的三角形内的三个角。————译者注

    (56) 意指即使弧被当直线处理，它所构成的三角形，仍然是同一的。————译者注

    (57) 舒伯特（Schubert，Friedrich Theodor von，1758——1825），彼得堡天文台长，著有《理论天文学教科书》，1798年；《通俗天文学》三卷，1804——1810年。————原编者注

    (58) 假如对于方幂的展开，拿（a＋b＋c＋d＋…）n 来代替（a＋b）n ，那也不过是解析所必须要求的普遍性那种形式主义而已。别的许多地方也是这样做的；维持这样的形式，可以说仅仅是为了卖弄普遍性的假象；事情其实在二项式便已经穷尽了，由二项式的展开，便找到了规律，而那个规律却是真正的普遍性，不是规律的表面的、仅仅空洞的重复，这种重复完全是由那个a＋b＋c＋d＋…所引起的。————黑格尔原注

    (59) 指算术中从一比例的三个已知数求第四未知数之法。————译者注

    (60) 罗伯伐尔，Personne，Gilles，Sieur de Roberval，1602——1675年。————原编者注

    (61) 费尔马，法国数学家，是应用微分量来找出切线的第一人。参看本书第284页原编者注。————译者注

    (62) 较大的小，即更小；绝对较大的小，即在一定条件下，没有比它更小的，这是指上文所说的增量。————译者注

    (63) 上面的引句原为法文。————译者注

    (64) 平方的方程式，即二次方程式。黑格尔这里要强调这种方程式的几何性质，故用此不习见的名词。————译者注

    (65) 微分方程式的项，皆比1小，故数的大小与其因次高低成反比例。————译者注

    (66) 即规定所要求的大小，是在一较大者和一较小者之中。————译者注

    (67) 伐勒里乌斯（Valerius，Lucas），1618年死于罗马，伽利略称他为当时的亚基米德，著有《从简单的错误论求抛物线平面法》。————原编者注

    (68) 卡伐列里（Cavalieri，Bonaventura Francesco，1598——1647），意大利的数学家，著有《几何学》、《几何习题》等书。————译者注

    (69) 在以前所引的批评中（《科学评论年鉴》第二卷，1827年，第155——156号以下），有一个精通本业的学者史泊尔先生* 的很有趣的说法，这是从他的《流量计算的新原理》（布朗施维格，1826年）引来的，这些说法涉及一种情况，微分计算的晦涩而不科学，主要需溯因于它，这也很符合于我们以前关于这种计算的理论的一般情况所说的。他说：“纯算术的研究当然比一切类似的研究，都更与微分计算有关，人们不曾将它与真正的微分计算分开，甚至像拉格朗日那样，把它认为是事物本身，而人们却把这种研究仅仅看作是微分计算的应用。这种算术研究包括求微分的规则，泰勒定理的导数等，甚至各种求积分的方法也在内。情况完全相反，那些应用才正是构成真正微分计算的对象，从解析出发的微分计算是以一切那些算术的展开和运算为前提。”————我们曾经指出，在拉格朗日那里，将所谓应用与从系列出发的那种一般部分的办法分开，怎样恰恰提供了突出微分计算本身特性之用。上述的那位著者说，正是所谓应用构成真正微分计算的对象，但是可惊异的，是他有了这种饶有兴趣的见解，怎样会让自己进入（见上引的书）那种连续大小、变、流动等等形式的形而上学，想在那些废物之上再添上新的废物；那些规定之所以是形式的，因为它们只是一般的范畴，没有举出事物的特点，而事物却是要从具体学说，从应用去认识和加以抽象的。————黑格尔原注

    * 史泊尔（Spehr，Friedrich Wilhelm，1799——1833），布朗施维格的数学家，著有《纯组合论的讲义大全》。————原编者注

    (70) 意思是说，既然两个三角形完全相等，便实际只是一个三角形。————译者注

    (71) 达盖（Tacquet，Andr.，1611——1660），安特威普耶稣教公学教授，著有：《圆柱体与环形》五卷，1651——1659年。————原编者注

    (72) 原子主义的方法，即指不可分的方法。————译者注

    第三章　量的比率

    定量的无限被规定为定量的否定的彼岸，但定量在自身那里有这个彼岸的。这彼岸是一般的质。无限的定量，作为质的规定性与量的规定性这两个环节的统一，就是比率。

    在比率中，定量不再具有漠不相关的规定性了，而是在质的方面被规定为对它的彼岸绝对相关。定量在它的彼岸中延续自己；这彼岸首先是另外一个一般的定量，但是，从本质上看，它们并不是作为外在的定量而彼此相关，而是每一个都以这种对他物的关系为其规定性。这样，它们就在这种他有中回复到自身；每一个都是在他物中所是的东西；他物构成每一个的规定性。————所以定量对自身的超越，现在就有了这种意义，即：定量既不仅仅变为一个他物，也不变为它的抽象的他物，它的否定的彼岸，而是在彼岸那里达到它的规定性；它在它的彼岸中找到了自己。这个彼岸是另外一个定量。定量的质，它的概念规定性，乃是它的一般的外在性。在比率中，定量被建立为这样：在它的外在性中，在另外一个定量中，定量具有它的规定性，并且，定量在它的彼岸，就是它所是的那个东西。

    相互具有上述关系的东西，就是定量。这种关系本身也是一种大小；定量不仅在比率中，而且它自己被建立为比率；那是在自身中含有质的规定性的一般定量。这样的定量，由于它在自身中包含着它的规定性的外在性，并且在这种外在性中只与自身相关，因为它在自身那里是无限的，所以，就作为比率而言，这种定量便把自己表现为自身封闭的总体，对界限漠不相关。

    比率一般是

    （1）正比率。在正比率中，质的东西本身还没有自为地出现；它还不曾比定量有进一步的方式，而定量是被当作以它的外在性为其规定性的。量的比率本身就是外在性与自身关系的矛盾，是定量的持续与其否定的矛盾；这矛盾扬弃自身，首先是由于

    （2）在反比率中，一个定量本身的否定，随着另外一个定量的变化而被建立，并且，正比率本身的可变性也被建立起来，但是

    （3）在方幂比率中，那个在它们的区别中自身与自身相关的统一，却把自己造成定量的单纯自身乘积；这种质的东西在单纯规定中最后建立起来，与定量同一，变成了尺度。

    关于下列各比率的真正性质，在以上涉及量的无限，即在量那里的质的环节的注释中，已有许多预示；因此，剩下来的就只是要分析这些比率的抽象概念了。

    甲、正比率

    1.比率作为直接的比率，是正比率，在正比率中，一个定量的规定性与另一个定量的规定性彼此蕴含。两者只有一个规定性、或界限，它自身也是定量，即比率的指数。

    2.指数可以是任何一个定量；但是，由于它在自身那里含有它的区别、它的彼岸和他有，它才是一个在外在性中自身相关的、在质方面规定了的定量。在定量本身那里的这种区别，是单位与数目的区别；单位是自为地规定；数目则是在规定性那里漠不相关的往返摆动，是定量的外在的漠不相关。单位和数目最初是定量的环节；现在，在比率（比率在这样情况下就是实在化了的定量）中，它的每个环节都好像是一个独特的定量，是它的实有的规定，是对大小规定性划立界限，否则大小规定性将仅仅是外在的、漠不相关的。

    指数是作为单纯规定性这样的区别，这就是说，它在自身那里直接含有两个规定的意义。首先，指数是定量；所以，指数是数目；如果比率的一端，作为单位，表示可计数的一————而且单位只有被当作这样的一，————那么，比率的另一端，即数目，便是指数的定量本身了。第二，指数是作为比率两端的质的东西那种单纯规定性；如果一端的定量规定了，那么，另一端的定量便也就由指数规定了，至于前者如何规定那是完全不相干的，就自为地规定的定量而言，它再无任何意义，并且，它可以是任何一个别的定量而不改变比率的规定性，这种规定性完全依靠指数。作为单位的这一个定量，无论它变得怎么大，总永远是单位；而另一个定量，无论它以此而变得怎么大，也必须永远是那个单位的同一个数目。

    3.因此，比率的两端实际上只构成一个定量；一端的定量对于另一端的定量只有单位的值，而没有一个数目的值；另一端的定量则只有数目的值；因此，按照它们的概念规定性来说，它们本身并不是完满的定量。但是，这种不完满性是在它们那里的否定；这一点并不是依据两个定量一般的变化，按照一般变化，一个定量（每个定量都是这两个定量的一个）可以采用一切可能的大小，这一点却是依据以下的规定，即，假如一个定量变化，另一个定量也按比例增减：如已经说过的，这意味着只有一端、即单位能改变其定量，而另一端、即数目则仍然是单位的同一个定量，但前者作为定量，尽管愿意如何变化便如何变化，它也同样只能当作单位。因此，每一端只是定量的两个环节之一，属于它的特有的独立性，自身被否定了；在这种质的联系方面，这两个环节必须建立为彼此否定的。

    指数应该是完满的定量，因为在指数中，两端的规定性合而为一了；但实际上，指数作为商数，本身只有数目的值，或单位的值。在这里，没有任何规定性表明比率的哪一端必须当作单位，哪一端必须当作数目；如果一端、定量B，被作为单位的定量A来测量，那么，商数C便是这样的单位的数目；但假如A本身被认为是数目，那么，商数C就是数目A为定量B所要求的单位；因此，这个商数作为指数，并没有被建立为它应该是的东西，————即比率的规定者或说比率的质的统一。它之能被建立为那样，只有由于它具有成为单位与数目这两个环节的统一那样的值。因为这两端，固然就像在外现的定量中、即在比率中所应该是的那样呈现为定量，但同时也只在它们作为比率两端所应该具有的值之中，即是不完满的定量，只能算做这些质的环节之一；所以，它们必须以它们的这种否定而建立。这样，便发生了一个对规定较符合、较实在的比率，在这个比率里，指数具有它们的乘积的意义；按照这种规定性，这个比率便是反比率。

    乙、反比率

    1.现在达到的比率是被扬弃了的正比率；它曾经是直接的，因而还不是真正规定的比率；现在，规定性是用这样的办法增补起来的，即：把指数算作乘积，算作单位与数目的统一。就直接性而言，指数曾经漠不相关地既可以被当作单位也可以被当作数目，如以前所指出的那样；因此，指数过去也只是一般的定量，因而，宁可说是数目，一端曾经是单位，须当作一，对于这一端说来，另一端便是固定的数目，同时也是指数；所以指数的质曾经只是这个被认为是固定的定量，或者不如说，这个固定的东西只有定量的意义。

    现在在反比率中，指数作为定量，同样被当作是直接的，并且可以是任何固定的定量。但这个定量对于比率中别的定量的一，并不是固定的数目；这个以前的固定的比率，现在倒是被当作可变化的；如果别一定量被当作一端的一，那么，另一端就不再是前者的单位的同一个数目了。在正比率中，这单位只是两端所共同的；它在另一端中，即在数目中延续自身；自为的数目本身或指数，对单位是漠不相关的。

    但是，在比率现在的规定性中，数目对于一说来，构成了比率的另一端，它本身相对于这个一而变化；每当另外一个定量被采用为一时，数目也就变成另外一个数目。因此，虽然指数现在只是直接的，只是被任意地当作固定的定量，然而指数并没有作为这样的定量在比率的一端中保持自身，这一端是可变化的，因而两端的正比率也是可变化。所以在现在的比率中，指数作为进行规定的定量，便被建立为否定自己的比率的定量，是质的东西，是界限，以致质的东西突出了自己对量的东西的区别。————在正比率中，两端的变化只是两端共同的单位所采用的定量的变化；一端增减多少，另一端也同样增减多少；比率自身对这种变化漠不相关，变化对比率是外在的。在反比率中，变化尽管就漠不相关的量的环节说，也同样是任意的，但是，变化保持在比率之中，并且这种任意的量的超越，也被指数的否定的规定性、被界限给限制住了。

    2.反比率的这种质的本性，必须在其实在化中进一步加以考察；其中所包含的肯定的东西与否定的东西的错综复杂情况，必须加以分析。————定量被建立为在质方面的定量，这就是说，它自己规定自己，它自身表现为自己的界限。因此，第一，定量是作为单纯规定性的一个直接的大小，是作为有的、肯定的定量的整体。第二，这种直接的规定性同时又是界限，因此区分为两个定量，它们首先是互为他物的；但是，作为它们的质的规定性，而且是完满的规定性，这就是单位与数目的统一，是乘积，而它们则是乘积的因数。一方面，它们的比率指数在它们之中是自身同一的，是单位与数目的肯定物，就此而言，它们便是定量；另一方面，作为在它们那里建立起来的否定，指数又是在它们那里的统一，按照这种统一，它们每一个都是直接的、有界限的一般定量，而且是这样的有界限的东西，即，它只是自在地与它的他物同一。第三，作为单纯的规定性，指数是它所区分的两个定量的否定统一，并且是两定量互相划界的界限。

    依据这些规定，指数内的两个环节便相互划界限，并互为否定物，因为指数是它们的规定的统一，一个环节大多少，另一个环节便小多少；在这种情况下，每一个环节所具有的大小就像在自身那里具有另一环节的大小那样，就像具有另一环节所缺少的大小那样。因此，每个大小都用这样否定的方式在另一个大小中延续自身；无论它是多大的数目，在另一个大小中作为数目，它都扬弃了，而它之所以为大小，仅仅是由于否定或界限，这个界限乃是在这个大小那里由另一大小建立的。每一个大小都以这种方式包含着另一个大小，并且在另一个大小那里被测量，因为每个大小都应该是其他的大小所不是的那样的定量；另一个大小，对每个大小的值来说，是必不可少的，因而，对每个大小也是不可分离的。

    每个大小在另一个大小中的这种连续性，构成了统一的环节，由于这种统一，两个大小才成为一个比率————这种统一是一个规定性或单纯界限，即是指数。这个统一、这个整体，构成每个大小的自在之有，与其当前的大小不同；其所以依照当前大小而有每一环节，只是由于这种大小从共同的自在之有、或整体中另一大小那里退出了。 (1) 但是，它只有在它与自在之有相等时，它才能够从另一大小那里退出，它在指数那里有它的最大值，这个指数按我们已经指出的第二个规定来说，就是它们相互划界的界限。由于每个大小只有就它对另一个大小划界，因而也被另一个大小划界而言，才是比率的环节，所以当它与它的自在之有相等时，它就丧失了它的这种规定；在这里，另一个大小不仅变成了零，而且自身也要消失，因为它不是单纯的定量，而是只有作为那样的比率环节，它才是它所应该是的那样的东西。于是，每一端都是作为它们的自在之有，即整体（指数）的统一这种规定与作为比率环节的另一个规定的矛盾；这个矛盾又是一个有新的特殊形式的无限性。

    指数是比率两端的界限，在界限中，比率的两端彼此相互消长；照肯定的规定性————作为定量的指数————来说，比率的两端不能等于指数。作为它们相互限制的极限，指数是：（甲）它们的彼岸，它们无限地接近这个彼岸，但不可能达到。它们在这种无限中接近彼岸，这种无限是无限进展的坏的无限；这种无限本身是有限的，在它的对方、在比率的两端和指数的有限性中，有其限制；因此，它只是接近而已。但是，（乙）坏的无限在这里同时被建立为它真正是什么，即只是一般否定的环节，根据这个环节，指数对比率的不同定量，是作为自在之有的这种单纯的界限；这些不同定量的有限性，作为单纯可变的东西，与这个自在之有是有关的，但是自在之有作为它们的否定，又绝对与它们有差异。于是，这个为它们只能接近的无限的东西，同时又是肯定的此岸，是当前现在的————即指数的单纯定量。在这里，便达到了比率两端所带有的彼岸；它自在地是比率两端的统一，因而，自在地是每一端的另一端；因为每一端都仅仅具有另一端所没有的值，所以，每一端的全部规定，都包含在另一端之中；它们的这种自在之有，作为肯定的无限，就单纯是指数。

    3.结果便发生了反比率到另一个规定的过渡，与它最初所具有的规定不同。这个规定就在于：一个直接的定量，同时又对另一个定量有关系，它增大多少，另一个定量便减小多少，这个定量之所以为这个定量，乃是由于它对另一定量的否定态度；同样，一个第三个大小，就是它们这种变大的共同限制。在这里，这种变化与作为固定界限的质的东西相反，是它们的特殊性；它们具有变量的规定，那个固定的东西对于变量说来，就是无限的彼岸。

    但是，已经表现出来和我们必须加以概括的规定，不仅仅在于：这个无限的彼岸同时又是现在的定量，是任何一个有限的定量，而且在于：它的固定性，————它通过这种固定性，对于量的东西，就是这样的无限的彼岸，并且这种固定性，就是仅仅作为抽象的自身关系的有的质，————把自己发展为它自身在它的他物中的中介，即比率的有限物。这里所包含的普遍的东西，就在于：作为指数的整体，一般就是两个项彼此划界的界限，即否定的否定，因而无限，这种对自身的肯定关系，被建立起来了。更精密的规定是：指数作为乘积，已经自在地是单位与数目的统一，而两项的每一项只是这些环节之一；因而，指数自身包含单位与数目，并在它之中自在地自己与自己相关。但在反比率中，区别发展为量的事物的外在性；质的东西不单纯是固定的，也不仅是直接在自身中包含着诸环节，而且在外在之有的他有中，自己与自己聚集在一起。这种规定在业已出现的环节中，把自己突出为结果。指数既然是作为自在之有而产生的，其环节也就实在化为定量及其一般变化，它们的大小在变化中的漠不相关，表现为无限进展；在它们的漠不相关中，它们的规定性，就是在另一个定量的值中，有它们的值，这就是建立无限进展的基础。因此，（甲）在它们的定量的肯定方面，它们自在地是指数的整体。同样，（乙）对它们的否定环节，对它们彼此的立定界限来说，那就是指数的大小；它们的界限就是指数的界限。它们的实有和划界的无限进展，以及任何特殊的值的否定，都意谓着它们再没有别的内在界限或固定的直接性。因此，这否定是指数的外在之有的否定，这个外在之有是表现在它们之中的；指数作为一般的定量并分解为诸定量，被建立为在它们漠不相关的持续的否定中的自身保持和自身融解，因而是对这样超越自身进行规定的东西。

    因此，比率被规定为方幂比率。

    丙、方幂比率

    1.定量在它的他有中建立自身同一，规定其自身超越，便到了自为之有。由于质的总体建立自身为展开的东西，它便以数的概念规定（即单位和数目）为其环节；数目在反比率中还不是由单位本身规定的一个数量，而是从别的地方，由一第三者规定的一个数量；现在，它被建立为只由单位规定的了。这就是方幂比率中的情况；单位是它自身那里的数目，它对作为单位的自身，同时也是数目。他有、即单位的数目，就是单位自身。方幂是一定数量的单位，每一个单位本身都是这个数量。定量作为漠不相关的规定性变化着；但是，由于这种变化意味着提高到方幂，定量的这种他有纯粹是由它自身加以界限的。因此，在方幂中，定量被当作回复到自身；定量直接是它自身，也是它的他有。

    方幂比率的指数，再不像在正反比率中那样，是一个直接的定量了。在方幂比率中，指数完全具有质的本性，是这样的单纯规定性：数目就是单位，定量在他有中与自身同一。这也含有它的量的方面，即：界限或否定不被建立为直接的有的东西，而是实有被建立为在他物中的延续；因为质的真理就在于这样一点，即：量是作为扬弃了的直接规定性。

    2.方幂比率首先表现为应用到任何定量上的外在变化；然而，它与定量的概念有较密切的关系，因为定量在方幂比率中发展到实有，它在这个实有中达到了概念，而且完全把这个概念实在化了；方幂比率表现定量自在地是什么，而且表明它的规定性或质，定量通过质便与他物相区别。定量是漠不相关的，建立为扬弃了的规定性，这就是说，作为界限的规定性同样又不是界限，它在它的他有中延续自身，所以仍然与自身同一。在方幂比率中，定量就是这样被建立起来的，而它的他有，即超越自身为其他定量，乃是由它自身规定的。

    如果我们把这种实在化的进展与以前的比率加以比较，那么，定量的质，作为自己建立的自己的区别，便正在于它是比率。就正比率说，定量作为这样建立起来的区别，仅仅是一般的和直接的，所以，它的自身关系被当作是单位的一个数目的固定性，这种自身关系是定量作为指数对其区别所具有的。在反比率中，定量对自己的关系是在否定的规定之中，————是对自己的否定，但是定量在否定中却有了它的值；作为肯定的自身关系，定量是一个指数，指数作为定量，只自在地是它的环节的规定者。然而在方幂比率中，定量在区别里呈现，因为区别是一个与自身的区别。规定性的外在性是定量的质；这种外在性，按照定量的概念，被建立为定量的自身规定、自身关系和质。

    3.但是，因为定量被建立为合乎它的概念，所以定量已经过渡为另外一个规定；或者也可以说，定量的规定现在就是规定性，自在之有也就是它的实有。它之作为定量，是由于规定的外在性或漠不相关（如人们所说，它是那种可以增大或减小的东西），只算作和只被建立为单纯的或直接的；它变为它的他物，即质，因为那个外在性现在被建立为由定量自身而有了中介，被建立为这样一个环节，即正是在外在性中，定量才与自身相关，才是作为质的有。

    起初，量本身似乎是与质对立的。然而，量本身就是一个质，是自身相关的一般规定性，区别于它不同的规定性，区别于质本身。但是，量不仅是一个质，而质本身的真理就是量；质表明自己要过渡为量。另一方面，量在它的真理中是回复到自身的量，并非漠不相关的外在性。因此，量就是质本身，以致在这个规定 (2) 之外，质本身就不会还是什么东西了。为了可以建立总体，双重的过渡是必需的；不仅需要这一规定性向它的另一规定性的过渡，而且也需要另一规定性回到前一规定性的过渡。由于第一个过渡，质与量两者的同一才自在地呈现；————质被包含在量中，不过量因此还是一个片面的规定性。反之，量也同样被包含在质中，这个量同样只是扬弃了的，这种情况发生在第二种过渡之中————即回复到质。关于这种双重过渡的必然性的考察，对整个科学方法来说，是很重要的。

    现在，定量再不是漠不相关的、外在的规定了，因此，定量作为这样的外在规定，是扬弃了，并且是质，并且是那个由此而是某物的东西，这就是定量的真理，就是尺度。

    注释

    在前面关于量的无限的注释中，已经讨论了量的无限和它所引起的困难，其根源在于量中出现的质的环节；并且进一步阐明了特别是方幂比率的质如何消失在繁多的发展过程和错综复杂的情况里。我们已经指出，阻碍把握概念的根本缺点，就在于仅仅依据否定的规定（定量的否定）而停留在无限那里，不进展到单纯的规定、肯定的东西（这是质的东西）。在这里，就只剩下对哲学中量的形式掺杂到思维的纯粹质的形式里去的那种现象，还要加以考察。最近，方幂比率特别被应用到概念规定上。概念在其直接性中，曾被称为一次方；在他有或区别中，即它的环节的实有中，被称为二次方；就其回复到自身或作为总体说，被称为三次方。很明显，这样使用的方幂主要是属于定量的一个范畴，这种方幂的意思并不是亚里士多德的潜在性（potentia， ）。因此，方幂比率表现规定性为达到了真理的区别，就像在定量这个特殊概念中的区别那样，然而却不像在概念本身中的区别那样。定量包含着否定性，这种否定性属于概念本性，不过还没有在概念的特有的规定中建立起来；定量所具有的区别，对概念本身说，是肤浅的规定；这些区别还远远没有被规定为像它们在概念中那样。在哲学思维的童年时期，数被用来表示普遍的、本质的东西，如毕达哥拉斯，在这里，一次方、二次方等等并没有什么高出于数的地方。这是纯粹思维把握的初步阶段；思维规定本身在毕达哥拉斯之后才被发现，才自为地被意识到。但是，离开这些思维规定，再倒退回数的规定去，本来是一种自觉无力的思维，它和当今惯于思维规定的哲学教养相对立，想把那些缺点奉为某种新奇的、高尚的东西、奉为一种进步，这只是自添笑话而已。

    (3) 只要方幂一词仅仅被用作符号，那便是无可反对的，就如同对于数或别种概念符号无可反对那样；但是，符号，也是有可反对的，正如要以符号来表达纯概念或哲学的规定的一切符号论是可以反对的一样。哲学既无须求助于感性世界，亦无须求助于想象力，更无须求助于哲学的特殊部门，这些特殊部门是从属于哲学的，因此，其规定是不适合于高级领域和整体的。当有限的范畴一般应用于无限的事物时，这种不适合的情况便发生了； (4) 力、实体性、原因和结果等流行的规定，用来表示例如生命的或精神的关系，也同样只是一些符号，也就是说，对于这些关系来说，乃是一些不真的规定，定量的方幂和可计数的方幂，对于这些关系和一般思辨的关系来说，就更是如此了。如果数、方幂、数学的无限之类，并不应该用来作符号，而是应该用来作哲学规定的形式，因而它们本身便是哲学的形式；那么， (5) 它们的哲学意义，即它们的概念规定性，就必须首先加以证明。如果这一步做到了，那么它们本身也便是多余的标记了；概念规定性表示自己，它的表示是唯一正确的，适合的。因此，那些形式的使用，除了作为一种方便的工具，以省掉对概念规定的把握、揭示和论证之外，就再不是任何别的东西了。

    【注释】

    (1) 这里是说在反比率中每一项应有的大小，和它本身的具体大小不同，它的具体大小是就离开了比率另一项说的。————译者注

    (2) 这个规定，指量。————译者注

    (3) 参看第122页。

    (4) 参看第123页。

    (5) 参看第122——123页。