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研究哲学的规则
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在前面的两卷中，我已陈述了［自然］哲学的原理，然而它们不是哲学的而只是数学的，即是，在哲学之事的讨论中能以此作为基础。这些原理是运动的和力的定律及条件，它们主要是关于［自然］哲学的。为了不使这些原则看起来空洞无物，我用一些［自然］哲学解释对它们加以说明，处理的论题是普遍的并且看起来［自然］哲学亟应建立在其上，如物质的密度和阻力，没有物体的空间，以及光的和声音的运动。下面，由相同的原理，我们证明宇宙的系统的构造。关于这个论题我曾以通俗的方式写成第三卷，使得它能被更多的人阅读。但那些没有充分理解这里建立的原理的人，一定不会感受结论的力量，他们也不会抛弃偏见，对此多年来他们已经习惯；所以，为了不引起争论，我把那一卷的内容以数学的风格改为命题，使得它只能被那些掌握前两卷所建立的原理的人阅读。但因为那里有很多命题出现，即使对于精通数学的读者也要用去很多时间，作者不愿建议任何人研究每一个命题，只要仔细地阅读定义，运动的定律和第一卷的前三部分，然后转到本卷《论宇宙的系统 》，而且可随意查阅这里所引用的前两卷的其他命题。
规则 I
对自然事物的原因的承认，不应比那些真实并足以解释它们的现象的为多。
哲学家如是说：自然绝不为无用之事，且在较少即成时，多则无用。因为自然是简单（simplex）的且不沉迷于过多的原因。
规则 II
且因此，对同类的自然效果，应尽可能归之于相同的原因。
例如对人和动物的呼吸；石头在欧洲和在美洲的下落；灶火的光和太阳的光；光在地球上和在行星上的反射。
规则 III
物体的性质，它们既不能被增强又不能被减弱，并且属于所能做的实验中所有物体的，应被认为是物体的普遍性质。
因为物体的性质不能被知道，除非通过实验，且因此普遍的性质是任何与实验普遍地符合的性质；且它们不能被减小亦不能被除去。无疑我们不应轻率地产生反对实验证据的臆想，亦不应该离开自然的相似性，由于她习惯于单纯且其自身总是和谐的。我们不能知道物体的广延，除非通过我们的感觉，并非所有的广延都能被感觉到，但由于广延在所有能感觉到的物体中被发现，它被普遍地归之于所有的物体。由经验，许多物体是坚硬的。又由于整个物体的坚硬来源于其部分的坚硬，我们合理地断言不仅被我们感觉到的物体，而且所有其他物体的不可分的小部分的坚硬性。我们不是由理性而是由感觉推断出所有物体是不可入的。那些我们触到的物体被发现是不可入的。且由此我们得出不可入性是所有物体的一个普遍性质。所有物体是可运动的，且物体在运动或者静止是被某种力（我们称它为惰性力）保持，这从我们看到的物体所发现的性质推断出来。整个物体的广延性、坚硬性、不可入性，可运动性和惰性力起源于部分的广泛性，坚硬性、不可入性、可运动性和惰性力；且由此我们得出结论：所有物体的每一最小的部分是广延的、坚硬的、不可入的，可运动的且具有惰性力。且这是整个哲学的基础。此外，从现象我们得知，物体已被分割但邻接在一起的部分能彼此分开，且由数学，未被分割的部分一定能由理性区分为更小的部分。但是，那些被区分而未被分割的部分能否由自然界的力分割并彼此分开，未可预定。但是如果单独一个实验能确定在粉碎一个坚硬和结实的物体时，任意未被分割的小部分能被分割，由这条规则的力量，我们推断出不仅被分割的部分是可分离的，而且未被分割的部分能被分割，以至无穷。
最后，如果由实验和天文观测普遍地确立，地球附近所有的物体有向着地球的重力，且它与每个物体的物质的量成正比，又月球向着地球有与其自身的物质的量成比例的重力；另一方面，我们的海洋亦有向着月球的重力，再者所有的行星彼此有重力，此外彗星有向着太阳的类似的重力：由这个规则必须承认所有物体普遍有朝着彼此的重力。的确，来自现象的证据对于普遍的重力比对物体的不可入性更为有力；对于它［不可入性］，在天体的情形，我们既没有实验，也全然没有观测。然而，我绝不断言重力对物体是本质的（essentialis）。通过固有的力我仅指惰性力。这是不变的。当物体退离地球时，重力被减小。
规则 IV
在实验哲学中，由现象通过归纳推得的命题，在其他现象使这些命题更为精确或者出现例外之前，不管相反的假设，应被认为是完全真实的，或者是非常接近于真实的。
应遵从这条规则，使得归纳论证不被假设消除。
天象
天象 I
诸环木行星 （43） （Planetas circumjoviales），向木星的中心引半径，画出的面积与时间成比例，且它们的循环时间，恒星静止不动，按照它们离同一个中心的距离的二分之三次比。
这由天文观测确立，这些行星的轨道与木星的同心圆之差感觉不到，且发现在这些圆上它们的运动是均匀的。天文学家一致承认它们的循环时间按照它们的轨道的半直径的二分之三次比；且由下表这是显然的。
木星的卫星的循环时间
1d .18h .27′.34″
3d .13h .13′.42″
7d .3h .42′.36″
16d .16h .32′.9″
利用最好的测微仪，庞德 先生以如下方式确定木星的卫星的角距和木星的直径。第四颗卫星离木星的中心的最大的日心角距，用带测微仪的15呎长的一架望远镜，且在木星离地球的平均距离上得出约为8′.16″。第三颗卫星的最大的角距，用带测微仪的123呎长的一架望远镜，且在木星离地球的相同的距离上得出为4′.42″。其余卫星的最大的角距，在木星离地球的相同的距离上，从循环时间得出为2′.56″.47和1′.51″.6。
用带测微仪的123呎长的一架望远镜测量木星的直径多次，且约化为木星离太阳或者地球的平均距离时，得到的总小于40″，但从不小于38″，大多为39″。在较短的望远镜中，这个直径为40″或者41″。因木星的光由于其不等的折射性而略有扩张，且这一扩张比木星的直径所具有的比，在长而完善的望远镜中小于在短而较不完善的望远镜中的比。木星的第一和第三两颗卫星穿过木星的本体 （44） ，从它们开始进入到它们开始离开的时间，以及从完全进入到完全离开的时间，借助同样长的望远镜被观测到。且木星的直径，在它离地球的平均距离上，由第一颗卫星的穿过得到为 ″，又由第三颗卫星的穿过得到为 ″。木星的第一颗卫星的阴影穿过木星的本体的时间，亦被观测到了，且由此得出木星的直径在它离地球的平均距离上约为37″。我们假设它的直径很接近 ″；则第一、第二、第三和第四颗卫星的最大的角距分别等于5.965、9.494、15.141和26.63个木星的半直径。
天象 II
诸环土行星 （45） （Planetas circumsaturnios），向土星的中心引半径，画出的面积与时间成比例，且他们的循环时间，恒星静止不动，按照它们离同一个中心的距离的二分之三次比。
的确，卡西尼 从他自己的观测如此确定它们离土星中心的距离以及循环时间。
土星的卫星的循环时间
1d .21h .18′.27″2d .17h .41′.22″4d .12h .25′.12″15d .22h .41′.14″79d .7h .48′.00″
按照[土星]环的半直径，卫星离土星中心的距离
由观测推得第四颗卫星离土星的中心的最大的角距常常很接近八个［土星环的］半直径。但这颗卫星离土星中心的最大的角距，由惠更斯 的123呎长的望远镜确定，它带有极好的测微仪，得到八又十分之七个［土星环的］半直径。且由这个观测和循环时间，卫星离土星的中心的距离按照环的半直径为2.1、2.69、3.75、8.7 和25.35。在同一望远镜中，土星的直径比环的直径如同3比7，又在1719年5月28日和29日得到环的直径为43″。且由此环的直径在土星离地球的平均距离上为42″，土星的直径为18″。在最长和最好的望远镜中，这些结果就是如此，因为在较长的望远镜中看到的天体的视大小与在那些物体边缘光的扩张的比大于在较短的望远镜中看到的。如果舍弃所有散乱的光，被保留的土星的直径不大于16″。
天象 III
五个一等行星：水星、金星、火星、木星和土星以自己的轨道围绕太阳。
水星和金星围绕太阳运行，由它们有与月球类似的相而被证明。当这些行星浑圆闪烁时，它们位于太阳以外；当半圆时，位于太阳的一侧；月牙状时，位于太阳这边，有时它们像斑点一样穿过太阳的圆盘。从火星接近与太阳合时的浑圆，以及在与太阳成九十度时的凸圆形状，无疑它环绕太阳。木星和土星总是浑圆的相，对他们同样的事情被证明；从它们的卫星投射在它们上面的阴影，它们以借自太阳的光闪烁是显然的。
天象 IV
五个一等行星，以及或者太阳环绕地球或者地球环绕太阳的循环时间，恒星静止不动，按照它们离太阳的平均距离的二分之三次比。
这个由开普勒 发现的比已被所有的人接受。事实上，无论太阳环绕地球，还是地球环绕太阳，循环时间是相同的，轨道的尺寸也是相同的。关于循环时间的测量在天文学家中间是普遍同意的。但是在所有天文学家中，开普勒 和布利奥 是从观测确定轨道大小的最勤奋者，且平均距离，它们与循环时间对应，与这两个人发现的距离相差不明显，且大多位于它们之间，如从下表可以看出 （46） 。
关于水星和金星离太阳的距离，由于这些距离是通过它们离太阳的距角确定的，现在已无争议之处。关于更靠上的行星离太阳的距离的争议，已被利用木星的卫星的食所消除。因为由那些食，木星投射的阴影的位置被确定，且这给出木星的日心经度。再由日心经度和地心经度的相互比较，木星的距离被确定。
天象 V
诸一等行星，向地球引半径，画出的面积绝不与时间成比例；但向太阳引半径，画出的面积与经过的时间成比例。
因为相对于地球，它们有时顺行，有时停留，有时甚至逆行；但相对于太阳它们总是顺行，且以几乎是均匀的运动，但在近日点稍微迅速，在远日点稍微迟缓，且如此画出的面积是相等的。这是天文学家最为熟悉的一个命题，且尤其是对木星由卫星的食而作出的证明，我们说过，通过这些食这颗行星的日心经度和它离太阳的距离被确定。
天象 VI
月球，向地球的中心引半径，画出的面积与时间成比例。
从月球的视运动与它的视直径的比较这是显然的。事实上，月球的运动受到太阳的力的些微摄动，但感觉不到丝毫的误差，在述说这一天象时，我略而不论。
命题
命题I 定理I
力，由它们诸环木行星不断地被拉离直线运动并被保持在自己的轨道上，向着木星的中心，且与它们的位置离同一中心的距离的平方成反比。
这个命题的前一部分由天象一以及第一卷中的命题二或者命题三是显然的；且后一部分由天象一以及同一卷中的命题四系理六是显然的。
对于行星，它们伴随土星，由天象二能理解同样的事情。
命题II 定理II
力，由它们诸一等行星不断地被拉离直线运动并被保持在自己的轨道上，向着太阳，并且与它们离太阳的中心的距离的平方成反比。
这个命题的前一部分由天象五以及第一卷中的命题二是显然的；且后一部分由天象四以及同一卷中的命题四是显然的。但命题的这个部分由远日点的静止而以极大的精确性被证明。因为对二次比的一个极小的偏离（由第I卷命题XLV系理1），必然引起拱点在每次运行中的显著运动，在多次运行中这一运动应是巨大的。
命题III 定理III
力，由它月球被保持在自己的轨道上，向着地球，且与它的位置离地球中心的距离的平方成反比。
这个命题的前一部分由天象六以及第一卷命题二或者命题三是显然的；且后一部分是由于月球的远地点的极缓慢的运动。因为这项运动，在每次运行中仅前行三度又三分，可以忽视。因为（由第I卷命题XLV系理1）如果月球离地球中心的距离比地球的半直径如同D∶1；力，由它如此的运动能被引起，与 成反比是显然的，亦即，与D的指数为 的幂成反比，这就是，按照距离的略大于二次的一个反比，但接近二次的程度比接近三次的程度大 倍。但这项运动起源于太阳的作用（正如后面要证明的），且所以在这里可以忽略。太阳的作用，就它拖拉月球离开地球而言，很近似地如同月球离地球的距离；且因此（由在第I卷命题XLV系理2中所证明的）比月球的向心力近似地如同2比357.45或者1比 。且如果太阳的如此小的力被忽略，剩余的力，由它月球被保留在轨道上，与D2 成反比。通过比较这个力与重力，这将会被更充分地证明，正如下一个命题所做的。
系理 如果平均的向心力，由它月球被保持在它的轨道上，先按照 比 之比增大，其次再按照地球的半直径比月球的中心离地球中心的平均距离的二次比增大：则得到在地球表面上月球的向心力，假设那个力降至地球表面时，持续按照高度的二次反比增大。
命题IV 定理IV
月球向着地球有重量，且由重力它持续被拉离直线运动，并被保持在她自己的轨道上。
月球在朔望时离地球的平均距离，按照托勒密和大多数天文学家，是59个地球的半直径，按照文德林和惠更斯 是60，按照哥白尼是 ，按照斯特里特是 ，按照第谷是 。然而第谷以及所有遵循他的折射表的人，指定太阳和月球的折光差（与光的性质全然不合）大于恒星的折光差，这大约为四分或者五分，月球的视差被增大了相同的度数，这就是，大约增大了整个视差的十二分之一或者十五分之一。这些误差被修正后，则距离成为大约 个地球的半直径，这接近其他人指定的值。我们假定［月球］在朔望时的平均距离为六十个地球的半直径；且相对于恒星月球在27天7小时43分钟完成一次循环，正如已由天文学家所确立的；且地球的周长，按法兰西 人测量所确定的，为123249600巴黎 呎；再者如果想象月球的整个运动被夺去且它离开，使得它受到那整个力的推动，由它（依命题III的系理）月球被保持在自己的轨道上，落向地球；在一分钟的时间，下落画出 巴黎 呎。这由计算得到，或者用第一卷命题XXXVI，或者（这得出同样的结果）用同一卷中的命题四引理九完成。因为那个弧，它由月球在一分钟的时间，由其平均运动在六十个地球的半直径的距离画出，其正矢约为 巴黎 呎，或者更精确些，15呎1吋又 吩。因此，由于那个力靠近地球时按照距离的二次反比增大，且所以在地球的表面上比在月球上大60×60倍；一个物体以那个力在我们的区域下落，在一分钟的时间应画出60×60× 巴黎 呎，在一秒钟的时间画出 呎，或者更精确些15呎1吋又 吩。且重物的确以相同的力向地球下落。因为一个摆，在巴黎 城的纬度，按每秒钟振动，其长度为三巴黎 呎又 吩，如惠更斯 观察到的。且高度，它由重物下落在一秒钟的时间画出，比这个摆的长度的一半，按照一个圆的圆周比它的直径的二次比（正如也是由惠更斯 指出的），且因此为15巴黎 呎1吋又 吩。所以，力，由它月球被保持在自己的轨道上，如果降至地球的表面，变成等于我们面前的重力，且因此（由规则I和II）那个力自身正是我们通常所说的重力。因为如果重力与它不同，奔向地球的物体由两个力的联合以加倍的速度下降，且在一秒钟的时间下落画出 巴黎 呎：这与实验完全不符合。
这一计算建立在地球是静止的假设之上。因为如果地球和月球围绕太阳运动，且同时也围绕它们的重力的公共中心运行；重力的定律被保持，月球的和地球的中心彼此相距约 个地球的半直径；正如进行计算所揭示的。且可用第I卷命题LX进行计算。
解释
这一命题的证明可以更详细地解释如下。如果许多月球围绕地球运行，如同在土星的或者木星的系统中那样；它们的循环时间（由归纳论证）遵循由开普勒 对行星所发现的定律，且所以由本卷的命题I，它们的向心力与离地球的中心的距离的平方成反比。且如果它们中最低的一个月球较小，且几乎触到最高山的山顶；其向心力，由它被保留在轨道上，很接近地等于（由前面的计算）在那些山顶上的物体的重力，且如果同一小月球在其轨道中前进的所有运动被夺去，这引起离心力的缺失，由它小月球被保持在轨道上，它落向地球，且速度与重物在那些山顶上下落的速度相同，因为使它们下降的力相同。且如果那个力，由它最低的那个小月球下降，不同于重力；又那个小月球按在山顶上的物体的方式有向着地球的重量：同一个小月球受到两个力的联合作用，以两倍的速度下降。所以，由于两种力，即这些重物的［重力］，和那些小月球的［向心力］，向着地球的中心，且彼此相似又相等，它们有（由规则I和II）相同的原因。且所以那个力，由它月球被保持在自己的轨道上，正是我们通常所说的重力；如果若不是如此，山顶上的小月球或者没有重力，或者以二倍于通常物体下落的速度下落。
命题V 定理V
诸环木行星向着木星有重量，诸环土行星向着土星有重量，诸环日行星向着太阳有重量；由于自身的重力行星总被从直线运动上拉离，并被保持在曲线的轨道上。
因为环木行星围绕木星运行，环土行星围绕土星运行，且水星和金星以及其他环日行星围绕太阳运行，与月球围绕地球运行是同类现象；且所以（由规则II）依赖同类的原因；特别地由于已经证明，力，那些运行依赖它们，向着木星的、土星的和太阳的中心，且从木星、土星和太阳退离时减小的比和定律，与从地球退离时重力减小的比和定律相同。
系理1 所以，向着所有行星的重力被给定。因为金星、水星和其余的行星与木星和土星无疑是同一种类的物体。又由运动的第三定律，所有的吸引是相互的，木星向着它的所有的卫星，土星向着它的所有的卫星，地球向着月球，且太阳向着所有的一等行星有重量。
系理2 重力，它向着每一颗行星，且与位置离行星的中心的距离的平方成反比。
系理3 由系理1和系理2，所有行星相互有重量。且因此木星和土星接近会合时相互牵引，显著地摄动彼此的运动，太阳摄动月球的运动，太阳和月球摄动我们的海洋，正如随后所解释的。
解释
到目前为止，那个力，由它天体被保持在自己的轨道上，我们称之为向心力。现在很清楚它与重力是相同的，且因此以后我们称之为重力。因为那个向心力的原因，由此力月球被保持在轨道上，由规则I、II和IV，应扩展到所有的行星。
命题VI 定理VI
所有物体向着每一颗行星有重量，且向着同一颗行星的重量，在离行星的中心相等的距离上，与每一个物体所含的物质的量成比例。
其他人久已观察到，所有的重物［从同一高度］向地球下落（至少除去不相等的迟滞，它起源于空气的很小的阻力）在相等的时间发生；且用摆能以极高的精确性确定时间的相等性。我曾试验过的物品有金、银、铅、玻璃、沙、食盐、木头、水、小麦。我得到两个圆形且相等的小盒。一个塞满木头，且在另一个的振动中心（我尽可能地精确）悬挂相同重量的金。小盒由相等的十一呎长的线悬挂，使制成的摆，其重量、形状和［遇到的］空气的阻力完全相同：则同等的振动，处于并排的位置，同时向前和向后很长时间。因此在金中的物质的量（由第II卷命题XXIV系理1和6）比在木头中的物质的量，如同作用在整个金上的引起运动的力比作用在整个木头上的相同的作用；这就是，如同金的重量比木头的重量。对其余的物质亦是如此。重量相同的物体，质量相差即使小于总质量的千分之一，在这些实验中我也能清楚地察觉到。现在，重力朝向行星的特性与朝向地球的特性是相同的，已无可怀疑。想象这个地球上的物体升高直到月球的轨道，且与月球一起被夺去所有运动并放开，于是一起向地球下落；则由刚才所证明的，无疑它们在相等的时间画出的空间与月球画出的相等，且所以，它们比在月球中的物质的量，如同它们自身的重量比月球自身的重量。此外，因为木星的卫星的运行时间按照它们离木星中心的距离的二分之三次比，它们向着木星的加速重力与离木星中心的距离的平方成反比；且因此在离木星的距离相等的地方，它们的加速重力成为相等。所以，自相等的高度［向木星］下落，在相等的时间画出相等的空间；正如重物在我们地球上所发生的。由同样的论证，环日行星，在离太阳相等的距离处放开，它们向太阳下落，在相等的时间画出相等的空间。且力，由它们不相等的物体被同等地加速，如同物体；这就是，［行星朝向太阳的］重量如同行星的物质的量。此外，由第I卷命题XLV系理3，土星和它的卫星向着太阳的重量与它们的物质的量成比例，由卫星的极规则的运动这是显然的。因为如果这些星体中的某几个受到向着太阳的牵引与其余的所受到的相比，大于按照它们的物质的量的比例；卫星的运动（由第I卷命题LXV系理2）由于吸引的不等性而被摄动。如果在离太阳等距的地方，某颗卫星向着太阳依其自身的物质的量，按照任意给定的比，设为d比e，较木星依其自身的物质的量更重；太阳的中心和卫星的轨道的中心之间的距离总大于太阳的中心和木星的中心之间的距离，且很近似地按照那个比的二分之一次方；正如过去我由计算发现的。且如果卫星按照那个比d比e向着太阳较轻，则卫星的轨道的中心离太阳的距离按照那个比的二分之一次方小于木星的中心离太阳的距离。且因此，如果离太阳的距离相等，任何一颗卫星向着太阳的加速重力仅以总重力的千分之一大于或者小于木星向着太阳的加速重力，则卫星的轨道的中心离太阳的距离以整个距离的 ，亦即，最外面的卫星离木星的距离的五分之一大于或者小于木星离太阳的距离：轨道的这个偏心率是非常显著的。但卫星的轨道与木星是同心的，且所以木星和［它的］卫星向着太阳的加速重力彼此相等。又由同样的论证，土星及它的伴侣向着太阳的重量，在离太阳相等的距离，如同它们各自的物质的量；月球和地球向着太阳的重量或者没有，或者精确地与它们的物质成比例。但由命题V系理1和3，它们有重量。
再者，每颗行星的各个部分向着其他任一颗行星的重量彼此之间如同在各个部分中的物质。因为，如果某个部分的重力大于，另一部分小于按物质的量的比：则整个行星的重力，按照在其中最丰富的部分的种类，大于或者小于按照整个物质的量的重力。但与那些部分靠外或者靠里没有关系。因为，例如，若想象大地上的物体，它们在我们的周围，并被升高到月球的轨道上，且与月球的本体相比；如果这些物体的重量比月球外面部分的重量如同在它们中的物质的量，但比里面部分的重量按照一个较大或者较小的比，则这些重量比整个月球的重量按照较大或者较小的一个比，这与以上所证明的矛盾。
系理1 因此，物体的重量与它们的形态和结构（textura）无关。因为如果重量能随形态变化；对相等的质量，它们按照形态的不同或者较大或者轻小：这与经验完全不合。
系理2 在地球周围的所有物体，有向着地球的重力；且所有物体的重量，在离地球的中心距离相等的地方，与它们的物质的量成比例。这是能做的实验中所有物体的性质，且所以由规则III，对所有物体普遍地成立。如果以太或者其他任何物体，无论它们完全离弃重力，或者所受的重力小于按照其物质的量的比，因为它（由亚里士多德 、笛卡儿 和其他人的意见）除了物质的形态，与其他物体没有差别，它能通过形态的逐步变化变成一个物体，这个物体与那些按照物质的量重力最大的物体的条件相同，且反之，重力最大的物体，逐步呈现那个物体的形态，能逐步失去自身的重力。且由此重量与物体的形态有关且随形态改变，与在上面的系理中所证明的矛盾。
系理3 不是所有的空间都被同等地充满。因为如果所有空间都被同等地充满，空气的区域被流体充满，则流体的比重，因为其物质的极大的密度，不小于水银的或者金的，或者其他任意密度极大的物体的比重，且所以金以及其他任意物体不能在空气中下降。因为物体在流体中绝不下降，除非比重较大。因为如果在给定空间中物质的量能由于任意稀薄作用而减小，它为何不能无限地减小呢？
系理4 如果任何物体的所有坚固的小部分都有同样的密度，并且在没有小孔时不能变得稀薄，则必存在真空。当物体的惰性力如同它们的大小时，我说它们的密度是相同的。
系理5 重力是一种与磁力不同种类的力。因为磁的吸引并不如同被吸引的物质［的量］。有的物体受磁体的牵引强些，一些较弱，许多根本不受牵引。且在同一物体中的磁力可被增大或者减小，再者有时按照物质的量远大于重力，又在退离磁体时，磁力的减小不按照距离的二次比，而几乎按照三次比，这是就我从一些粗略的观察所能断定的。
命题VII 定理VII
向着所有物体存在重力，重力与在每个物体中的物质的量成比例。
前面我们已经证明所有行星相互之间是重的，且向着任意一颗行星的重力，分开考虑，与位置离此行星的中心的距离的平方成反比。且因此结论是（由第I卷命题LXIX及其系理），向着所有行星的重力与在它们中的物质的量成比例。
此外，由于任意行星A的所有部分向着任意行星B是重的，且每一部分的重力比总的重力，如同部分的物质比总的物质，而且因为每一作用（由运动的第三定律）有一相等的反作用；另一方面，行星B向着行星A的所有部分亦有重力，且他向着任一部分的重力比他向着整个行星的重力，如同部分的物质比总的物质。此即所证 。
系理1 所以，向着整个行星的重力起源于，并由向着其各个部分的重力组成。对磁和电的吸引我们有这种例子。因为向着一个整体的吸引起源于向着每个部分的吸引。在重力的情形，这通过想象几个较小的行星聚合成一个球并构成较大的行星而被理解。因为整个力应来源于其组成部分的力。若有反对，因为由这一定律，我们周围的所有物体相互应有重力作用，而这类重力无法被感觉到，我的回答是：朝向这些物体的重力，由于它们比朝向整个地球的重力如同这些物体比整个地球，远远不能被感觉到。
系理2 向着一个物体的每一个相等的小部分的重力与位置离小部分的距离的平方成反比。这由第I卷命题LXXIV系理3是显然的。
命题VIII 定理VIII
如果两个球互相有重力作用，它们的物质在离球的中心距离相等的区域上到处是同一的：则任一球相对于另一球的重量与它们中心之间的距离的平方成反比。
在我发现向着整个行星的重力起源于且由向着部分的重力组成，以及向着每一部分的重力与离开部分的距离的平方成反比之后，我仍怀疑二次反比在由一些力合成的总力中是能准确地得到，或是只是近似地如此。因为在大的距离上充分精确地得到的比，在靠近行星的表面，由于小部分的距离的不相等及位置的不相似而显著地偏离此比是可能发生的。然而由第一卷命题LXXV和LXXVI及其推论，我终于弄清了这里所叙述的命题的正确性。
系理1 因此，能发现并相互比较物体向着不同行星的重量。因为相等的物体在圆上围绕行星运行时的重量（由第I卷命题IV系理2）与圆的直径成正比且与循环时间的平方成反比；又在行星的表面或者离中心任意距离处的重量，（由这个命题）按照距离的二次反比或者更大或者较小。于是，由金星环绕太阳的循环时间224天又 小时，最外面的环木卫星环绕木星的16天又 小时，惠更斯 卫星 （47） （satelles Hugenianus）环绕土星的15天又 小时，以及月球环绕地球的27天7小时43分钟，与金星离太阳的平均距离，和最外面的环木卫星离木星的中心的最大的日心距角8′.16″，惠更斯 卫星离土星的中心的3′.4″，以及月球离地球中心的10′.33″比较，通过计算我发现，相等的物体且离太阳的、木星的、土星的和地球的中心距离相等，它们向着太阳的、木星的、土星的和地球的重量分别如同1， ， 和 ，且距离增大或者减小，重量按照距离的二次比减小或者增大：物体在离太阳的、木星的、土星的和地球的中心的距离分别为10000、997、791和109时，向着他们的重量相等，且因此在它们的表面的重量分别如同10000、943、529和435。物体在月球的表面上重量如何，在后面说明。
系理2 在每个行星中的物质的量亦可以知道。因为在行星中的物质的量如同在离它们的中心距离相等处它们的力，亦即，在太阳、木星、土星和地球中的物质的量分别如同1， ， 和 （48） 。如果太阳的视差取作大于或者小于10″.30′″，在地球中的物质的量应按照三次比增大或者减小。
系理3 诸行星的密度亦可知道。因为由第I卷命题LXXII，相等且同质的（homogeneorum）物体向着同质的球的重量在球的表面如同球的直径，且因此异质（heterogeneorum）球的密度如同那些重量除以球的直径。但是太阳的、木星的、土星的和地球的真实直径彼此分别如同10000、997、791和109，且向着它们的重量分别如同10000、943、529和435。且所以密度如同100、 、67和400。由这一计算发现的地球密度，不依赖太阳的视差，而是由月球的视差确定的，且所以在这里被正确地定出。所以，太阳比木星略为致密，且木星比土星致密，而地球比太阳致密四倍。因为由于自身的高温太阳变得稀薄。月球比地球致密，在后面这是显然的。
系理4 所以，在其他情况相同时，愈小的行星愈致密。因为这样重力在他们的表面接近相等。但在其他情况相同时，行星愈靠近太阳愈致密；正如木星较土星致密，且地球较木星致密。无疑行星被安放在离太阳不同的距离上，使得按照其密度而或多或少地享有太阳的热。如果地球位于土星的轨道上，我们的水将会冻结，如果在水星的轨道上，水以蒸气逃逸。因为太阳的光，热与它成比例，在水星的轨道上比在我们跟前稠密七倍；且我用一支温度计发现，在夏天太阳热度的七倍之下水沸腾。毫无疑义，水星上的物质与其热相适应，且所以比我们地球上的这种物质致密；因为所有更致密的物质，为了大自然的造化之功（operatio），需要较多的热。
命题IX 定理IX
自行星的表面向下前进，重力的减小很接近地按照离中心的距离之比。
如果行星的物质有均匀的密度，由第I卷命题LXXIII，这一命题精确地成立。所以，误差不大于起源于密度的不等性。
命题X 定理X
行星的运动在天空中能保持极长的时间。
在第II卷命题XL的解释中，已证明冻结的一个水球，在我们的空气中自由地运动且画出其自身的半直径的一个长度，由于空气的阻力，它失去自身的运动的 。对大小和速度任意的球，能很接近地获得相同的比。现在，我们的地球比如果它整个地由水构成的球更稠密，我如此推断：如果这个球全是水，比水稀疏的无论什么东西，由于比重较小而浮起并漂在水面上。由于这一原因，一个由地球的物质构成的球被水完全覆盖，如果它比水稀疏，它在某处浮起，且所有水由此流走并汇聚在对面。而这是我们的地球的情形，它的大部分被海洋环绕。如果土地不比海洋致密，它从海洋浮起，且按照其轻的程度，土地的一部分突出水外，所有那些海水流向对面。由同样的论证，太阳上的黑子比它们浮在其上的太阳的发光物质轻。且无论怎样形成行星，在物质为流体时，较重的物质离开水向中心前进。因此，由于地球表面的一般物质约比水重两倍，且略低一些，在矿井中发现物质比水约重三倍或者四倍，甚至五倍；似乎在地球中所有物质的量约为整个由水构成的地球的五倍或者六倍；尤其是由于上面已表明地球比木星约致密四倍。所以，如果木星较水略为致密，在三十天的时间，它画出459倍自身的半直径的一个长度，在与我们的空气的密度相同的介质中，几乎失去其运动的十分之一。但是，由于介质的阻力按照它们的重量和密度之比减小，因此，水，它比水银轻 倍，阻力按照同样的比减小；且空气，它比水轻860倍，阻力按照同样的比减小；如果升入太空，那里介质的重量被减小以至无穷，行星在这种介质中运动，阻力几乎消失。在第II卷命题XXII的解释中我们已表明，如果升高到高于地球二百哩，那里的空气按照30比0.0000000000003998，或者大约75000000000000比1之比较地球表面的空气稀薄。且因此木星，在与那些上方的空气的密度相同的介质中运行，在1000000年的时间，由于介质的阻力，也不会失去其运动的百万分之一。在很接近地球的空间，能产生阻力的只有空气，呼出的气（exhalationes）和蒸汽。这些被从圆柱形的玻璃腔中被极细心地吸出，重物在玻璃内非常自由地下落，且没有任何阻力可以感觉得到，使得金和极轻的羽毛同时落下，它们以相同的速度下落，且在其下落中画出四呎、六呎或者八呎的一个高度，同时到达底部，正如由实验所发现的。且所以，若上升到太空，那里没有空气和呼出的气，行星和彗星没有任何可以感觉得到的阻力，通过那些空间他们运动极长的时间。
假设 I
宇宙的系统的中心是静止的。
这是所有人都同意的，尽管一些人认定地球，另一些人认定太阳在系统中的中心静止。我们且看由此随之而来的结论是什么。
命题XI 定理XI
地球，太阳和所有行星的重力的公共的中心是静止的。
因为那个中心（由诸定律的系理IV）或者静止，或者均匀地一直前进。但是如果那个中心总是前进，宇宙的中心也将运动，这与假设矛盾。
命题XII 定理XII
一项运动持续不断地驱动太阳，但太阳从不退离所有行星的重力的公共的中心太远。
因为由于（由命题VIII系理2）在太阳中的物质比在木星中的物质如同1067比1，且木星离太阳的距离比太阳的半直径按照略大的一个比；木星和太阳的重力的公共中心落在略高于太阳的表面的一个点上。由同样的论证，由于在太阳中的物质比在土星中的物质如同3021比1，且土星离太阳的距离比太阳的半直径按照略小的一个比；土星和太阳的重力的公共中心落在略低于太阳的表面的一个点上。再承同样计算的余绪，如果地球和所有行星位于太阳的一侧，所有这些天体的重力的公共中心离太阳的中心仅能为太阳的一个完整的直径那么远。在其他情况，中心间的距离更小。且所以，因为重力的那个中心总是静止的，太阳依行星位置的变化而向各个方向运动，但从不退离那个中心很远。
系理 因此地球、太阳和所有行星的重力的公共中心被认为是宇宙的中心。因为由于地球、太阳和所有行星相互之间有向着它们的重力，且所以，按照它们每个的重力，由运动的定律它们持续地被推动；显然它们的运动的中心不能作为宇宙的静止的中心。如果所有物体朝向那个被放置在中心的物体的重力最大（如普遍持有的意见），首选必须让给太阳。但由于太阳自身是运动的，必须选择静止的一点，太阳的中心离它最近，且会离得更近，只要太阳更为致密和更大，这样太阳的运动更小。
命题XIII 定理XIII
诸行星在焦点是太阳中心的一些椭圆上运动，且由向那个中心所引的半径画出的面积与时间成比例。
关于这些运动我们在前面已由天象加以讨论。现在认识了运动的原理，由这些原理我们先验地（a priori）导出天空中的运动。因为行星向着太阳的重量与 ［行星］ 离太阳中心的距离的平方成反比；如果太阳静止且其余的行星不相互推动，则（由第I卷命题I和命题XI以及命题XIII系理1）它们的轨道是椭圆，太阳在它们的公共的焦点上，且画出的面积与时间成比例，但行星之间的相互作用甚小（以致能忽略），且（由第I卷命题LXVI）它们摄动在椭圆上围绕动的太阳的行星的运动比如果那些运动是围绕静止的太阳进行时要小。
然而，木星对土星的作用不能完全被忽略。因为朝着木星的重力比朝着太阳的重力（在相等的距离）如同1比1067；且因此在木星和土星会合时，因为土星离木星的距离比土星离太阳的距离差不多如同4比9，土星朝着木星在重力比土星朝着太阳的重力如同81比16×1067，或者约略如同1比211。由是每当土星和木星会合时引起土星的轨道的摄动，它如此显著使天文学家对此烦忧。按照该行星的位置在这些会合处的变化，它的偏心率有时被增大有时被减小，远日点有时前行有时后退，且平均运动被交替加速和迟滞。然而在其围绕太阳运动的整个误差，尽管起源于如此大的一个力，（由第I卷命题LXVII）通过把其轨道的下焦点安放在木星和太阳的重力的公共中心上，差不多能避免（平均运动除外）；且所以当误差最大时，几乎不超过二分。且在平均运动中的最大误差一年几乎不超过二分。但是，在木星和土星的会合时，太阳向着土星的，木星向着土星的和木星向着太阳的加速重力，差不多如同16，81和 或者156609，且因此太阳向着土星的和木星向着土星的重力之差比木星向着太阳的重力如同65比156609，或者1比2409。但土星摄动木星运动的最大的能力与这个差成比例，且所以木星轨道的摄动远小于土星轨道的摄动。其余的轨道的摄动更小，除了地球的轨道被月球显著地摄动。地球和月球的重力的公共中心在围绕太阳的一个椭圆上前进，太阳位于椭圆的一个焦点，且向太阳所引的半径在那个椭圆上画出的面积与时间成正比例，但同时地球以每月的运动围绕这个公共中心运行。
命题XIV 定理XIV
诸［行星的］轨道的远日点和交点是静止的。
由第I卷命题XI，远日点是静止的，且由同一卷命题I，轨道的平面为静止的；又平面是静止的，交点也静止。然而由行星和彗星在其运行中的相互作用会产生某些不等性，但它们是如此之小在这里能被忽略。
系理1 诸恒星也静止不动，因为它们相对于［行星的］远日点和交点保持给定的位置。
系理2 且因此，由于地球的周年运动对诸恒星没有产生可觉察到的视差，它们的力由于这些物体的巨大的距离而在我们的系统的区域没有产生可以觉察到的影响。事实上，因为恒星在天空的所有部分相等地分散着，由第I卷命题LXX，它们相互的力由相反的吸引而被抵消。
解释
因为靠近太阳的行星（即水星、金星、地球和火星）由于它们的本体规模不大，相互推动较弱：它们的远日点和交点静止，但受木星的、土星的和更高处物体的力的扰动除外。且由此能由重力的理论推出，这些远日点相对于恒星略有向前（in consequentia）运动，且它按照这些行星离太阳的距离的二分之三次比。于是，如果火星的远日点相对于恒星在一百年积累的前行为33′.20″；则在一百年，地球的、金星的和水星的远日点积累的前行分别为17′.40″、10′.53″和4′.16″。且这些运动由于它们如此之小，在这一命题中被忽略了。
命题XV 问题I
求诸［行星的］轨道的主直径。
由第I卷命题XV，这些直径按照循环时间的二分之三次比被取得，然后由第I卷命题LX，每一个［值］按太阳的与每个环绕的行星的质量之和比那个和与太阳［的质量］之间的两个比例中间中的第一个的比增大。
命题XVI 问题II
求诸［行星的］轨道的偏心率和远日点。
此问题被第I卷命题XVIII解决。
命题XVII 定理XV
诸行星的周日运动是均匀的，且月球的天平动起源于它的周日运动。
由运动的定律I和第I卷命题LXVI系理22，这是显然的。的确，木星相对于恒星的旋转时间为9小时56分钟，火星为24小时39分钟，金星约为23小时，地球为23小时56分钟，太阳为 天，且月球为27天7小时43分钟。这些事情如此是由于显而易见的天象。相对于地球，太阳本体上的黑子在太阳的日轮上约 天回归到相同的位置；且所以相对于恒星，太阳的旋转时间约为 天。但是，因为月球围绕自身的轴均匀地旋转一［个太阴］日是一个月：月球的同一个面总是近似地转向其轨道的较远的焦点，且所以依照那个焦点的位置离开地球向这边或者那边偏离。这就是月球的经天平动；因为纬天平动起源于月球的纬度和其轴对于黄道面的倾斜。N.墨卡托先生，在他的出版于1676年初的《天文学 》中，根据我的一封信详细地阐述了天平动的这一理论。土星最外面的卫星围绕自身的轴旋转被观察到类似于月球的运动，它的同一个面总转向土星。因为在围绕土星运行时，每当它靠近自己的轨道的东面的部分时，不适于观看，且平常看不到，这种情况的发生可能由于其本体转向地球的部分上有某些斑点，正如卡西尼 所指示的。木星最外面的卫星亦被观察到围绕其轴旋转的类似于月球的运动，无论何时卫星从木星和我们的眼睛之间穿过时，因为在其本体转离木星的部分有一个斑点，看起来好像在木星的本体上。
命题XVIII 定理XVI
诸行星的轴小于垂直于轴所引的直径。
若除去行星整个的周日圆运动，由于部分的重力向各方面是相等的，它们应为球形。由于那个圆运动，结果使［行星的］部分自轴退离，努力向赤道附近上升。且因此，如果物质为流体，则其上升使在赤道的直径增大，且其下降使在两极的轴减小。由是木星的直径（天文学家的观察意见一致）在两极之间的比从东向西的短。由同样的论证，若我们的地球不是在靠近赤道比在两极略高，则海洋在两极退去，且在赤道附近升高，并完全淹没那里。
命题XIX 问题III
求行星的轴比垂直于它的直径的比例。
1635年前后，我们的同国人诺伍德 测得伦敦 和约克 之间的距离为905751伦敦 呎，并观测到［那些地方的］纬度的差为2°28′，他推出一度的长短为367196伦敦 呎，亦即，57300巴黎 丈。
皮卡德 沿子午线测量亚眠 和马尔瓦桑 之间2度22′.55″的一段弧，发现一度的弧为57060巴黎 丈。老卡西尼 沿子午线测得从鲁西永 的科利乌尔 镇到巴黎 天文台的距离；且他的儿子加上了从天文台到敦刻尔克 城的城堡的距离。总的距离为 丈，科利乌尔镇的和敦刻尔克 城的纬度之差为8°又31′. ″。由此得出1°的弧为57061巴黎 丈。且由这些测量，在地球为球形的假设下，推得地球的周长为123249600巴黎 呎，且它的半直径为19615800呎。
在巴黎 的纬度，重物下落一秒钟画出15巴黎 呎1吋又 吩，如同上面，亦即 吩。物体的重量由于周围空气的重量而减小。我们假设失去的重量是总重量的一万一千分之一，则那个重物在真空中下落，一秒钟的时间画出2174吩。
一个物体在每个恒星日的23小时56′.4″在离中心的距离为19615800呎的一个圆上均匀地运行，在一秒钟的时间画出1433.36呎的一段弧，其正矢为0.0523656呎，或者7.54064吩。且由此，一个力，由它重物在巴黎 的纬度降落，比物体在赤道的离心力，它起源于地球的周日运动，如同2174比7.54064。
物体在地球的赤道的离心力比一个离心力，由它物体在巴黎 的纬度48°51′.10″直接地离开地球，按照半径比那纬度的余角的正弦的二次比，亦即，如同7.54064比3.267。这个力加到一个力上，重物由后者在巴黎 的那个纬度下降，则物体在那个纬度以总的重力下落，在一秒钟的时间画出2177.267吩，或者15巴黎 呎1吋又5.267吩。则在那个纬度，总的重力比物体在地球的赤道的离心力如同2177.267 比7.54064或者289比1。
由此，如果指定APBQ为地球的形状，现在它不再是球而是由一个椭圆围绕较短的轴PQ旋转产生，又设ACQqca为充满水的管道，从极Qq到中心Cc，再由此前进到赤道Aa:则在管道的股ACca 中的水的重量比在管道的另一股QCcq中的水的重量应如同289比288，因为起源于圆形运动的离心力支撑并除去289份重量中的一份，且在另一股中的288份重量支撑余下的重量。然后（根据第I卷命题XCI系理2）进行计算，我发现如果地球由均匀的物质构成，且所有的运动被夺去，则它的轴PQ比直径AB如同100比101:在位置Q朝着地球的重力比在相同的位置Q朝着以中心C半径PC或者QC画出的球的重力，如同126比125。且由同样的论证，在位置A朝着椭圆APBQ围绕轴AB一起旋转画出的扁球的重力，比在相同的位置A朝着以中心C半径AC画出的球的重力，如同125比126。但是在位置A朝着地球的重力是朝着所说的扁球的和球的重力之间的比例中项:因为那个球，当它的直径PQ按照101比100之比减小，它转变为地球的形状；且这个形状按照相同的比减小第三条直径，它与两条直径AB、PQ垂直，转变为所说的扁球；且在A的重力，在任一种情形，很接近地按同一比减小。所以在A朝着以中心C半径AC画出的球的重力，比在A朝着地球的重力如同126比 ，且在位置Q朝着以中心C半径QC所画出的球的重力，比在位置A朝着以中心C半径AC所画出的球的重力，（由第I卷命题LXXII）按照直径的比，亦即，如同100比101。现在，这三个比126比125、126比 和100比101联合起来，则在位置Q朝着地球的重力比在位置A朝着地球的重力，如同126×126×100比125× ×101，或者如同501比500。
如今，因为（由第I卷命题XCI系理3）在管道的任一股ACca或者QCcq中的重力如同位置离地球中心的距离；如果那些股由等距的横截面区分为与整体成比例的部分，在股ACca 中任意数目的部分的重量比在另一股相同数目的部分的重量，如同它们的大小和加速重力的联合；亦即，如同101比100和500比501的联合，这就是，如同505比501。且因此，如果在股ACca中每一部分的起源于周日运动的离心力，它比同一部分的重量如同4比505，使得每一部分的重量被分成505份，四份被它除去；在每个股中重量保持相等，且所以流体处于平衡。但每一部分的离心力比同一部分的重量如同1比289，这就是，离心力，它应为重量的 ，而仅为 。且所以，我说，按照黄金规则（regula aureum），如果重量的 的离心力使水在股ACca中的高度超出水在股QCcq中的高度为其整个高度的百分之一:则重量的 的离心力使水在股ACca中的高度的超出仅为水在另一股QCcq 中的高度的 。所以地球沿着赤道的直径比它的经过两极的直径如同230比229。且因此，因于地球的平均半直径，按照皮卡德 的测量，为19615800巴黎 呎，或者3923.16哩（假定一哩等于5000呎），地球的赤道比在两极高，超出为85472呎，或者 哩。且在赤道其高度约为19658600呎，在两极约为19573000呎。
如果大于或者小于地球的行星保持其密度和周日旋转的循环时间，则离心力比重力的比被保持，且所以两极之间的直径比沿着赤道的直径的比被保持。且如果周日运动按任意的比被加速或者迟滞，则离心力按那个比的二次方被增大或者减小，且所以直径的差很接近地按同一二次比。再者，如果行星的密度按任意的比增大或者减小，朝向它的重力按相同的比增大或者减小，且直径之间的差按重力增大的比被减小或者按重力减小的比被增大。因此，由于地球相对于恒星以23小时56′旋转，而木星以9小时56′旋转，则时间的平方如同29比5，又旋转物体的密度如同400比 :木星的直径的差比它自己的较短的直径如同 × × 比1，或者很接近地如同1比 。所以，木星的自东向西所引的直径，比它的两极之间的直径很接近地如同 比 。因此，由于它的较长的直径为37″，它的较短的直径，它位于两极之间，为33″.25。由于光的不规则性应加上大约3″，则这颗行星的视直径变成40″和36″.25；它们彼此很接近地如同 比 。这些结果如此出自一个假设：木星本体的密度均匀。但如果它的本体往赤道的平面比往两极致密，其直径彼此之比可能如同12比11，或者13比12，甚至14比13。的确，卡西尼 在1691年观测到，木星的自东向西伸展的直径约以其自身的十五分之一超出另一条直径。此外，我们的同国人庞德 ，用带最好测微仪的123呎长的望远镜，在1719年测得木星的直径如下。
况且，由于我们的地球的周日转动，重力在赤道被减小，且因此地球在那里比在两极更隆起（如果它的物质密度均匀），由在下一命题中叙述的摆的实验，这是显然的。
命题XX 问题IV
求出并相互比较物体在地球上不同区域的重量。
因为在水的管道ACQqca的不等的股中的重量相等；且部分的重量，它与整个股成比例，又在整个股中处于相似的位置，彼此如同整个重量，且因此也相互相等；重量相等且在股中处于相似位置的部分与股成反比，亦即，与230比229成反比。任意同质且相等的物体处于管道的股中相似的位置，情形相同。这些物体的重量与股成反比，亦即，与物体离地球中心的距离成反比。因此如果物体在管道的最上端部分，或者位于地球的表面，它们的重量彼此与它们离中心的距离成反比。且由同样的论证，［物体］在整个地球表面上的任意区域的重量，与位置离中心的距离成反比；且所以，由地球为扁球的假设，［那些重量的］比被给定。
由此导出定理：从赤道向两极前进时，重量的增加很接近地如同纬度的二倍的正矢，或者同样，如同纬度的正弦的平方。且在一条子午线上，纬度的弧近似地按照相同的比增大。且因此，由于巴黎 的纬度为48gr. .50′ （49） ，在赤道上的位置的纬度为00gr. .00′，且在两极位置上的纬度为90gr. ，又那些纬度的二倍的正矢为11334，00000和20000，半径为10000，且在两极的重力比在赤道的重力如同230比229，则在两极重力的超出比在赤道的重力如同1比229：在巴黎 的纬度，重力的超出比在赤道的重力，如同1× 比229，或者5667比2290000。且所以，在这些位置的总的重力彼此如同2295667比2290000。因此，由于振动时间相等的摆的长度如同重力，且在巴黎 的纬度每秒振动的摆的长度为三巴黎 呎又 吩，或者由于空气的重量，更好些，为 吩；在赤道的摆的长度被在巴黎 的等时的摆的长度超过，超出为一又千分之八十七吩。且类似的计算产生下表。
所以，由这张表，度数的不等性如此之小，使得在地理学之事上能用球形代替地球的形状是显然的，如果地球往赤道的平面比往两极略为致密时尤其如此。
现在一些天文学家被派到遥远的地区做天文观测，观察到他们的摆钟靠近赤道比在我们的地区慢。而且事实上，这首先由里奇 先生于1672年在卡宴 岛上观察到。因为当他在8月份正观察恒星经过子午线时，他发现他自己的时钟比他应相对的太阳的平均运动慢，差为每天2′.28″。然后通过一台精良的时钟的测量，一架按秒振动的单摆被制成，他记下单摆的长度，且在十个月中的每一周重复此事多次。当他返回法兰西 时，他将这架摆的长度与在巴黎 的［按秒振动的］摆的长度相比较（它是三巴黎 呎八又五分之三吩），发现它较短，差为一又四分之一吩。
后来，我们的同国人哈雷 约于1677年航行到了圣赫勒拿 岛，他发现他自己的摆钟在那里比在伦敦 运动得慢，但他没有记录［时间的］差。他使他的时钟的摆缩短超过八分之一吋，或者一又二分之一吩。为达到这一目的，由于在摆的下端的螺帽的长度不够，他在螺帽和摆的重物之间置入一个木环。
此后，在1682年，瓦伦 先生和得海斯 先生发现在巴黎 皇家天文台一架按秒振动的摆的长度为3呎 吩。且在戈雷 岛他们用同样的方法发现等时的摆的长度为3呎 吩，长度的差为2吩。在同一年他们又航行到瓜德罗普 岛和马提尼克 岛，发现在这些岛上等时的摆的长度为3呎 吩。
后来，小库普莱 先生于1697年7月，在巴黎 皇家天文台这样将他自己的摆钟与太阳的平均运动校准，使得在相当长的时间时钟与太阳的运动相符。然后航行到里斯本 ，他发现在接下来的11月，时钟走得比以前慢，在24小时相差2′.13″。且在次年的3月，他航行到帕拉伊巴 ，他发现在那里他自己的时钟走得比在巴黎 慢，在24小时相差4′.12″。且他断言按秒振动的摆在里斯本 和在帕拉伊巴 比在巴黎 短 吩和 吩。他应能更正确地把这些差定为 和 。因为这些差与时间的差2′.13″和4′.12″对应。这个人的观测由于粗心而不大可信。
接着的两年（1699和1700年）得海斯 先生又航行到美洲 ，在卡宴 岛和格拉纳达 岛他确定按秒振动的摆的长度稍小于3呎 吩，在圣克里斯托弗 岛那个长度为3呎 吩，且在圣多明各 岛同样的长度为3呎7吩。
再者，在1704年，弗莱 神父在美洲 的波托贝洛 发现按秒振动的摆的长度为三巴黎 呎仅又 吩，亦即，比在巴黎 约短三吩，但此观测有误。因随后他航行到马提尼克 岛，发现等时的摆的长度仅为三巴黎 呎又 吩。
现在帕拉伊巴 的纬度是向南6gr. .38′，且波托贝洛是向北9gr. .33′，又卡宴 岛、戈雷 岛、瓜德罗普 （50） 岛、马提尼克 岛、格拉纳达 岛、圣克里斯托弗 岛和圣多明各 岛的纬度分别为向北4gr. .55′、14gr. .40′、14gr. .00′、14gr. .44′、12gr. .6′、17gr. .19′和19gr. .48′。巴黎 的摆的长度对等时的摆在这些纬度观测到的长度的超出略大于按照上表中计算出的摆的长度。且所以地球在赤道比上面计算的要高，且往中心比接近表面的矿物更致密，除非也许热带的热使摆的长度有些增加。
的确，皮卡德 先生曾观察到，一根铁棒，它在冬季当冰冻时的长度为一呎，在火上加热时它变为1呎又四分之一吩。后来拉伊尔 先生观察到，一根铁棒，它在冬季相当的时候长六呎，当暴露于夏天的太阳下时长度成为六呎又三分之二吩。在前一种情形比后一种情形更热，且在后一种情形比人的身体的外表部分更热。因为金属在夏天的太阳下变得很热。但摆钟的摆杆从不暴露于夏天太阳的炎热之下，且从不吸收等于人的身体外表部分的热。且所以，在时钟中三呎长的摆杆，在夏天的确比在冬天略长，但超出几乎不超过一吩的四分之一。因此，在不同区域等时的摆的长度的整个差，不能归之于热的不同。这个差也不能归之于由法兰西 派出的天文学家所犯的错误。因为尽管他们的观测彼此不完全相符，但差异如此之小以至能忽略。且对此他们一致同意：等时的摆在赤道比在巴黎 皇家天文台短，差不小于一又四分之一吩，不大于 吩。依里奇 先生在卡宴 所做的观测，此差为一又四分之一吩，依得海斯 先生的观测那个差经过修正成为一又二分之一吩或者一又四分之三吩。依其他人所做的较不精确的观测，那个差约为二吩。且这一差异可能部分地来自观测的误差，部分地来自地球内部的不同和山的高度的不同，且部分地来自空气的热度的不同。
据我所知，一根三呎长的铁棒，在英格兰 的冬季比在夏季短六分之一吩。由于在赤道的热度，从里奇 观测到的一又四分之一吩的差中除去这个量，则剩下 吩，它与前面已由理论推得的 吩非常符合。此外，里奇 在卡宴 所做的观测，十个月的时间他每周重复，并把在那里标记在铁棒上的摆的长度与在法兰西 类似地标记的长度相比较。这种勤奋与细心为其他观测者所缺乏。如果他的观测是可信的，则地球在赤道比在两极高，超出约为十七哩，正如上面由理论所得出的。
命题XXI 定理XVII
二分点退行；且地球的轴，由于在每年运行中的章动，两次向黄道倾斜并两次返回到原来的位置。
由第I卷命题LXVI系理20，这是显然的。但是章动这个运动应当很小，且很难或者全然感觉不到。
命题XXII 定理XVIII
月球的所有运动，以及所有那些运动的不等性（inœquatitas）遵循已确立的原理。
较大的行星，在它们围绕太阳转动期间，可能携带其他较小的行星围绕它们运行，且那些较小的行星，由第一卷命题LXV，显然它们应在焦点在较大的行星的中心的椭圆上运行。此外，它们的运动以多种方式被太阳的作用摄动，且它们受到在我们的月球上观测到的不等性的影响。无论如何，它［月球］（由第一卷命题LXVL系理2，3，4和5）运动得较迅速，且向地球所引的半径画出的面积比按照时间的要大，又有弯曲较小的一条轨道，且所以它在朔望比在方照更靠近地球，这些作用被偏心运动的阻碍除外。因为（由命题LXVI系理9）当月球的远地点在朔望时，偏心率为最大；且当它在方照出现时，偏心率为最小；且因此月球当近地点在朔望比在方照时较迅速且更靠近我们，而当远地点在朔望比在方照时更迟缓且更远离我们。此外，远地点前行，且交点退行，而运动是不均匀的。且由于（由命题LXVI系理7和8）远地点在其朔望前行更迅速，且在方照的退行更迟缓，它由前行对退行的超出每年被携带前行。但交点（由命题LXVI系理2）在其朔望静止且在方照最迅速地退行。但月球的最大的纬度，在其方照（由命题LXVI系理10）比在其朔望大，且月球的平均运动在地球的近日点（由命题LXVI系理6）比在其远日点缓慢。这些是被天文学家记录下来的显著的不等性。
也有其他一些不等性没有被以前的天文学家观测到，由于它们月球的运动被如此摄动，以致至今这些运动未能由定律归结为某一法则。因为月球的远地点的和交点的速度或者小时运动，且它们的均差（æquatio），以及在朔望的最大的偏心率和在方照的最小的偏心率之间的差，和被称为变差（variatio）的不等性，每年的增大和减小（由命题LXVI系理14）按照太阳的视直径的三次比。且此外，变差的增大或者减小很近似地按照（由第一卷引理X系理1和2，以及命题LXVI系理16）方照之间时间的二次比，但在天文学计算上这一不等性通常归入月球的中心差（prosthaphæresin），并与它相结合。
命题XXIII 问题V
由月球的运动导出木星的和土星的诸卫星的不均匀运动。
由我们的月球的运动可导出木星的月球或者卫星的类似的运动。木星最外面的卫星的交点的平均运动，比我们的月球的交点的平均运动，（由第I卷命题LXVI系理16）按照来自地球围绕太阳的循环时间比木星围绕太阳的循环时间的二次比，和那颗卫星围绕木星的循环时间比月球围绕地球的循环时间的简单比的复合比，且因此在一百年那个交点积累的退行为8gr. .24′。里面的卫星的平均运动比这颗卫星的运动，（由同一系理）如同那颗卫星的循环时间比这颗卫星的循环时间，且因此被给定。此外，每颗卫星的拱点运动的前行比其交点运动的退行，（由同一系理）如同我们的月球的远地点的运动比其交点的运动，且因此被给定。然而，这样发现的拱点的运动应按5比9或者约1比2的比减小，其原因没有时间在这里解释。每颗卫星的交点的和拱点的最大的均差，分别比月球的交点的和拱点的最大的均差，近似地如同在前一均差的一次环绕时间中卫星的交点的和拱点的运动，比在后一均差的一次环绕时间中月球的交点的和拱点的运动。从木星上观看一颗卫星的变差，比月球的变差，由同一系理，如同卫星和月球在环绕太阳期间它们的交点的整个运动的相互之比；且由此［木星的］最外面的行星的变差不超过5″.12。
命题XXIV 定理XIX
海洋的潮起潮落起源于太阳的和月球的作用。
由第I卷命题LXVI系理19和20，显然海洋在每个太阴日和每个太阳日应有两次上涨和两次回落，且水的最大的高度，在既深且开阔的海洋中，应在发光体靠近一个位置的子午线后小于六小时的时间来临，如在法兰西 和好望角 之间的大西洋 和埃塞俄比亚 海的整个东部所发生的，也如在太平洋 的智利 和秘鲁 沿海发生的；在所有这些海岸，海潮在约第二，第三或者第四个小时发生，除非当来自深海的运动在浅的地方的传播而一直被拖延到第五，第六，第七个小时或者更晚。我从两个发光体中的任何一个靠近一个位置的子午线开始对小时计数，无论发光体在地平线之下或者地平线之上，且一个太阴日的小时，我意指一段时间的二十四分之一，在此期间月球的视周日运动返回到它昨天留下的那个位置的子午线上。在发光体靠近一个位置的子午线时，举起海洋的太阳的和月球的力最大。但此施加于海洋上的力保持一会儿且被随后施加的一个新力增大，直到海洋上升到最大的高度，这将在一或者两小时内发生，但在海岸经常是在大约三小时，如果在浅的海洋时间会更长。
而且两项运动，它们由两个发光体引起，不能明确地被区分开，而引起一种混合的运动。发光体在合或者冲时他们的作用被联合起来，并造成最大的潮起和潮落。在方照时，太阳当月球下压海水时举起它，且当月球举起海水时下压它；所有涨潮中最低的起源于两种作用的差。且因为，经验证明，月球的作用大于太阳的作用，海水的最大高度约发生在第三个太阴小时。在朔望和方照之外，最大的海潮，它单独由月球的力引起，总应发生在第三个太阴小时，且单独由太阳的力引起的最大的海潮发生在第三个太阳小时，由两者合成的力引起的最大的潮发生在更接近第三个太阴小时的某个中间时间；且因此月球在自朔望到方照的路径中，当第三个太阳小时先于第三个太阴小时，海水的最大高度［的出现］也先于第三个太阴小时，最大的时间间隔略后于月球的八分点；且在月球自方照至朔望的路径中，最大的涨潮以相同的时间间隔跟随在第三个太阴小时之后。在开阔的海洋就是如此。因为在河流的入海口，较高的涨潮，在其他情况相同时，它们的顶点（áκμ?υ）较缓慢地来临。
但是发光体的作用与它们离地球的距离有关。因为在较近的距离，它们的作用较大；在较远的距离，它们的作用较小，且这按照它们的视直径的三次比。所以太阳在冬季时；当它在近地点产生较大的作用并使得海潮在朔望略大于，且在方照略小于（其他情况相同）在夏季时的海潮；又月球在它每月的近地点产生一个较十五日之前或者十五日之后当它在远地点时海潮大的潮。因此，最大的两次海潮并不跟随在相继的朔望之后。
每个发光体的作用也与其赤纬或者离赤道的距离有关。因为如果一个发光体被放置在地球的一极，它不断地牵引水的每一部分，没有作用的加强和减退，且因此不产生运动的交替。所以，发光体在从赤道向一极退离时，其作用逐渐失去，且因此在二至的朔望产生的海潮比在二分的朔望产生的小。然而，在二至的方照产生的海潮比在二分的方照产生的大；因为月球的作用，它现在位于赤道，超出太阳的作用甚大。所以，大约在任何一个二分的时候，发光体在朔望发生最大的海潮，且发光体在方照发生最小的海潮。又，在朔望的最大海潮总伴随着在方照的最小的海潮，正如经验所发现的。此外，由于太阳离地球的距离在冬季比在夏季近，使得春分前的最大的海潮和最小的海潮比在春分后更经常，且在秋分后比在秋分前更经常。
发光体的作用也与位置的纬度有关。指定ApEP为各处被深水覆盖的地球；C为其中心；P，p为极；AE为赤道；F为赤道之外的任一位置，Ff为那个位置的纬线；Dd为在赤道另一侧对应于它的纬线；L为一个位置，它在三个小时之前被月球占据；H为地球上竖直地位于L之下的位置；h这个位置的对点；位置K，k离H，h的距离为90度，CH，Ch为自地球的中心量起的海的最大高度；且CK，Ck为最小高度；再者，如果以轴Hh，Kk画一个椭圆，然后如果这个椭圆再围绕长轴Hh画一扁球HPKhpk；则这个扁球相当接近地表示了海洋的形状，且CF，Cf，CD，Cd为大海在位置F，f，D，d的高度。而且，如果在所说的椭圆的旋转中，任意一点N画出的圆NM截纬线Ff，Dd于任意的位置R，T，且截赤道AE于S；CN为位于这个圆上的所有的位置R，S，T处海的高度。因此，在任意位置F的周日旋转中，最大的涨潮发生在F，在月球经过地平线之上的子午线后的第三个小时；然后，最大的落潮发生在Q，在月球落下之后的第三个小时；此后，最大的涨潮发生在f，在月球经过地平线之下的子午线后的第三个小时；最后，最大的落潮位于Q，在月球升起之后的第三个小时；且靠后在f的涨潮小于在前面在F的涨潮。因为整个海洋被分为两个半球的流，一个是在北边的半球KHk，另一个为相对的半球Khk；所以这些可以被称为北流和南流。这些流，它们彼此总是相对的，且轮流来到每一个位置的子午线，它们之间的间隔为十二个太阴小时。且由于北边的区域分享了较多的北流，南边的区域分享了较多的南流，因此在赤道之外的每个地方，发光体在此处升起和下落，交替地产生较大或者较小的海潮。但较大的海潮，当月球向一个位置的天顶点偏斜时，在它经过地平线之上的子午线后大约第三个小时发生，且月球赤纬的改变，使较大的海潮转变为较小的海潮。且这些涨潮之间最大的差发生在二至的时候；特别地，如果月球的升交点位于白羊宫的开端。于是由经验发现，在冬季，早晨的海潮超过傍晚的海潮；且在夏季，傍晚的海潮超过早晨的海潮。依据科尔普雷斯 和斯图米 的观察，在朴利茅斯 ，超过的高度约为一呎，在布里斯托尔 ，这一高度为十五吋。
但是至此所描述的运动由于水的交互作用的力而有些改变，海潮，即使发光体的作用停止了，也能保持一会儿。施加的运动的这种保持减小了交替的海潮的差；且使紧随朔望之后的较大，并使紧随方照之后的海潮较小。因此在朴利茅斯 和布里斯托尔 交替的海潮除了高度为一呎或者十五吋之外，并无差别；且在那些港口，最大的海潮不是朔望后的第一次的海潮，而是第三次的。所有的运动在通过浅滩时被迟滞，因此使得海潮中最大的潮，在一些海峡和河流的入海口中，是朔望后的第四或者第五次海潮。
况且，会发生一次海潮从海洋经过不同的海峡到达同一港口，且通过某些海峡比通过另一些海峡快，在这种情形海潮分成两个或者更多的海潮相继到达，能合成不同种类的新的运动。我们想象来自不同地方的两个相等的海潮到达同一个港口，其中一个比另一个提前六小时的时间，并在月球靠近港口的子午线后的第三个小时发生。如果月球在它这次靠近子午线时在赤道上，则每六小时到达的相等的涨潮，与相同的落潮相遇而平衡；且因此在那天中它们使得水平静且不动。如果那时月球从赤道离开，在大洋中的海潮彼此交替地较大或者较小，正如已说过的；且自大洋中两个较大的和两个较小的涨潮彼此交替也到达这个港口。再者两个较大的潮在它们中间的时候形成最高的水位，较大的涨潮和较小的涨潮在它们中间的时候使水上升到一个平均的高度，且在两次较小的涨潮之间水上升到最小的高度。于是在二十四小时的时间里，水不是如通常那样两次达到最大的高度，而是一次达到最大的高度且一次达到最小的高度；且最大的高度，如果月球在那个位置的地平线的上方趋向一极，将发生在月球经过那个位置的子午线之后的第六个小时或者第三十个小时，且月球的赤纬的改变，使涨潮变为落潮。所有这些事情的一个例子由哈雷 给出，他依据水手们在东京 王国 （51） （Regnum Tunquini）的位于北纬20gr. .50′的巴特沙姆 港的观测。在这里当月球穿过赤道后的一天，海水平静；然后，当月球趋向北时，海水开始涨潮和落潮，不是如其他港口的每天两次，而是一次；又当月球下落时，涨潮开始，且当在它升起时，落潮最大。这个海潮与月球的赤纬一起增大，直到第七或者第八天；在接下来的七天它减小的程度与以前增加的程度相同；且当月球的赤纬改变时，涨潮停止并不久变成落潮。因为随后的落潮发生在月球下落时，且涨潮发生在它升起时，直到月球再次改变其赤纬。到这个港口和附近的海峡有两条不同的通道，一为经过大陆和吕宋 岛之间的中国 海，一为经过大陆和婆罗洲 岛之间的印度洋 。但是否来自印度洋 的海潮在十二小时的时间，且来自中国 海的海潮在六小时的时间通过这些海峡到来，并由此在第三个和第九个太阴小时发生此类的合成运动；以及那些大海是否有其他情况，我留待由对邻近海岸的观察确定。
至此我已给出了月球的和海洋的运动的原因。现在添加一些关于那些运动的量的内容是适宜的。
命题XXV 问题VI
求太阳对月球的运动摄动的力。
指定S为太阳，T为地球，P为月球，CADB为月球的轨道。
在SP上取SK等于ST；又设SL比SK按照SK比SP的二次比，且引LM平行于PT；又若地球向着太阳的加速重力由距离ST或者SK表示，则SL是月球向着太阳的加速重力。它由部分SM，LM合成，其中的LM和SM的部分TM摄动月球的运动，正如已在第一卷命题LXVI及其系理中所阐述的。既然地球和月球围绕它们的重力的公共的中心旋转，地球围绕那个中心的运动也被类似的力摄动；但是这可以把力的和及运动的和归之于月球，且力的和由与它们相似的直线TM和ML表示。力ML，按其平均的量，比一个向心力，由它月球能以距离PT在自己的轨道上围绕静止的地球运行，（由第一卷命题LXVI系理17）按照月球围绕地球的循环时间比地球围绕太阳的循环时间的二次比，这就是，按照27天7小时43分比365天6小时9分的二次比，亦即如同1000比 ，或者1比1782940。但我们在命题四发现，如果地球和月球围绕它们的重力的公共的中心运行，一个离开另一个的平均距离很接近 个地球的平均的半直径。且力，由它月球能以 个地球的半直径的一段距离PT围绕静止的地球在轨道上运行，比一个力，由它月球能在相同的时间以60个地球的半直径的一段距离运行，如同 比60；且这个力比在我们周围的重力很接近地如同1比60×60。且因此平均的力ML比在地球的表面的重力，如同1× 比60×60×60× ，或者1比638092.6。由此，并由直线TM，ML的比，力TM也被给定；且太阳的这些力，由于它们月球的运动被摄动。此即所求 。
命题XXVI 问题VII
求面积的小时增量，它由从月球向地球所引的半径在一圆形的轨道上画出。
我们曾说过，面积，它由向地球引半径的月球画出，与时间成比例，但月球的运动由于太阳的作用而受到的扰动除外。我们计划在这里研究［在扰动的情况下］瞬的不等性，或者小时增量。为了使计算更容易，我们想象月球的轨道是圆形的，且除了这里讨论的不等性之外，我们忽略其他一切不等性。由于太阳的巨大的距离，我们也假设直线SP，ST彼此平行。按这种方式，力LM总被化为其自身的平均量TP，且因此力TM将化为其自身的平均量3PK。这些力（由诸定律的系理II）合成力TL；且如果向半径TP落下一条垂线LE，这个力被分解为力TE，EL，其中的TE总沿半径TP作用，对由那个半径TP画出的面积TPC既不加速，也不迟滞；而EL，它沿半径的垂直方向作用，按照它对月球加速或者迟滞的大小，加速或者迟滞画出的面积。月球的那个加速度，在它自方照C到合A的路径中的每一个瞬间所成的，如同加速力EL自身，这就是，如同 。时间由月球的平均运动，或者（这几乎得出相同的结果）由角CTP，或者由弧CP表示。以直角在CT上竖立CG等于CT。且圆周的四分之一弧AC被分成无数相等的小部分Pp，等等，由它们相同数目的相等的时间小段能被表示，又引pk垂直于CT，连结TG交KP，kp的延长于F和f；则FK等于TK，且Kk比PK如同Pp比Tp，这就是，按照给定的比，且因此FK×Kk或者面积FKkf，如同 ，亦即，如同EL；且由复合，整个面积GCKF如同在整个时间施加于月球的力EL的总和，因此也如同由这个和生成的速度，亦即，如同画出面积CTP的加速度，或者瞬的增量。力，由它月球能在其27天7小时43分钟的循环时间CADB，以距离TP围绕静止的地球运行，它使一个物体在时间CT下落，画出 CT的一个长度，并获得一个速度，它等于月球在自己的轨道上运动的速度。这由第I卷命题IV系理9是显然的。但是，因为向TP垂直落下的Kd是EL的三分之一，它等于在八分点的TP的或者ML的一半，在八分点的力EL，在这里它最大，按照3比2之比超过力ML，且因此比那个力，由它月球能在自己的循环时间围绕静止的地球运行，如同100比 ×17872 或者11915，则在时间CT应生成一个速度，它是月球速度的 ，但在时间CPA按照CA比CT或者TP之比，生成较大的一个速度。设在八分点的最大的力EL用等于矩形 TP×Pp的面积FK×Kk表示。且速度，它能由最大的力在任意时间CP生成，比一个速度，它由较小的力EL在相同的时间生成，如同矩形 TP×CP比面积KCGF；但在整个时间CPA生成的速度彼此如同矩形 TP×CA和三角形TCG，或者如同四分之一圆的弧CA和半径TP。且因此（由《几何原本 》第V卷命题IX）后一速度，在整个时间所生成的，是月球的速度的 。对月球的这个速度，它与面积的平均的瞬相似，加上并减去另一个速度的一半；且如果平均的瞬用数11915表示，则和11915＋50或者11965表示在朔望A时面积的最大的瞬，且差11915－50或者11865表示在方照时同一面积的最小的瞬。所以，在相等的时间在朔望和在方照画出的面积，彼此如同11965比11865。最小的瞬11865加上一个瞬，它比瞬的差100如同四边形FKCG比三角形TCG（或者结果一样，如同正弦PK的平方比半径TP的平方，亦即，如同Pd比TP）；则和表示当月球在居间的任意位置P时面积的瞬。
所有这些事情如此，是来自一个假设：太阳和地球静止，且月球运行的会合周期为27天7小时43分钟。但由于月球真实的会合周期为29天12小时44分钟，瞬的增量应接时间之比增大，亦即，按照1080853比1000000的比。按这种方式，总的增量，它是平均的瞬的 ，现在成为平均的瞬的 。且因此在方照时面积的瞬比在朔望时面积的瞬，如同11023－50比11023＋50，或者10973比11073；且比面积的瞬，当月球在其他居间的任意位置P时，如同10973比10973＋Pd，TP取作等于100。
所以，面积，它由向地球引半径的月球在每一相等的时间小段画出，在一个半径为一的圆上，非常近似地如同数219.46 及二倍月球离最近的方照的距离的正矢之和。当变差在八分点是其平均的大小时，有以上这些情形。但如果在那里的变差较大或者较小，那个正矢应按相同的比增大或者减小。
命题XXVII 问题VIII
从月球的小时运动求它离地球的距离。
面积，它由向地球引半径的月球在时间的每一个瞬间画出，如同月球的小时运动和月球离地球的距离的平方的联合；且所以，月球离地球的距离按照来自面积的二分之一次正比和小时运动的二分之一次反比的复合比。此即所求 。
系理1 因此，月球的视直径被给定，因为它与月球离地球的距离成反比。让天文学家尝试这一规则与天象何等相符。
系理2 因此，从天象可以较以前更精确地确定月球的轨道。
命题XXVIII 问题IX
求轨道的直径，月球应在其上运动，它无偏心率。
由一个运动物体画出的轨道的曲率，如果它沿垂直于那个轨道的方向被牵引，与吸引成正比且与速度的平方成反比。我假定曲线的曲率彼此按照相对于相等的半径的切角的正切或者正弦的最终比，当那些半径减小以至无穷时。但在朔望向着地球的月球的吸引是其向着地球的重力对太阳的力2PK的超出（见527页上的图），由这个力［2PK］向着太阳的月球的加速重力超过向着太阳的地球的加速重力或者被后者超过。但在方照，那个吸引是向着地球的月球的重力和太阳的力KT的和，由它［KT］月球被向着地球牵引。且这些吸引，如果称 为N，很近似地如同 - 和 + ；或者如同178725N×CTq －2000ATq ×CT和178725N×ATq +1000CTq ×AT。因为如果向着地球的月球的加速重力用数178725表示，平均力ML，它在方照等于PT或者TK并向着地球牵引月球，为1000，则平均力TM在朔望为3000；如果从它减去平均力ML，被保留的力为2000，由它月球在朔望被拉离地球，且我在上面称它为2PK。但是在朔望A和B时月球的速度比它在方照C和D时的速度，如同CT比AT和在朔望时由向地球引半径的月球所画的面积的瞬比在方照时同样的面积的瞬的联合，亦即，如同11073CT比10973AT。取这个比的反比两次和前一个比的正比一次，则月球的轨道在朔望的曲率比在方照它的曲率成为120406729×178725ATq ×CTq ×N－120406729×2000ATqq ×CT比122611329×178725ATq ×CTq ×N+122611329×1000CTqq ×AT，亦即，如同2151969AT×CT×N－24081ATcub. 比2191371AT×CT×N+12261CTcub. 。
因为不知道月球的轨道的形状，假设我们代之以一个椭圆DBCA，地球被放置在它的中心，且其长轴DC位于方照之间，短轴AB位于朔望之间。但是，由于这个椭圆的平面以一个角运动围绕地球旋转，且轨道，我们正考虑其曲率，应在完全失去所有角运动的平面上被画出，我们必须考虑一个图形，它由月球在那个椭圆上运行时在这个平面上画出，这就是图形Cpa，它的每个点p这样被发现，在椭圆上取任意点P，它表示月球的位置，并引Tp等于TP，使得角PTp等于太阳自方照C后完成的视运动；或者（这几乎得出相同的结果）使得角CTp比角CTP如同月球的会合周期的时间比循环运行的时间，或者29d. .12h .44′ （52） 比27d. .7h .43′。所以按相同的比取角CTa比直角CTA，并使长度Ta等于TA，则a 为这个轨道Cpa的下拱点且C为上拱点。但是，通过计算，我发现轨道Cpa在顶点a的曲率，和以中心T间隔TA所画出的圆的曲率之间的差，比椭圆在顶点A的曲率和同一个圆的曲率的差，按照角CTP比CTp的二次比；且椭圆在A的曲率比那个圆的曲率，按照TA比TC的二次比；又那个圆的曲率比以中心T和间隔TC所画出的圆的曲率，如同TC比TA；但这个曲率比椭圆在C的曲率，按照TA比TC的二次比；则椭圆在顶点C的曲率和最后一个圆的曲率之间的差，比图形Tpa在顶点C的曲率和同一个圆的曲率之间的差，按照角CTp比角CTP的二次比。这些比容易从切角的和那些角的差的正弦推得。此外，通过相互比较这些比，得出图形Cpa在a的曲率比在C它的曲率，如同ATcub. + CTq ×AT比CTcub. + ATq ×CT。这里数 代表角CTP和CTp的平方的差除以较小的角CTP的平方，或者（这是一样的）时间27d. .7h .43′和29d. .12h .44′的平方的差除以时间27d .7h .43′的平方。
所以，由于指定a为月球的朔望，且C为它的方照，刚才发现的比例应与上面已发现的月球的轨道在朔望的曲率比在方照它的曲率是相同的。因此，为发现CT比AT的比例，我将外项和外项且内项和内项彼此相乘。把得到的项除以AT×CT，变成2062.79×CTqq －2151969N×CTcub. +368676N×AT×CTq +36342 ATq ×CTq －362047N×ATq ×CT+2191371N×ATcub. +4051.4ATqq =0。当我把项AT和CT的和之半N写成1，且它们的差之半设为x，则CT＝1＋x，且AT＝1－x；在方程中代入这些值并解所得的方程，得到x等于0.00719，且因此半直径CT为1.00719，半直径AT为0.99281，这些数彼此非常近似地如同 和 。所以，月球在朔望时离地球的距离比在方照时它离地球的距离（摈弃考虑偏心率）如同 比 ，或者取整数如同69比70。
命题XXIX 问题X
求二均差（variatio lunœ）。
这一不等性部分地起源于月球的轨道的椭圆形状，部分地来自面积的瞬的不等性，面积由向地球引半径的月球画出。如果月球P在椭圆DBCA上围绕在椭圆中心静止的地球运动，且向地球引的半径TP画出的面积CTP与时间成比例；又椭圆的最大半直径CT比最小的半直径TA如同70比69；角CTP的正切比从方照C算起的平均运动的角的正切，如同椭圆的半直径TA比它的半直径TC或者69比70。但当月球自方照向朔望前进时，面积CTP的画出应如此被加速，在月球的朔望它的瞬比在方照它的瞬如同11073比10973，且使在任意中间位置P时［面积的］瞬对在方照时［面积的］瞬的超出如同角CTP的正弦的平方。这会足够精确地发生，如果角CTP的正切按照数10973比数11073的二分之一次比减小，亦即，按照数68.6877比数69之比减小。由此，角CTP的正切现在比平均运动的正切如同68.6877比70，且在八分点，那里的平均运动为45gr. ，发现角CTP为44gr. .27′.28″，从平均运动的角45gr. 中减去它，剩下最大的变差为32′.32″。事情将会如此，如果月球自方照向朔望前进只画出九十度的角CTA。但是，因为地球的运动，由此运动太阳的视运动被前移，月球，当它赶上太阳时，画出的角CTa按照月球的会合周期的时间比它运行的循环时间，亦即，按照29d. .12h .44′比27d. .7h .43′的比大于直角。且按这种方式围绕中心的所有角接相同的比被扩大，而最大的变差不再是32′.32″，现在按相同的比增大为35′.10″。
这是在太阳离地球的平均距离上，忽略差异，它们可能起源于大轨道（orbis magnus）的曲率以及太阳对镰刀状的朔月的作用比对凸形的望月的作用大，得到的。在太阳离地球的其他距离上，最大的变差按照一个比，它由来自会合周期的时间（每年的时间被给定）的二次正比和太阳离地球的距离的三次反比复合而成。且因此，在太阳的远地点，最大的变差为33′.14″，且在它的近地点为37′.11″，只要太阳的偏心距 （53） 比大轨道的横截的半直径如同 比1000。
但目前为止，我们已研究了在无偏心率的一条轨道上的变差，在此轨道上，月球在它自己的八分点时总在它离地球的平均距离上。如果月球，由于其偏心率，它离地球的距离大于或者小于如果它在这个轨道上的距离，变差较按照这个规则的变差会略大，或者略小，但超出或者不足我留给天文学家们从天象上确定。
命题XXX 问题XI
在一个圆轨道上求月球的交点的小时运动。
指定S为太阳，T为地球，P为月球，NPn为月球的轨道，Npn为轨道在黄道的平面上的投影，N，n为交点，nTNm为无限延长的交点线；PI，PK为落到直线ST，Qq上的垂线，Pp为落到黄道的平面上的垂线；A，B为在黄道的平面上的月球的朔望；AZ为落到交点线Nn上的垂线；Q，q为月球在黄道的平面上的方照，且pK为落到方照之间的直线Qq上的垂线。摄动月球的运动（由命题XXV）的太阳之力是分成两部分的，其中一部分与这个命题的图形中的直线LM成比例，另一部分与直线MT成比例。且前一个力把月球拉向地球，后一个力沿从地球到太阳所引直线的平行线把它拉向太阳。前一个力LM沿月球的轨道的平面作用，且所以一点也不改变平面的位置。因此这个力被忽略了。后一个力MT对月球轨道的摄动与力3PK或者3IT是相同的。且这个力（由命题XXV）比一个力，由它月球能在围绕静止的地球的圆上以自己的循环时间均匀地运行，如同3IT比圆的半径乘以数178.725，或者如同IT比半径乘以数59.575。但在这个计算，以及以后的一切计算中，我考虑所有自月球到太阳所引的直线作为平行于自地球到太阳所引的直线；因为如此的倾斜在一些情形下对所有影响的减小几乎与它在另一些情况下对所有影响的增大一样；且我们探究交点的平均运动，忽略这样的枝节，它们会使计算受到过多的阻碍。
现在指定PM为一段弧，它由月球在给定的极短的时间画出，且ML为一条短线，在相同的时间月球在施加所说的力3IT的情况下能画出它的一半。连结PL，MP并延长它们至m和l，在那里它们与黄道的平面相截；又在Tm上落下垂线PH。又，因为直线ML平行于黄道的平面；且因此，由于直线ml位于那个平面上，它们不可能相交，然而这两条直线位于一个共同的平面LMPml上；这些直线平行，且由此三角形LMP，lmP相似。现在，由于MPm在轨道的平面上，在其上在位置P的月球在运动，Mpm交过那个轨道的交点N，n引的直线Nn于点m。又由于力，由它短线LM的一半被生成，如果整个力同时且一次施加于位置P，将生成那整条直线；并使月球沿其弦为LP的弧运动，因此月球从平面MPmT上被迁移到平面LPlT上；由那个力产生的交点的角运动等于角mTl。但是ml比mP如同ML比MP，且所以，由于MP因为时间的给定而被给定，ml如同矩形ML×mP，亦即，如同矩形IT×mP。又，角mTl，只要角Tml为直角，就如同（ml）/（Tm），且因此如同（IT×Pm）/（Tm），亦即（由于Tm和mP，TP和PH成比例）如同（IT×PH）/（TP），由于TP给定，因此如同ML×PH。但是，如果角Tml，或者角STN是倾斜的，角mTl按照角STN的正弦比半径，或者AZ比AT之比而更小。所以交点的速度如同IT×PH×AZ，或者如同三个角TPI，PTN和STN的正弦之下的容量。
如果那些角，当交点在方照和且月球在朔望时，为直角，短线ml远离以至无穷，且角mTl变得等于角mPl。但在这种情况下，角mPl比角PTM，它由月球在相同的时间由它的视运动围绕地球画出，如同1比59.575。因为角mPl等于角LPM，亦即，等于月球从一直线路径偏转的角，它能单独由所说过的太阳的力3IT在那段给定的时间生成，如果月球的重力消失；且角PTM等于月球从一直线路径偏转的角，它能由月球被保持在它自己的轨道上的那个力在相同的时间生成，如果太阳的力3IT消失。且这些力，按照我们上面所说，彼此之比如同1比59.575。所以，由于月球相对于恒星的小时平均运动为32′.56″.27. iv ，在这种情况下交点的小时运动为33″.10.33iv .12v 。但是在其他情形，交点的小时运动比33″.10.33iv .12v 如同三个角TPI，PTN，和STN的正弦（或者月球离方照的，月球离交点的和交点离太阳的距离）之下的容量比半径的立方。且每当任一个角的符号从正变负，且又从负变正时，退行运动应变为前行运动且前行运动变为退行运动。因此，当月球位于方照之一和离方照最近的交点之间时，交点前行。在其他情形，交点退行，且由于退行对前行的超出交点每月被携带着向后移动。
系理1 因此，如果从给定的极短的弧PM的端点P和M，向连结方照的直线Qq落下垂线PK，Mk，并延长这些垂线直到它们截交点线Nn于D和d；交点的小时运动如同面积MPDd和直线AZ的平方的联合。因为PK，PH和AZ为上述的三个正弦。即月球离方照的距离的正弦PK，月球离交点的距离的正弦PH，和交点离太阳的距离的正弦AZ：交点的速度如同容量PK×PH×AZ。但是，PT比PK如同PM比Kk，且因此，由于PT和PM给定，Kk和PK成比例。又，AT比PD如同AZ比PH，且所以PH与矩形PD×AZ成比例，再由比的联合，PK×PH如同容量Kk×PD×AZ，且PK×PH×AZ如同Kk×PD×AZqu. ，亦即，如同面积PDdM和AZqu. 的联合。此即所证 。
系理2 在交点的任何给定的位置，其小时平均运动是在月球的朔望时的小时运动的一半，且因此它比16″.35.16iv .36v 的比如同交点离朔望的距离的正弦的平方比半径的平方，或者如同AZqu. 比ATqu. 。因为如果月球以均匀的运动经过半圆QAq，在月球从Q前进到M期间，所有的面积PDdM的和是面积QMdE，它由圆的切线QE界定；且月球到达点n的时间，那个和是整个面积EQAn，它由直线PD画出，然后月球从n前进到q，直线PD落在圆的外面，并画出由圆的切线qe界定的面积nqe；它，因为交点在前面退行而现在前行，应从前者的面积中减去，且因为它等于面积QEN，剩下半圆NQAn。所以在月球画出半个圆的一段时间，所有面积PDdM的和是半圆的面积；且在月球画出一个圆的时间所有的面积的和是整个圆的面积。但是面积PDdM，当月球在朔望时，是弧PM和半径PT之下的矩形；且在月球画出一个圆的时间，等于这个面积的所有面积的和是整个圆周和圆的半径之下的矩形；且这个矩形，由于它等于两个圆，是前一个矩形的两倍。因此，如果交点以它们在月球的朔望所具有的速度均匀地持续，它们将画出二倍于它们实际画出的空间；且所以平均的运动，如果以它均匀地持续，能画出它们以不等的运动实际画出的空间，是它们在月球的朔望所具有的运动的一半。因此，由于最大的小时运动，如果交点在方照，是33″.10.33iv .12v ，在这一情形的小时平均运动是16″.35.16iv .36v 。且由于交点的小时运动总如同AZqu. 和面积PDdM的联合，且所以交点的小时运动在月球的朔望如同AZqu. 和面积PDdM的联合，亦即（由于画出的面积PDdM在朔望被给定）如同AZqu. ，平均运动也如同AZqu. ；且因此这个运动，当交点在方照之外，比16″.35.16iv .36v ，如同AZqu. 比ATqu. 。此即所证。
命题XXXI 问题XII
在一个椭圆轨道上求月球的交点的小时运动。
指定Qpmaq为以长轴Qq，短轴ab画出的一个椭圆，QAqB为一个外接圆；T为在两者公共的中心的地球，S为太阳，p为在椭圆上运动的月球，且pm为在给定的极短的时间段月球画出的弧，N和n为由直线Nn连结的交点，pK和mk为落在轴Qq上的垂线并向两边延长直到它们交圆于P和M，且与交点线交于D和d。再者，如果月球，由向地球引的一个半径，画出的面积与时间成比例，在椭圆上的交点的小时运动如同面积pDdm和AZq 的联合。
因为，如果PF切圆于P，且延长交TN于F，又pf切椭圆于p并延长交同一TN于f，这些切线在轴TQ上相遇于Y；且如果指定ML为一段空间，它能由在圆上运行的月球，在它画出弧PM期间，在以上说过的力3IT或者3PK的压迫和推动下以横向的运动画出；且指定ml为一段空间，它能由在椭圆上运行的月球在相同时间，也在力3IT或者3PK的推动下画出；再延长LP和lp直到它们交黄道的平面于G和g；又连结FG和fg，延长其中的FG分别截pf，pg和TQ于c，e和R，且延长fg截TQ于r。因为在圆上的力3IT或者3PK比在椭圆上的力3IT或者3pK，如同PK比pK，或者AT比aT；由前一个力生成的空间ML比后一个力生成的空间ml，如同PK比pK，亦即，由于图形PYKp和FYRc相似，如同FR比cR。但是ML比FG（由于三角形PLM，PGF相似）如同PL比PG，这就是（由于Lk，PK，GR平行）如同pl比pe，亦即（由于三角形plm，cpe相似）如同lm比ce；且与LM比lm成反比，或者如同FR比cR，于是如同FG比ce。所以，如果fg比ce如同fY比cY，亦即，如同fr比cR（这就是，如同fr比FR和FR比cR的联合，亦即，如同fT比FT和FG比ce的联合），因为两边除去FG比ce之比，剩下fg比FG之比和fT比FT之比，有fg比FG如同fT比FT；且因此FG和fg 对地球T所张的角彼此相等。但那些角（由我们在上一命题所陈述的）等于是交点的运动，在此期间月球在圆上跑过弧PM，在椭圆上跑过弧pm；且所以在圆上和在椭圆上交点的运动彼此相等。事情就是如此，只要fg比ce如同fY比cY，亦即，如果fg等于 。但是，由于三角形fgp，cep相似，fg比ce如同fp比cp；且因此fg等于 ；且所以角，它由fg实际张成，比前一个角，它由FG张成，这就是，在椭圆上交点的运动比在圆上交点的运动，如同这个fg或者 比前一个fg或者 ，亦即，如同fp×cY比fY×cp，或者fp比fY和cY比cp，这就是，如果与TN平行的ph交FP于h，如同Fh比FY和FY比FP；这就是，如同Fh比FP或者Dp比DP，且因此如同面积Dpmd比面积DPMd。且所以，因为（由命题XXX系理1）后一个面积和AZq 的联合与在圆上交点的小时运动成比例，则前一个面积和AZq 的联合与在椭圆上交点的小时运动成比例。此即所证。
系理 所以，由于在交点的任意给定的位置，在月球从方照前进到任意的位置m期间，所有面积pDdm的和，等于面积mpQEd，它由椭圆的切线QE界定；在一次完整的运行中，所有那些面积之和等于整个椭圆的面积：在椭圆上交点的平均运动比在圆上交点的平均运动，如同椭圆比圆；亦即，如同Ta比TA，或者69比70。且所以，因为（由命题XXX系理2）在圆上交点的平均小时运动比16″.35.16iv .36v 如同AZqu. 比ATqu. ，如果取角16″.21.3iv .30v 比角16″.35.16iv .36v 如同69比70，则在椭圆上交点的平均小时运动比16″.21.3iv .30v 如同AZqu. 比ATqu. ；这就是，如同交点离太阳的距离的正弦的平方比半径的平方。
但月球，由向地球引的一条半径，画出的面积在方照比在朔望迅速，且因此在朔望的时间被缩短，在方照被延长；又交点的运动随着时间被增大或者减小。但在月球的方照面积的瞬比在朔望它的瞬如同10973比11073，且所以在八分点时平均的瞬比在朔望时的超出，以及在方照时的缺失，如同那些数的和之半11023比它们的差之半50。因此，由于月球在其轨道的每一个相等的小部分的时间与它的速度成反比，在八分点时的平均的时间比在方照时时间的超出，以及在朔望时的缺失，由于这个原因，很接近地如同11023比50。但对从方照到朔望，我发现在任一个位置的面积的瞬对在方照的最小的瞬的超出，很近似地如同月球离方照的距离的正弦的平方；且所以在任意位置的瞬和在八分点的平均的瞬的差如同月球离方照的距离的正弦的平方与45度的正弦的平方，或者半径的平方的一半的差；且在八分点和方照之间任一位置的时间的增量，以及在八分点和朔望之间其减量，按照相同的比。但交点的运动，在此期间月球跑过任一相等的一小段轨道，按照时间的二次比被加速或者迟滞。因为那个运动，当月球跑过PM（其他情况相同）期间，如同ML，又ML按照时间的二次比。所以，交点在朔望的运动，在月球跑过其轨道的给定的小部分的时间所完成的，按照数11073比数11023的二次比减小；且减量比剩余的运动如同100比10973，比总的运动很近似地如同100比11073。但在八分点和朔望之间的位置上的减量和在八分点和方照之间的位置上的增量，比这个减量，很近似地如同在那些位置的整个运动比在朔望的整个运动，和月球离方照的距离的正弦的平方与半径的平方的一半之间的差比半径的平方的一半的联合。因此如果交点在方照，并取离八分点等距离的两个位置，一个在一侧，一个在另一侧，且离朔望和离方照以同样的距离取另两个位置，又若从在朔望和八分点之间的两个位置的运动的减量减去在其余两个位置的运动的增量，这两个位置在八分点和方照之间；剩下的减量等于在朔望的减量，进行计算容易得出。且所以，平均的减量，应从交点的平均运动减去的，是在朔望的减量的四分之一。在朔望交点的整个小时运动，在月球向地球所引半径画出的面积被假定为与时间成比例时，为32″.42.7iv 。且交点的运动的减量，在现在月球更迅速地画出相同的空间的时间里，按我们刚才所说，比这个运动，如同100比11073；且因此那个减量为17.43iv .11v ，它的四分之一为4.25iv .48v ，从上面发现的平均小时运动16″.21.3iv .30v 减去它，剩下正确的平均小时运动16″.16.37iv .42v 。
如果交点在方照之外，且针对离朔望距离相等的两个位置，一个在一侧，一个在另一侧；当月球在这些位置时，交点的运动的和，比当月球在同样的位置且交点在方照时运动的和，如同AZqu. 比ATqu. 。且运动的减量，它起源于刚才阐述的原因，相互之比如同运动自身，所以剩下的运动相互之比如同AZqu. 比ATqu. ，且平均运动如同剩下的运动。于是正确的平均小时运动，在交点任意给定的位置，比16″.16.37iv .42v ，如同AZqu. 比ATqu.；亦即，如同交点离朔望的距离的正弦的平方比半径的平方。
命题XXXII 问题XIII
求月球的交点的平均运动。
平均年运动是在一年中的所有平均小时运动的和。设想交点在N，且由于每一小时的运动已完成，它被拉回到原来的位置，使得尽管有它自身的正常运动，相对于恒星它总被保持在某一给定的位置。在此期间太阳S，由于地球的运动，太阳从交点前进且以均匀的运动完成其视年路径。此外，设Aa为给定的极短的弧，总向太阳引直线TS，它与圆NAn的相交部分在给定的极短的时间画出弧Aa：则平均小时运动（由已显示的）如同AZq，亦即（由于AZ，ZY成比例）如同AZ和ZY之下的矩形，这就是，如同面积AZYa。从开始所有平均小时运动的和，如同所有面积aYZA的和，亦即，如同面积NAZ。但是最大的［面积］AZYa等于弧Aa和圆的半径之下的矩形；且所以在整个圆中所有矩形的和比同样数目的最大的矩形的和，如同整个圆的面积比整个圆的圆周和半径之下的矩形，亦即，如同1比2。此外，最大的矩形对应的小时运动，是16″.16.37iv .42v 。且这个运动，在一个整恒星年的365天6小时9分钟中累计为39gr. .38′.7″.50。且因此，它的一半19gr. .49′.3″.55，是对应于整个圆的交点的平均运动。且交点的运动，在太阳自N前进到A的时间，比19gr. .49′.3″.55，如同面积NAZ比整个圆。
这些论断如此来自假设，交点每小时被拉回到它原来的位置，这样使得太阳在一整年过完时返回到相同的交点，它曾经从这里开始离开。但是由于交点的运动使得太阳更迅速地转回到交点，且现在必须计算时间的缩短。由于太阳在一整年完成360度，且在相同的时间交点以其最大的运动完成39gr. .38′.3″.50，或者39.6355度；又在任意位置N时交点的平均运动比在方照时它的平均运动，如同AZq 比ATq ：太阳的运动比在N时交点的运动，如同360ATq 比39.6355AZq ；亦即，如同9.0827646ATq 比AZq 。因此，如果整个圆的圆周NAn被分为相等的小部分Aa，时间，在此期间太阳跑过小部分Aa，如果圆静止，比一段时间，在此期间它跑过相同的小部分，如果圆与交点一起围绕中心T旋转，与9.0827646ATq 比9.0827646ATq +AZq 成反比。由于时间与跑过小部分的速度成反比，且这个速度是太阳的和交点的速度之和。所以时间，如果在此期间交点没有运动，太阳跑过弧NA，由扇形NTA表示，且时间的小部分，在此期间它跑过极短的弧Aa，由扇形的小部分ATa表示；又（在Nn上落下垂线aY）如果在AZ上取dZ，其长度使得dZ和ZY构成的矩形比扇形的小部分ATa如同AZq 比9.0827646ATq +AZq ，亦即，使得dZ比 AZ如同AZq 比9.0827646ATq +AZq ，dZ和ZY构成的矩形表示在弧Aa被跑过的整个时间中起源于交点运动的时间的减量。且如果点d 占据曲线NdGn，曲线的面积NdZ是整个减量，在此期间整个弧NA被跑过；所以扇形NAT对面积NdZ的超出是那整个时间。又因为交点的运动在较短时间按时间的比较小，面积AaYZ应按相同的比减小。这将会发生，如果在AZ上取一段长度eZ，它比长度AZ如同AZq 比9.0827646ATq +AZq 。因为这样eZ和ZY构成的矩形比面积AZYa如同时间的减量，在此期间弧Aa被跑过，比整个时间，在此期间弧［Aa］被跑过，如果交点静止：所以那个矩形对应于交点的运动的减量。又，如果点e点据曲线NeFn，整个面积NeZ，它是所有减量的和，在弧AN被跑过的时间，对应于整个减量；且剩余的面积对应于剩余的运动，在整个弧NA被太阳的和交点的联合的运动跑过的时间，它是交点的真运动。现在，由无穷级数法找到半圆的面积比图形NeFn的面积，很接近地如同793比60。但是运动，它对应于整个圆，是19gr. .49′.3″.55，且所以运动，它对应于二倍的图形NeFn，是1gr. .29′.58″.2。从前一个运动中减去它，剩下18gr. .19′.5″.53，是交点相对于恒星在它两次与太阳会合期间的整个运动；且从太阳的年运动360度中减去这个运动，剩下的341gr. .40′.54″.7是太阳在相同的会合期间的运动。但由于这个运动比年运动360gr. ，如同刚发现的交点的运动18gr. .19′.5″.53比它自己的年运动，所以它为19gr. .18′.1″.23。这是在一个恒星年中交点的平均运动。由天文表这个值是19gr. .21′.21″.50。差小于整个运动的三百分之一，且似乎起源于月球的轨道的偏心率和对于黄道的平面的倾角。由于轨道的偏心，交点的运动被过度加速，另一方面，由于其倾角，交点的运动有些被迟滞，并导致其恰当的速度。
命题XXXIII 问题XIV
求月球的交点的真实运动。
在时间，它如同面积NTA－NdZ（在上图中），运动如同面积NAe，且因此被给定。但是由于计算过于困难，应用问题的下述作法更好。以中心C，任意间隔CD画圆BEFD。延长DC至A，使得AB比AC如同当交点在方照时的平均运动比一半的真实的平均运动，亦即，如同19gr. .18′.1″.23比19gr. .49′.3″.55，且因此BC比AC如同运动的差0gr. .31′.2″.32，比后一个运动19gr. .49′.3″.55，这就是，如同1比 ；然后过D引无限的直线Gg，它切圆于D；如果又取角BCE或者BCF等于二倍的太阳离交点的位置的距离，作为通过平均运动发现的；再作AE或者AF截垂线DG于G；并取一个角，它比在其朔望之间交点的整个运动（亦即，比9gr. .11′.3″）如同切线DG比圆BED的整个圆周；并加上这个角（对此可用角DAG）到交点的平均运动中，当交点越过方照向朔望时；并从相同的平均运动中被减去，当交点越过朔望向方照时；得到它们的真实运动。因为如此发现的真实运动与时间由面积NTA－NdZ且交点的运动由面积NAe表示得到的真实运动非常接近；对任何斟酌此事并进行计算的人，是显然的。这是交点运动的半年差（aequatio semestris）。也存在月差（aequatio menstrua），但对求月球的纬度绝不需要。因为由于月球对于黄道的平面的倾角的变化附属于两个均差，一为半年的，一为一月的；这个变差的月均差（menstrua inaequalitas）和交点的月差，彼此相互节制和修正，使得两者在确定月球的纬度中能被忽略。
系理 从本命题和前面的一个命题，显然，交点在它们的朔望是静止的，但在方照，它们以16″.19.26iv 的小时运动退行。且在八分点，交点的运动的变差为1gr. .30′。所有这些与天象适相吻合。
解释
求交点的运动的其他方法已由格雷欣［学院］的天文学教授约翰·梅钦 和医学博士亨利·彭伯顿 分别发现。这个方法在别处曾被提到。两人的论文，就我所见，包含两个命题，且两者彼此一致。梅钦先生的论文，由于先到我手中，附于此。
论月球的交点的运动
命题 I
离开交点的太阳的平均运动，由太阳的平均运动和那个平均运动之间的几何比例中项确定，太阳由那个平均运动最迅速地退离在方照的交点。
设T为地球所在的位置，Nn为在任意给定的时刻月球的交点线，引一直线KTM与这条直线成直角，直线TA围绕中心以太阳和交点相互退离的角速度转动，如此使得静止的直线Nn和旋转的TA之间的角总等于太阳的和交点的位置之间的距离。现在如果任意的直线TK被分成部分TS和SK，使得它们如同太阳的平均小时运动比在方照时交点的平均小时运动，且设直线TH是部分TS和整体TK之间的比例中项，其中的这条直线［TH］与太阳离开交点的平均运动成比例。
由于以中心T和半径TK画圆NKnM，又以相同的中心和半轴TH和TN画椭圆NHnL，且时间，在此期间太阳经弧Na退离交点，如果引直线Tba，扇形NTa的面积表示在相同的时间交点的和太阳的运动的和。所以，设aA是极短的弧，它由直线Tba按照前面所说的定律转动并在给定的一小段时间均匀地画出，且极小的扇形TAa如同速度的和，太阳和交点在那时以它们分别被移动。但是太阳的速度几乎是均匀的，因为它的小的不等性难以在交点的运动中引入变化。这个和的另一部分，即交点按自身平均量的速度，由《原理 》第III卷命题XXXI的系理，在退离朔望时按它离太阳的距离的正弦的二次比被增大；且它的［速度］相对于K处的太阳位于方照时最大，这个速度比太阳的速度与SK比TS有相同的比，这即是如同（TK和TH的平方的差或者）矩形KHM比正方形TH。但椭圆NBH将这个表示两个速度之和的扇形ATa分为两部分ABba和BTb，它们与速度成比例。因为，延长BT至圆上的β，并从点B向长轴落下垂线BG，它向两个方向延长交圆于点F和f，又因为空间ABba比扇形TBb如同矩形ABβ比正方形BT（因那个矩形等于来自TA和TB的正方形的差，由于Aβ在T被平分且在B不被平分）。所以这个比，当空间ABba在K最大时，与矩形KHM比正方形HT的比相同；但交点的最大的平均速度比太阳的速度按照这个比。所以在方照扇形ATa被分成与速度成比例的部分。又因为矩形KHM比正方形HT如同［矩形］FBf比正方形BG，且矩形ABβ等于矩形FBf。所以一小块面积ABba当它最大时比余下的扇形TBb，如同矩形ABβ比正方形BG。但这些小面积的比总如同矩形ABβ比正方形BT；且所以在位置A时的小面积ABba按照BG比BT的二次比，就是按照太阳离交点的距离的正弦的二次比，小于在方照时的类似的小面积。又由于所有小面积ABba的和，即空间ABN如同交点在一段时间的运动，在此期间太阳通过弧NA远离交点。且剩下的空间，即椭圆扇形NTB如同太阳在相同时间的平均运动。所以，因为交点的平均年运动是它在一段时间发生的运动，在此期间太阳完成了自己的循环，交点离开太阳的平均运动比太阳自身的平均运动，如同圆的面积比椭圆的面积，这就是，如同直线TK比直线TH，即TK和TS之间的比例中项；或者得到同样的结果，如同比例中项 TH比直线TS。
命 题 II
给定月球的交点的平均运动求真实运动。
设角A为太阳离交点的平均位置的距离，或者太阳离开交点的平均运动。如果又取角B，它的正切比角A的正切如同TH比TK，这就是，按照太阳的平均小时运动比当交点位于方照时太阳离开交点的平均小时运动的二分之一次比；同一个角B是太阳离开交点的真实位置的距离。因为连结FT，且从上一命题的证明中，角FTN是太阳离交点的平均位置的距离，而角ATN为太阳离交点的真实位置的距离，且这些角的正切彼此如同TK比TH。
系理 因此，角FTA为月球交点的均差，且当这个角的正弦最大时是在八分点，它比半径如同KH比TK＋TH。但在其他任意位置A这个均差的正弦比最大的正弦，如同角的和FTN＋ATN的正弦比半径：这几乎如同二倍的太阳离交点的平均位置的距离（即2FTN）的正弦比半径。
解释
如果交点的平均小时运动在方照为16″.16.37iv .42v ，这就是在整个恒星年中为39°.38′.7″.50，TH比TK按照数9.0827646比数10.0827646的二分之一次比，这就是，如同18.6524761比19.6524761。且所以TH比HK如同18.6524761比1，这就是如同太阳在一个恒星年中的运动比交点的平均运动19°.18′.1″. 。
但是，如果月球的交点的平均运动在20儒略年 （54） 的386°.50′.15″，作为在观测中得到的并用于月球的理论：则交点的平均运动在一恒星年为19°.20′.31″.58，且TH比HK如同360gr. 比19°.20′.31″.58′″，这就是，如同18.61214比1，因此交点在方照的平均小时运动成为16″.18.48iv 。且交点在八分点的最大均差为1°.29′.57″。
命题XXXIV 问题XV
求月球的轨道对于黄道的平面的倾角的小时变差。
指定A和a为朔望；Q和q为方照；N和n为交点；P为月球在它自己轨道上的位置，p为那个位置在黄道的平面上的射影，且为mTl为交点的运动的瞬如上。且如果向直线Tm落下垂线PG，连结pG，并延长它直至交Tl于g，再者也连结Pg；角PGp为当月球在P时月球的轨道对黄道的平面的倾角；且角Pgp为相同的轨道在时间的瞬完成之后的倾角，且因此角GPg为倾角的瞬时变化。但这个角GPg比角GTg如同TG比PG和Pp比PG的联合。且所以，如果以一小时代替时间的瞬；由于角GTg（由命题XXX）比角33″.10.33iv 如同IT×PG×AZ比ATcub. ，则角GPg（或者倾角的小时变差）比33″.10.33iv ，如同IT×AZ×TG×[（Pp）/（PG）]比ATcub. ，此即所求 。
如果假设月球在一条圆轨道上均匀地旋转，这些结果就是如此。但是，如果那个轨道是椭圆，交点的平均运动按照短轴比长轴之比减小，正如上面所阐述的。且倾角的变差也按照相同的比减小。
系理1 如果在Nn上竖立垂线TF，且设pM为月球在黄道的平面内的小时运动，并在QT上落下垂线pK和Mk，延长两者交TF与H和h：则IT比AT如同Kk比Mp，TG比Hp如同TZ比AT，且所以IT×TG等于（Kk×Hp×TZ）/（Mp），这就是，等于面积HpMh乘以比（TZ）/（Mp）；所以倾角的小时变差比33″.10.33iv 如同HpMh乘以AZ×[（TZ）/（Mp）]×[（Pp）/（PG）]比ATcub. 。
系理2 且因此，如果每个小时完成时，地球和交点从它们的新位置被拉回，并总是迅速地返回到它们原来的位置，使得经过一个整周期月它们给定的位置被保持，那个月的时间产生的倾角的整个变差比33″.10.33iv 如同点p在一次绕行期间生成的所有面积HpMh的累积，并由适当的符号“+”和“－”连接起来，再乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比Mp×ATcub. 。亦即，如同整个圆QAqa乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比Mp×ATcub. ，也就是，如同QAqa的周长乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比2Mp×ATq 。
系理3 所以，在交点的一个给定的位置，平均小时变差，它从该处均匀地持续一个月能产生那个月变差，比33″.10.33iv ，如同AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比2ATq ，或者如同Pp× 比PG×4AT，亦即（因Pp比PG如同上面所说的倾角的正弦比半径，且 比4AT如同二倍的角ATn的正弦比四倍的半径）如同同一个倾角的正弦乘以二倍的交点离太阳的距离的正弦比四倍的半径的平方。
系理4 因为，当交点在方照时，倾角的小时变差（由本命题）比角33″.10.33iv 如同IT×AZ×TG×[（Pp）/（PG）]比ATcub. ，亦即，如同 ×[（Pp）/（PG）]比2AT；这就是，如同月球离方照的距离的二倍的正弦乘以[（Pp）/（PG）]比二倍的半径；在交点的这一位置月球从方照移动到朔望期间（亦即，在17716小时的时间）的所有小时变差的和比同样数目的角33″.10.33iv 之和，或者5878″，如同所有月球离方照的距离的二倍的正弦的和乘以[（Pp）/（PG）]比同样数目的直径的和；这就是，如同直径乘以（Pp）/（PG）比圆周；亦即，若倾角为5gr. .1′，如同7× 比22，或者278比10000。且因此，总的变差，它由所述期间所有小时变差的和凑成，为163″，或者2′.43″。
命题XXXV 问题XVI
给定时间，求月球的轨道对于黄道的平面的倾角。
设AD为最大的倾角的正弦，且AB为最小的倾角的正弦。BD在C被平分，且以C为中心，BC为间隔画一个圆BGD。在AC上按照CE比EB之比与EB比2BA所具有的比相同，取CE；且对给定的时间，角AEG设为等于二倍的交点离方照的距离，并向AD落下垂线GH：则AH为寻求的倾角的正弦。
因为GEq 等于GEq +HEq =BHD+HEq =HBD+HEq －BHq =HBD+BEq －2BH×BE=BEq +2EC×BH=2EC×AB+2EC×BH=2EC×AH。且因此，由于2EC被给定，GEq 如同AH。现在指定AEg为某个给定的时间的瞬完成之后，交点离方照的距离的二倍，则弧Gg 由于角Geg被给定，如同距离GE。但是Hh比Gg 如同GH比GC，于是Hh如同容量GH×Gg，或者GH×GE；亦即，如同[（GH）/（GE）]×GEq 或者[（GH）/（GE）]×AH，亦即，如同AH和角AEG的正弦的联合。所以，如果AH在任意一种情形是倾角的正弦，由上一命题的系理3，它将以相同的增量与倾角的正弦一起增大，且所以总与那个正弦保持相等。但AH，当点G无论落在点B或者点D时，等于这个正弦，且所以总保持与它相等。此即所证 。
在这一证明中我曾假设角BEG，它是二倍的交点离方照的距离，均匀地增大。因为没有时间考虑均差的所有细节，现在设想角BEG为一直角，且在此情形Gg为二倍的交点和太阳彼此离开的距离的小时增加；且在同一情形倾角的小时变差（由上一命题的系理3）比33″.10.33iv 如同倾角的正弦AH和直角BEG的正弦之下的容量，比四倍的半径的平方，BEG是二倍的交点离太阳的距离；亦即，如同平均倾角的正弦AH比四倍的半径；这就是（由于那个平均倾角约为5gr. . ′）如同其正弦896比四倍的半径40000，或者如同224比10000。且总的变差，与正弦的差BD对应，比那个小时变差，如同直径BD比弧Gg；亦即，如同直径BD比半圆周BGD和时间 小时，在此期间交点自方照前进到朔望，比一小时的联合；这就是，如同7比22和 比1的联合。所以，如果所有的比联合起来，总的变差BD比33″.10.33iv 如同224×7× 比110000，亦即，如同29645比1000，且因此得出那个变差BD为16′. ″。
这是不考虑月球在它自己的轨道上的位置时倾角的最大变差。因为倾角，如果交点在朔望，一点也不会由于月球的位置的不同而变化。但如果交点在方照，月球在朔望时的倾角小于月球在方照时的倾角，超出为2′.43″；正如我们在上一命题的系理四所指明的。且月球在方照，总的平均变差BD，减少这个超出的一半1′. ″，变为15′.12″，但在朔望增大相同的量，变为17′.45″。所以，如果月球出现在朔望，总的变差在交点在从方照到朔望的路径上为17′.45″；且因此，如果倾角，当交点在朔望时，为5gr. .17′.20″；则当交点在方照且月球在朔望时，为4gr. .59′.35″。且这些结果已被观测证实。
如果现在需求当月球在朔望而交点在任意位置时轨道的倾角；设AB比AD如同4gr. .59′.35″的正弦比5gr. .17′.20″的正弦，并取角AEG等于二倍的交点离方照的距离：则AH是所寻求的倾角的正弦。当月球离交点90gr. 远时，轨道的倾角等于这个倾角。在月球的其他位置，月均差，它从属于倾角的变化，在计算月球的纬度时以消除的方式为交点运动的月均差所平衡（如我们在以上所说），且因此在纬度的计算中可以被忽视。
解释
我期望由月球运动的这些计算证明，月球的运动能由重力的理论从它们的原因算出。由同一理论我更发现月球的平均运动的周年差（æquatio annua），按照第一卷命题LXVI系理6，起源于月球的轨道的倾角由于太阳的力发生的变化。当太阳在近地点，这个力较大，且扩大月球的轨道；在远地点它较小，且允许那个轨道收缩。在被扩大的轨道上月球运行得较缓慢，在被收缩的轨道上月球运行得较迅速；且周年差，由它这一不等性被补偿，在太阳的远地点和近地点消失，在太阳离地球的平均距离上大约升高到11′.50″，在其他位置与太阳的中心差成比例；且当地球自它的远日点向近日点前进中，它被加到月球的平均运动上，又在轨道的对面部分，它被从月球的平均运动中减去。假定地球的大轨道的半径为1000，且地球的偏心距为 ，这个差，当它最大时，由重力理论得出为11′.49″。但地球的偏心率似乎略大；且如果偏心率增大这个差应按相同的比被增大。设偏心距为 ，则最大的差为11′.51&P... -->>
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规则 I
对自然事物的原因的承认，不应比那些真实并足以解释它们的现象的为多。
哲学家如是说：自然绝不为无用之事，且在较少即成时，多则无用。因为自然是简单（simplex）的且不沉迷于过多的原因。
规则 II
且因此，对同类的自然效果，应尽可能归之于相同的原因。
例如对人和动物的呼吸；石头在欧洲和在美洲的下落；灶火的光和太阳的光；光在地球上和在行星上的反射。
规则 III
物体的性质，它们既不能被增强又不能被减弱，并且属于所能做的实验中所有物体的，应被认为是物体的普遍性质。
因为物体的性质不能被知道，除非通过实验，且因此普遍的性质是任何与实验普遍地符合的性质；且它们不能被减小亦不能被除去。无疑我们不应轻率地产生反对实验证据的臆想，亦不应该离开自然的相似性，由于她习惯于单纯且其自身总是和谐的。我们不能知道物体的广延，除非通过我们的感觉，并非所有的广延都能被感觉到，但由于广延在所有能感觉到的物体中被发现，它被普遍地归之于所有的物体。由经验，许多物体是坚硬的。又由于整个物体的坚硬来源于其部分的坚硬，我们合理地断言不仅被我们感觉到的物体，而且所有其他物体的不可分的小部分的坚硬性。我们不是由理性而是由感觉推断出所有物体是不可入的。那些我们触到的物体被发现是不可入的。且由此我们得出不可入性是所有物体的一个普遍性质。所有物体是可运动的，且物体在运动或者静止是被某种力（我们称它为惰性力）保持，这从我们看到的物体所发现的性质推断出来。整个物体的广延性、坚硬性、不可入性，可运动性和惰性力起源于部分的广泛性，坚硬性、不可入性、可运动性和惰性力；且由此我们得出结论：所有物体的每一最小的部分是广延的、坚硬的、不可入的，可运动的且具有惰性力。且这是整个哲学的基础。此外，从现象我们得知，物体已被分割但邻接在一起的部分能彼此分开，且由数学，未被分割的部分一定能由理性区分为更小的部分。但是，那些被区分而未被分割的部分能否由自然界的力分割并彼此分开，未可预定。但是如果单独一个实验能确定在粉碎一个坚硬和结实的物体时，任意未被分割的小部分能被分割，由这条规则的力量，我们推断出不仅被分割的部分是可分离的，而且未被分割的部分能被分割，以至无穷。
最后，如果由实验和天文观测普遍地确立，地球附近所有的物体有向着地球的重力，且它与每个物体的物质的量成正比，又月球向着地球有与其自身的物质的量成比例的重力；另一方面，我们的海洋亦有向着月球的重力，再者所有的行星彼此有重力，此外彗星有向着太阳的类似的重力：由这个规则必须承认所有物体普遍有朝着彼此的重力。的确，来自现象的证据对于普遍的重力比对物体的不可入性更为有力；对于它［不可入性］，在天体的情形，我们既没有实验，也全然没有观测。然而，我绝不断言重力对物体是本质的（essentialis）。通过固有的力我仅指惰性力。这是不变的。当物体退离地球时，重力被减小。
规则 IV
在实验哲学中，由现象通过归纳推得的命题，在其他现象使这些命题更为精确或者出现例外之前，不管相反的假设，应被认为是完全真实的，或者是非常接近于真实的。
应遵从这条规则，使得归纳论证不被假设消除。
天象
天象 I
诸环木行星 （43） （Planetas circumjoviales），向木星的中心引半径，画出的面积与时间成比例，且它们的循环时间，恒星静止不动，按照它们离同一个中心的距离的二分之三次比。
这由天文观测确立，这些行星的轨道与木星的同心圆之差感觉不到，且发现在这些圆上它们的运动是均匀的。天文学家一致承认它们的循环时间按照它们的轨道的半直径的二分之三次比；且由下表这是显然的。
木星的卫星的循环时间
1d .18h .27′.34″
3d .13h .13′.42″
7d .3h .42′.36″
16d .16h .32′.9″
利用最好的测微仪，庞德 先生以如下方式确定木星的卫星的角距和木星的直径。第四颗卫星离木星的中心的最大的日心角距，用带测微仪的15呎长的一架望远镜，且在木星离地球的平均距离上得出约为8′.16″。第三颗卫星的最大的角距，用带测微仪的123呎长的一架望远镜，且在木星离地球的相同的距离上得出为4′.42″。其余卫星的最大的角距，在木星离地球的相同的距离上，从循环时间得出为2′.56″.47和1′.51″.6。
用带测微仪的123呎长的一架望远镜测量木星的直径多次，且约化为木星离太阳或者地球的平均距离时，得到的总小于40″，但从不小于38″，大多为39″。在较短的望远镜中，这个直径为40″或者41″。因木星的光由于其不等的折射性而略有扩张，且这一扩张比木星的直径所具有的比，在长而完善的望远镜中小于在短而较不完善的望远镜中的比。木星的第一和第三两颗卫星穿过木星的本体 （44） ，从它们开始进入到它们开始离开的时间，以及从完全进入到完全离开的时间，借助同样长的望远镜被观测到。且木星的直径，在它离地球的平均距离上，由第一颗卫星的穿过得到为 ″，又由第三颗卫星的穿过得到为 ″。木星的第一颗卫星的阴影穿过木星的本体的时间，亦被观测到了，且由此得出木星的直径在它离地球的平均距离上约为37″。我们假设它的直径很接近 ″；则第一、第二、第三和第四颗卫星的最大的角距分别等于5.965、9.494、15.141和26.63个木星的半直径。
天象 II
诸环土行星 （45） （Planetas circumsaturnios），向土星的中心引半径，画出的面积与时间成比例，且他们的循环时间，恒星静止不动，按照它们离同一个中心的距离的二分之三次比。
的确，卡西尼 从他自己的观测如此确定它们离土星中心的距离以及循环时间。
土星的卫星的循环时间
1d .21h .18′.27″2d .17h .41′.22″4d .12h .25′.12″15d .22h .41′.14″79d .7h .48′.00″
按照[土星]环的半直径，卫星离土星中心的距离
由观测推得第四颗卫星离土星的中心的最大的角距常常很接近八个［土星环的］半直径。但这颗卫星离土星中心的最大的角距，由惠更斯 的123呎长的望远镜确定，它带有极好的测微仪，得到八又十分之七个［土星环的］半直径。且由这个观测和循环时间，卫星离土星的中心的距离按照环的半直径为2.1、2.69、3.75、8.7 和25.35。在同一望远镜中，土星的直径比环的直径如同3比7，又在1719年5月28日和29日得到环的直径为43″。且由此环的直径在土星离地球的平均距离上为42″，土星的直径为18″。在最长和最好的望远镜中，这些结果就是如此，因为在较长的望远镜中看到的天体的视大小与在那些物体边缘光的扩张的比大于在较短的望远镜中看到的。如果舍弃所有散乱的光，被保留的土星的直径不大于16″。
天象 III
五个一等行星：水星、金星、火星、木星和土星以自己的轨道围绕太阳。
水星和金星围绕太阳运行，由它们有与月球类似的相而被证明。当这些行星浑圆闪烁时，它们位于太阳以外；当半圆时，位于太阳的一侧；月牙状时，位于太阳这边，有时它们像斑点一样穿过太阳的圆盘。从火星接近与太阳合时的浑圆，以及在与太阳成九十度时的凸圆形状，无疑它环绕太阳。木星和土星总是浑圆的相，对他们同样的事情被证明；从它们的卫星投射在它们上面的阴影，它们以借自太阳的光闪烁是显然的。
天象 IV
五个一等行星，以及或者太阳环绕地球或者地球环绕太阳的循环时间，恒星静止不动，按照它们离太阳的平均距离的二分之三次比。
这个由开普勒 发现的比已被所有的人接受。事实上，无论太阳环绕地球，还是地球环绕太阳，循环时间是相同的，轨道的尺寸也是相同的。关于循环时间的测量在天文学家中间是普遍同意的。但是在所有天文学家中，开普勒 和布利奥 是从观测确定轨道大小的最勤奋者，且平均距离，它们与循环时间对应，与这两个人发现的距离相差不明显，且大多位于它们之间，如从下表可以看出 （46） 。
关于水星和金星离太阳的距离，由于这些距离是通过它们离太阳的距角确定的，现在已无争议之处。关于更靠上的行星离太阳的距离的争议，已被利用木星的卫星的食所消除。因为由那些食，木星投射的阴影的位置被确定，且这给出木星的日心经度。再由日心经度和地心经度的相互比较，木星的距离被确定。
天象 V
诸一等行星，向地球引半径，画出的面积绝不与时间成比例；但向太阳引半径，画出的面积与经过的时间成比例。
因为相对于地球，它们有时顺行，有时停留，有时甚至逆行；但相对于太阳它们总是顺行，且以几乎是均匀的运动，但在近日点稍微迅速，在远日点稍微迟缓，且如此画出的面积是相等的。这是天文学家最为熟悉的一个命题，且尤其是对木星由卫星的食而作出的证明，我们说过，通过这些食这颗行星的日心经度和它离太阳的距离被确定。
天象 VI
月球，向地球的中心引半径，画出的面积与时间成比例。
从月球的视运动与它的视直径的比较这是显然的。事实上，月球的运动受到太阳的力的些微摄动，但感觉不到丝毫的误差，在述说这一天象时，我略而不论。
命题
命题I 定理I
力，由它们诸环木行星不断地被拉离直线运动并被保持在自己的轨道上，向着木星的中心，且与它们的位置离同一中心的距离的平方成反比。
这个命题的前一部分由天象一以及第一卷中的命题二或者命题三是显然的；且后一部分由天象一以及同一卷中的命题四系理六是显然的。
对于行星，它们伴随土星，由天象二能理解同样的事情。
命题II 定理II
力，由它们诸一等行星不断地被拉离直线运动并被保持在自己的轨道上，向着太阳，并且与它们离太阳的中心的距离的平方成反比。
这个命题的前一部分由天象五以及第一卷中的命题二是显然的；且后一部分由天象四以及同一卷中的命题四是显然的。但命题的这个部分由远日点的静止而以极大的精确性被证明。因为对二次比的一个极小的偏离（由第I卷命题XLV系理1），必然引起拱点在每次运行中的显著运动，在多次运行中这一运动应是巨大的。
命题III 定理III
力，由它月球被保持在自己的轨道上，向着地球，且与它的位置离地球中心的距离的平方成反比。
这个命题的前一部分由天象六以及第一卷命题二或者命题三是显然的；且后一部分是由于月球的远地点的极缓慢的运动。因为这项运动，在每次运行中仅前行三度又三分，可以忽视。因为（由第I卷命题XLV系理1）如果月球离地球中心的距离比地球的半直径如同D∶1；力，由它如此的运动能被引起，与 成反比是显然的，亦即，与D的指数为 的幂成反比，这就是，按照距离的略大于二次的一个反比，但接近二次的程度比接近三次的程度大 倍。但这项运动起源于太阳的作用（正如后面要证明的），且所以在这里可以忽略。太阳的作用，就它拖拉月球离开地球而言，很近似地如同月球离地球的距离；且因此（由在第I卷命题XLV系理2中所证明的）比月球的向心力近似地如同2比357.45或者1比 。且如果太阳的如此小的力被忽略，剩余的力，由它月球被保留在轨道上，与D2 成反比。通过比较这个力与重力，这将会被更充分地证明，正如下一个命题所做的。
系理 如果平均的向心力，由它月球被保持在它的轨道上，先按照 比 之比增大，其次再按照地球的半直径比月球的中心离地球中心的平均距离的二次比增大：则得到在地球表面上月球的向心力，假设那个力降至地球表面时，持续按照高度的二次反比增大。
命题IV 定理IV
月球向着地球有重量，且由重力它持续被拉离直线运动，并被保持在她自己的轨道上。
月球在朔望时离地球的平均距离，按照托勒密和大多数天文学家，是59个地球的半直径，按照文德林和惠更斯 是60，按照哥白尼是 ，按照斯特里特是 ，按照第谷是 。然而第谷以及所有遵循他的折射表的人，指定太阳和月球的折光差（与光的性质全然不合）大于恒星的折光差，这大约为四分或者五分，月球的视差被增大了相同的度数，这就是，大约增大了整个视差的十二分之一或者十五分之一。这些误差被修正后，则距离成为大约 个地球的半直径，这接近其他人指定的值。我们假定［月球］在朔望时的平均距离为六十个地球的半直径；且相对于恒星月球在27天7小时43分钟完成一次循环，正如已由天文学家所确立的；且地球的周长，按法兰西 人测量所确定的，为123249600巴黎 呎；再者如果想象月球的整个运动被夺去且它离开，使得它受到那整个力的推动，由它（依命题III的系理）月球被保持在自己的轨道上，落向地球；在一分钟的时间，下落画出 巴黎 呎。这由计算得到，或者用第一卷命题XXXVI，或者（这得出同样的结果）用同一卷中的命题四引理九完成。因为那个弧，它由月球在一分钟的时间，由其平均运动在六十个地球的半直径的距离画出，其正矢约为 巴黎 呎，或者更精确些，15呎1吋又 吩。因此，由于那个力靠近地球时按照距离的二次反比增大，且所以在地球的表面上比在月球上大60×60倍；一个物体以那个力在我们的区域下落，在一分钟的时间应画出60×60× 巴黎 呎，在一秒钟的时间画出 呎，或者更精确些15呎1吋又 吩。且重物的确以相同的力向地球下落。因为一个摆，在巴黎 城的纬度，按每秒钟振动，其长度为三巴黎 呎又 吩，如惠更斯 观察到的。且高度，它由重物下落在一秒钟的时间画出，比这个摆的长度的一半，按照一个圆的圆周比它的直径的二次比（正如也是由惠更斯 指出的），且因此为15巴黎 呎1吋又 吩。所以，力，由它月球被保持在自己的轨道上，如果降至地球的表面，变成等于我们面前的重力，且因此（由规则I和II）那个力自身正是我们通常所说的重力。因为如果重力与它不同，奔向地球的物体由两个力的联合以加倍的速度下降，且在一秒钟的时间下落画出 巴黎 呎：这与实验完全不符合。
这一计算建立在地球是静止的假设之上。因为如果地球和月球围绕太阳运动，且同时也围绕它们的重力的公共中心运行；重力的定律被保持，月球的和地球的中心彼此相距约 个地球的半直径；正如进行计算所揭示的。且可用第I卷命题LX进行计算。
解释
这一命题的证明可以更详细地解释如下。如果许多月球围绕地球运行，如同在土星的或者木星的系统中那样；它们的循环时间（由归纳论证）遵循由开普勒 对行星所发现的定律，且所以由本卷的命题I，它们的向心力与离地球的中心的距离的平方成反比。且如果它们中最低的一个月球较小，且几乎触到最高山的山顶；其向心力，由它被保留在轨道上，很接近地等于（由前面的计算）在那些山顶上的物体的重力，且如果同一小月球在其轨道中前进的所有运动被夺去，这引起离心力的缺失，由它小月球被保持在轨道上，它落向地球，且速度与重物在那些山顶上下落的速度相同，因为使它们下降的力相同。且如果那个力，由它最低的那个小月球下降，不同于重力；又那个小月球按在山顶上的物体的方式有向着地球的重量：同一个小月球受到两个力的联合作用，以两倍的速度下降。所以，由于两种力，即这些重物的［重力］，和那些小月球的［向心力］，向着地球的中心，且彼此相似又相等，它们有（由规则I和II）相同的原因。且所以那个力，由它月球被保持在自己的轨道上，正是我们通常所说的重力；如果若不是如此，山顶上的小月球或者没有重力，或者以二倍于通常物体下落的速度下落。
命题V 定理V
诸环木行星向着木星有重量，诸环土行星向着土星有重量，诸环日行星向着太阳有重量；由于自身的重力行星总被从直线运动上拉离，并被保持在曲线的轨道上。
因为环木行星围绕木星运行，环土行星围绕土星运行，且水星和金星以及其他环日行星围绕太阳运行，与月球围绕地球运行是同类现象；且所以（由规则II）依赖同类的原因；特别地由于已经证明，力，那些运行依赖它们，向着木星的、土星的和太阳的中心，且从木星、土星和太阳退离时减小的比和定律，与从地球退离时重力减小的比和定律相同。
系理1 所以，向着所有行星的重力被给定。因为金星、水星和其余的行星与木星和土星无疑是同一种类的物体。又由运动的第三定律，所有的吸引是相互的，木星向着它的所有的卫星，土星向着它的所有的卫星，地球向着月球，且太阳向着所有的一等行星有重量。
系理2 重力，它向着每一颗行星，且与位置离行星的中心的距离的平方成反比。
系理3 由系理1和系理2，所有行星相互有重量。且因此木星和土星接近会合时相互牵引，显著地摄动彼此的运动，太阳摄动月球的运动，太阳和月球摄动我们的海洋，正如随后所解释的。
解释
到目前为止，那个力，由它天体被保持在自己的轨道上，我们称之为向心力。现在很清楚它与重力是相同的，且因此以后我们称之为重力。因为那个向心力的原因，由此力月球被保持在轨道上，由规则I、II和IV，应扩展到所有的行星。
命题VI 定理VI
所有物体向着每一颗行星有重量，且向着同一颗行星的重量，在离行星的中心相等的距离上，与每一个物体所含的物质的量成比例。
其他人久已观察到，所有的重物［从同一高度］向地球下落（至少除去不相等的迟滞，它起源于空气的很小的阻力）在相等的时间发生；且用摆能以极高的精确性确定时间的相等性。我曾试验过的物品有金、银、铅、玻璃、沙、食盐、木头、水、小麦。我得到两个圆形且相等的小盒。一个塞满木头，且在另一个的振动中心（我尽可能地精确）悬挂相同重量的金。小盒由相等的十一呎长的线悬挂，使制成的摆，其重量、形状和［遇到的］空气的阻力完全相同：则同等的振动，处于并排的位置，同时向前和向后很长时间。因此在金中的物质的量（由第II卷命题XXIV系理1和6）比在木头中的物质的量，如同作用在整个金上的引起运动的力比作用在整个木头上的相同的作用；这就是，如同金的重量比木头的重量。对其余的物质亦是如此。重量相同的物体，质量相差即使小于总质量的千分之一，在这些实验中我也能清楚地察觉到。现在，重力朝向行星的特性与朝向地球的特性是相同的，已无可怀疑。想象这个地球上的物体升高直到月球的轨道，且与月球一起被夺去所有运动并放开，于是一起向地球下落；则由刚才所证明的，无疑它们在相等的时间画出的空间与月球画出的相等，且所以，它们比在月球中的物质的量，如同它们自身的重量比月球自身的重量。此外，因为木星的卫星的运行时间按照它们离木星中心的距离的二分之三次比，它们向着木星的加速重力与离木星中心的距离的平方成反比；且因此在离木星的距离相等的地方，它们的加速重力成为相等。所以，自相等的高度［向木星］下落，在相等的时间画出相等的空间；正如重物在我们地球上所发生的。由同样的论证，环日行星，在离太阳相等的距离处放开，它们向太阳下落，在相等的时间画出相等的空间。且力，由它们不相等的物体被同等地加速，如同物体；这就是，［行星朝向太阳的］重量如同行星的物质的量。此外，由第I卷命题XLV系理3，土星和它的卫星向着太阳的重量与它们的物质的量成比例，由卫星的极规则的运动这是显然的。因为如果这些星体中的某几个受到向着太阳的牵引与其余的所受到的相比，大于按照它们的物质的量的比例；卫星的运动（由第I卷命题LXV系理2）由于吸引的不等性而被摄动。如果在离太阳等距的地方，某颗卫星向着太阳依其自身的物质的量，按照任意给定的比，设为d比e，较木星依其自身的物质的量更重；太阳的中心和卫星的轨道的中心之间的距离总大于太阳的中心和木星的中心之间的距离，且很近似地按照那个比的二分之一次方；正如过去我由计算发现的。且如果卫星按照那个比d比e向着太阳较轻，则卫星的轨道的中心离太阳的距离按照那个比的二分之一次方小于木星的中心离太阳的距离。且因此，如果离太阳的距离相等，任何一颗卫星向着太阳的加速重力仅以总重力的千分之一大于或者小于木星向着太阳的加速重力，则卫星的轨道的中心离太阳的距离以整个距离的 ，亦即，最外面的卫星离木星的距离的五分之一大于或者小于木星离太阳的距离：轨道的这个偏心率是非常显著的。但卫星的轨道与木星是同心的，且所以木星和［它的］卫星向着太阳的加速重力彼此相等。又由同样的论证，土星及它的伴侣向着太阳的重量，在离太阳相等的距离，如同它们各自的物质的量；月球和地球向着太阳的重量或者没有，或者精确地与它们的物质成比例。但由命题V系理1和3，它们有重量。
再者，每颗行星的各个部分向着其他任一颗行星的重量彼此之间如同在各个部分中的物质。因为，如果某个部分的重力大于，另一部分小于按物质的量的比：则整个行星的重力，按照在其中最丰富的部分的种类，大于或者小于按照整个物质的量的重力。但与那些部分靠外或者靠里没有关系。因为，例如，若想象大地上的物体，它们在我们的周围，并被升高到月球的轨道上，且与月球的本体相比；如果这些物体的重量比月球外面部分的重量如同在它们中的物质的量，但比里面部分的重量按照一个较大或者较小的比，则这些重量比整个月球的重量按照较大或者较小的一个比，这与以上所证明的矛盾。
系理1 因此，物体的重量与它们的形态和结构（textura）无关。因为如果重量能随形态变化；对相等的质量，它们按照形态的不同或者较大或者轻小：这与经验完全不合。
系理2 在地球周围的所有物体，有向着地球的重力；且所有物体的重量，在离地球的中心距离相等的地方，与它们的物质的量成比例。这是能做的实验中所有物体的性质，且所以由规则III，对所有物体普遍地成立。如果以太或者其他任何物体，无论它们完全离弃重力，或者所受的重力小于按照其物质的量的比，因为它（由亚里士多德 、笛卡儿 和其他人的意见）除了物质的形态，与其他物体没有差别，它能通过形态的逐步变化变成一个物体，这个物体与那些按照物质的量重力最大的物体的条件相同，且反之，重力最大的物体，逐步呈现那个物体的形态，能逐步失去自身的重力。且由此重量与物体的形态有关且随形态改变，与在上面的系理中所证明的矛盾。
系理3 不是所有的空间都被同等地充满。因为如果所有空间都被同等地充满，空气的区域被流体充满，则流体的比重，因为其物质的极大的密度，不小于水银的或者金的，或者其他任意密度极大的物体的比重，且所以金以及其他任意物体不能在空气中下降。因为物体在流体中绝不下降，除非比重较大。因为如果在给定空间中物质的量能由于任意稀薄作用而减小，它为何不能无限地减小呢？
系理4 如果任何物体的所有坚固的小部分都有同样的密度，并且在没有小孔时不能变得稀薄，则必存在真空。当物体的惰性力如同它们的大小时，我说它们的密度是相同的。
系理5 重力是一种与磁力不同种类的力。因为磁的吸引并不如同被吸引的物质［的量］。有的物体受磁体的牵引强些，一些较弱，许多根本不受牵引。且在同一物体中的磁力可被增大或者减小，再者有时按照物质的量远大于重力，又在退离磁体时，磁力的减小不按照距离的二次比，而几乎按照三次比，这是就我从一些粗略的观察所能断定的。
命题VII 定理VII
向着所有物体存在重力，重力与在每个物体中的物质的量成比例。
前面我们已经证明所有行星相互之间是重的，且向着任意一颗行星的重力，分开考虑，与位置离此行星的中心的距离的平方成反比。且因此结论是（由第I卷命题LXIX及其系理），向着所有行星的重力与在它们中的物质的量成比例。
此外，由于任意行星A的所有部分向着任意行星B是重的，且每一部分的重力比总的重力，如同部分的物质比总的物质，而且因为每一作用（由运动的第三定律）有一相等的反作用；另一方面，行星B向着行星A的所有部分亦有重力，且他向着任一部分的重力比他向着整个行星的重力，如同部分的物质比总的物质。此即所证 。
系理1 所以，向着整个行星的重力起源于，并由向着其各个部分的重力组成。对磁和电的吸引我们有这种例子。因为向着一个整体的吸引起源于向着每个部分的吸引。在重力的情形，这通过想象几个较小的行星聚合成一个球并构成较大的行星而被理解。因为整个力应来源于其组成部分的力。若有反对，因为由这一定律，我们周围的所有物体相互应有重力作用，而这类重力无法被感觉到，我的回答是：朝向这些物体的重力，由于它们比朝向整个地球的重力如同这些物体比整个地球，远远不能被感觉到。
系理2 向着一个物体的每一个相等的小部分的重力与位置离小部分的距离的平方成反比。这由第I卷命题LXXIV系理3是显然的。
命题VIII 定理VIII
如果两个球互相有重力作用，它们的物质在离球的中心距离相等的区域上到处是同一的：则任一球相对于另一球的重量与它们中心之间的距离的平方成反比。
在我发现向着整个行星的重力起源于且由向着部分的重力组成，以及向着每一部分的重力与离开部分的距离的平方成反比之后，我仍怀疑二次反比在由一些力合成的总力中是能准确地得到，或是只是近似地如此。因为在大的距离上充分精确地得到的比，在靠近行星的表面，由于小部分的距离的不相等及位置的不相似而显著地偏离此比是可能发生的。然而由第一卷命题LXXV和LXXVI及其推论，我终于弄清了这里所叙述的命题的正确性。
系理1 因此，能发现并相互比较物体向着不同行星的重量。因为相等的物体在圆上围绕行星运行时的重量（由第I卷命题IV系理2）与圆的直径成正比且与循环时间的平方成反比；又在行星的表面或者离中心任意距离处的重量，（由这个命题）按照距离的二次反比或者更大或者较小。于是，由金星环绕太阳的循环时间224天又 小时，最外面的环木卫星环绕木星的16天又 小时，惠更斯 卫星 （47） （satelles Hugenianus）环绕土星的15天又 小时，以及月球环绕地球的27天7小时43分钟，与金星离太阳的平均距离，和最外面的环木卫星离木星的中心的最大的日心距角8′.16″，惠更斯 卫星离土星的中心的3′.4″，以及月球离地球中心的10′.33″比较，通过计算我发现，相等的物体且离太阳的、木星的、土星的和地球的中心距离相等，它们向着太阳的、木星的、土星的和地球的重量分别如同1， ， 和 ，且距离增大或者减小，重量按照距离的二次比减小或者增大：物体在离太阳的、木星的、土星的和地球的中心的距离分别为10000、997、791和109时，向着他们的重量相等，且因此在它们的表面的重量分别如同10000、943、529和435。物体在月球的表面上重量如何，在后面说明。
系理2 在每个行星中的物质的量亦可以知道。因为在行星中的物质的量如同在离它们的中心距离相等处它们的力，亦即，在太阳、木星、土星和地球中的物质的量分别如同1， ， 和 （48） 。如果太阳的视差取作大于或者小于10″.30′″，在地球中的物质的量应按照三次比增大或者减小。
系理3 诸行星的密度亦可知道。因为由第I卷命题LXXII，相等且同质的（homogeneorum）物体向着同质的球的重量在球的表面如同球的直径，且因此异质（heterogeneorum）球的密度如同那些重量除以球的直径。但是太阳的、木星的、土星的和地球的真实直径彼此分别如同10000、997、791和109，且向着它们的重量分别如同10000、943、529和435。且所以密度如同100、 、67和400。由这一计算发现的地球密度，不依赖太阳的视差，而是由月球的视差确定的，且所以在这里被正确地定出。所以，太阳比木星略为致密，且木星比土星致密，而地球比太阳致密四倍。因为由于自身的高温太阳变得稀薄。月球比地球致密，在后面这是显然的。
系理4 所以，在其他情况相同时，愈小的行星愈致密。因为这样重力在他们的表面接近相等。但在其他情况相同时，行星愈靠近太阳愈致密；正如木星较土星致密，且地球较木星致密。无疑行星被安放在离太阳不同的距离上，使得按照其密度而或多或少地享有太阳的热。如果地球位于土星的轨道上，我们的水将会冻结，如果在水星的轨道上，水以蒸气逃逸。因为太阳的光，热与它成比例，在水星的轨道上比在我们跟前稠密七倍；且我用一支温度计发现，在夏天太阳热度的七倍之下水沸腾。毫无疑义，水星上的物质与其热相适应，且所以比我们地球上的这种物质致密；因为所有更致密的物质，为了大自然的造化之功（operatio），需要较多的热。
命题IX 定理IX
自行星的表面向下前进，重力的减小很接近地按照离中心的距离之比。
如果行星的物质有均匀的密度，由第I卷命题LXXIII，这一命题精确地成立。所以，误差不大于起源于密度的不等性。
命题X 定理X
行星的运动在天空中能保持极长的时间。
在第II卷命题XL的解释中，已证明冻结的一个水球，在我们的空气中自由地运动且画出其自身的半直径的一个长度，由于空气的阻力，它失去自身的运动的 。对大小和速度任意的球，能很接近地获得相同的比。现在，我们的地球比如果它整个地由水构成的球更稠密，我如此推断：如果这个球全是水，比水稀疏的无论什么东西，由于比重较小而浮起并漂在水面上。由于这一原因，一个由地球的物质构成的球被水完全覆盖，如果它比水稀疏，它在某处浮起，且所有水由此流走并汇聚在对面。而这是我们的地球的情形，它的大部分被海洋环绕。如果土地不比海洋致密，它从海洋浮起，且按照其轻的程度，土地的一部分突出水外，所有那些海水流向对面。由同样的论证，太阳上的黑子比它们浮在其上的太阳的发光物质轻。且无论怎样形成行星，在物质为流体时，较重的物质离开水向中心前进。因此，由于地球表面的一般物质约比水重两倍，且略低一些，在矿井中发现物质比水约重三倍或者四倍，甚至五倍；似乎在地球中所有物质的量约为整个由水构成的地球的五倍或者六倍；尤其是由于上面已表明地球比木星约致密四倍。所以，如果木星较水略为致密，在三十天的时间，它画出459倍自身的半直径的一个长度，在与我们的空气的密度相同的介质中，几乎失去其运动的十分之一。但是，由于介质的阻力按照它们的重量和密度之比减小，因此，水，它比水银轻 倍，阻力按照同样的比减小；且空气，它比水轻860倍，阻力按照同样的比减小；如果升入太空，那里介质的重量被减小以至无穷，行星在这种介质中运动，阻力几乎消失。在第II卷命题XXII的解释中我们已表明，如果升高到高于地球二百哩，那里的空气按照30比0.0000000000003998，或者大约75000000000000比1之比较地球表面的空气稀薄。且因此木星，在与那些上方的空气的密度相同的介质中运行，在1000000年的时间，由于介质的阻力，也不会失去其运动的百万分之一。在很接近地球的空间，能产生阻力的只有空气，呼出的气（exhalationes）和蒸汽。这些被从圆柱形的玻璃腔中被极细心地吸出，重物在玻璃内非常自由地下落，且没有任何阻力可以感觉得到，使得金和极轻的羽毛同时落下，它们以相同的速度下落，且在其下落中画出四呎、六呎或者八呎的一个高度，同时到达底部，正如由实验所发现的。且所以，若上升到太空，那里没有空气和呼出的气，行星和彗星没有任何可以感觉得到的阻力，通过那些空间他们运动极长的时间。
假设 I
宇宙的系统的中心是静止的。
这是所有人都同意的，尽管一些人认定地球，另一些人认定太阳在系统中的中心静止。我们且看由此随之而来的结论是什么。
命题XI 定理XI
地球，太阳和所有行星的重力的公共的中心是静止的。
因为那个中心（由诸定律的系理IV）或者静止，或者均匀地一直前进。但是如果那个中心总是前进，宇宙的中心也将运动，这与假设矛盾。
命题XII 定理XII
一项运动持续不断地驱动太阳，但太阳从不退离所有行星的重力的公共的中心太远。
因为由于（由命题VIII系理2）在太阳中的物质比在木星中的物质如同1067比1，且木星离太阳的距离比太阳的半直径按照略大的一个比；木星和太阳的重力的公共中心落在略高于太阳的表面的一个点上。由同样的论证，由于在太阳中的物质比在土星中的物质如同3021比1，且土星离太阳的距离比太阳的半直径按照略小的一个比；土星和太阳的重力的公共中心落在略低于太阳的表面的一个点上。再承同样计算的余绪，如果地球和所有行星位于太阳的一侧，所有这些天体的重力的公共中心离太阳的中心仅能为太阳的一个完整的直径那么远。在其他情况，中心间的距离更小。且所以，因为重力的那个中心总是静止的，太阳依行星位置的变化而向各个方向运动，但从不退离那个中心很远。
系理 因此地球、太阳和所有行星的重力的公共中心被认为是宇宙的中心。因为由于地球、太阳和所有行星相互之间有向着它们的重力，且所以，按照它们每个的重力，由运动的定律它们持续地被推动；显然它们的运动的中心不能作为宇宙的静止的中心。如果所有物体朝向那个被放置在中心的物体的重力最大（如普遍持有的意见），首选必须让给太阳。但由于太阳自身是运动的，必须选择静止的一点，太阳的中心离它最近，且会离得更近，只要太阳更为致密和更大，这样太阳的运动更小。
命题XIII 定理XIII
诸行星在焦点是太阳中心的一些椭圆上运动，且由向那个中心所引的半径画出的面积与时间成比例。
关于这些运动我们在前面已由天象加以讨论。现在认识了运动的原理，由这些原理我们先验地（a priori）导出天空中的运动。因为行星向着太阳的重量与 ［行星］ 离太阳中心的距离的平方成反比；如果太阳静止且其余的行星不相互推动，则（由第I卷命题I和命题XI以及命题XIII系理1）它们的轨道是椭圆，太阳在它们的公共的焦点上，且画出的面积与时间成比例，但行星之间的相互作用甚小（以致能忽略），且（由第I卷命题LXVI）它们摄动在椭圆上围绕动的太阳的行星的运动比如果那些运动是围绕静止的太阳进行时要小。
然而，木星对土星的作用不能完全被忽略。因为朝着木星的重力比朝着太阳的重力（在相等的距离）如同1比1067；且因此在木星和土星会合时，因为土星离木星的距离比土星离太阳的距离差不多如同4比9，土星朝着木星在重力比土星朝着太阳的重力如同81比16×1067，或者约略如同1比211。由是每当土星和木星会合时引起土星的轨道的摄动，它如此显著使天文学家对此烦忧。按照该行星的位置在这些会合处的变化，它的偏心率有时被增大有时被减小，远日点有时前行有时后退，且平均运动被交替加速和迟滞。然而在其围绕太阳运动的整个误差，尽管起源于如此大的一个力，（由第I卷命题LXVII）通过把其轨道的下焦点安放在木星和太阳的重力的公共中心上，差不多能避免（平均运动除外）；且所以当误差最大时，几乎不超过二分。且在平均运动中的最大误差一年几乎不超过二分。但是，在木星和土星的会合时，太阳向着土星的，木星向着土星的和木星向着太阳的加速重力，差不多如同16，81和 或者156609，且因此太阳向着土星的和木星向着土星的重力之差比木星向着太阳的重力如同65比156609，或者1比2409。但土星摄动木星运动的最大的能力与这个差成比例，且所以木星轨道的摄动远小于土星轨道的摄动。其余的轨道的摄动更小，除了地球的轨道被月球显著地摄动。地球和月球的重力的公共中心在围绕太阳的一个椭圆上前进，太阳位于椭圆的一个焦点，且向太阳所引的半径在那个椭圆上画出的面积与时间成正比例，但同时地球以每月的运动围绕这个公共中心运行。
命题XIV 定理XIV
诸［行星的］轨道的远日点和交点是静止的。
由第I卷命题XI，远日点是静止的，且由同一卷命题I，轨道的平面为静止的；又平面是静止的，交点也静止。然而由行星和彗星在其运行中的相互作用会产生某些不等性，但它们是如此之小在这里能被忽略。
系理1 诸恒星也静止不动，因为它们相对于［行星的］远日点和交点保持给定的位置。
系理2 且因此，由于地球的周年运动对诸恒星没有产生可觉察到的视差，它们的力由于这些物体的巨大的距离而在我们的系统的区域没有产生可以觉察到的影响。事实上，因为恒星在天空的所有部分相等地分散着，由第I卷命题LXX，它们相互的力由相反的吸引而被抵消。
解释
因为靠近太阳的行星（即水星、金星、地球和火星）由于它们的本体规模不大，相互推动较弱：它们的远日点和交点静止，但受木星的、土星的和更高处物体的力的扰动除外。且由此能由重力的理论推出，这些远日点相对于恒星略有向前（in consequentia）运动，且它按照这些行星离太阳的距离的二分之三次比。于是，如果火星的远日点相对于恒星在一百年积累的前行为33′.20″；则在一百年，地球的、金星的和水星的远日点积累的前行分别为17′.40″、10′.53″和4′.16″。且这些运动由于它们如此之小，在这一命题中被忽略了。
命题XV 问题I
求诸［行星的］轨道的主直径。
由第I卷命题XV，这些直径按照循环时间的二分之三次比被取得，然后由第I卷命题LX，每一个［值］按太阳的与每个环绕的行星的质量之和比那个和与太阳［的质量］之间的两个比例中间中的第一个的比增大。
命题XVI 问题II
求诸［行星的］轨道的偏心率和远日点。
此问题被第I卷命题XVIII解决。
命题XVII 定理XV
诸行星的周日运动是均匀的，且月球的天平动起源于它的周日运动。
由运动的定律I和第I卷命题LXVI系理22，这是显然的。的确，木星相对于恒星的旋转时间为9小时56分钟，火星为24小时39分钟，金星约为23小时，地球为23小时56分钟，太阳为 天，且月球为27天7小时43分钟。这些事情如此是由于显而易见的天象。相对于地球，太阳本体上的黑子在太阳的日轮上约 天回归到相同的位置；且所以相对于恒星，太阳的旋转时间约为 天。但是，因为月球围绕自身的轴均匀地旋转一［个太阴］日是一个月：月球的同一个面总是近似地转向其轨道的较远的焦点，且所以依照那个焦点的位置离开地球向这边或者那边偏离。这就是月球的经天平动；因为纬天平动起源于月球的纬度和其轴对于黄道面的倾斜。N.墨卡托先生，在他的出版于1676年初的《天文学 》中，根据我的一封信详细地阐述了天平动的这一理论。土星最外面的卫星围绕自身的轴旋转被观察到类似于月球的运动，它的同一个面总转向土星。因为在围绕土星运行时，每当它靠近自己的轨道的东面的部分时，不适于观看，且平常看不到，这种情况的发生可能由于其本体转向地球的部分上有某些斑点，正如卡西尼 所指示的。木星最外面的卫星亦被观察到围绕其轴旋转的类似于月球的运动，无论何时卫星从木星和我们的眼睛之间穿过时，因为在其本体转离木星的部分有一个斑点，看起来好像在木星的本体上。
命题XVIII 定理XVI
诸行星的轴小于垂直于轴所引的直径。
若除去行星整个的周日圆运动，由于部分的重力向各方面是相等的，它们应为球形。由于那个圆运动，结果使［行星的］部分自轴退离，努力向赤道附近上升。且因此，如果物质为流体，则其上升使在赤道的直径增大，且其下降使在两极的轴减小。由是木星的直径（天文学家的观察意见一致）在两极之间的比从东向西的短。由同样的论证，若我们的地球不是在靠近赤道比在两极略高，则海洋在两极退去，且在赤道附近升高，并完全淹没那里。
命题XIX 问题III
求行星的轴比垂直于它的直径的比例。
1635年前后，我们的同国人诺伍德 测得伦敦 和约克 之间的距离为905751伦敦 呎，并观测到［那些地方的］纬度的差为2°28′，他推出一度的长短为367196伦敦 呎，亦即，57300巴黎 丈。
皮卡德 沿子午线测量亚眠 和马尔瓦桑 之间2度22′.55″的一段弧，发现一度的弧为57060巴黎 丈。老卡西尼 沿子午线测得从鲁西永 的科利乌尔 镇到巴黎 天文台的距离；且他的儿子加上了从天文台到敦刻尔克 城的城堡的距离。总的距离为 丈，科利乌尔镇的和敦刻尔克 城的纬度之差为8°又31′. ″。由此得出1°的弧为57061巴黎 丈。且由这些测量，在地球为球形的假设下，推得地球的周长为123249600巴黎 呎，且它的半直径为19615800呎。
在巴黎 的纬度，重物下落一秒钟画出15巴黎 呎1吋又 吩，如同上面，亦即 吩。物体的重量由于周围空气的重量而减小。我们假设失去的重量是总重量的一万一千分之一，则那个重物在真空中下落，一秒钟的时间画出2174吩。
一个物体在每个恒星日的23小时56′.4″在离中心的距离为19615800呎的一个圆上均匀地运行，在一秒钟的时间画出1433.36呎的一段弧，其正矢为0.0523656呎，或者7.54064吩。且由此，一个力，由它重物在巴黎 的纬度降落，比物体在赤道的离心力，它起源于地球的周日运动，如同2174比7.54064。
物体在地球的赤道的离心力比一个离心力，由它物体在巴黎 的纬度48°51′.10″直接地离开地球，按照半径比那纬度的余角的正弦的二次比，亦即，如同7.54064比3.267。这个力加到一个力上，重物由后者在巴黎 的那个纬度下降，则物体在那个纬度以总的重力下落，在一秒钟的时间画出2177.267吩，或者15巴黎 呎1吋又5.267吩。则在那个纬度，总的重力比物体在地球的赤道的离心力如同2177.267 比7.54064或者289比1。
由此，如果指定APBQ为地球的形状，现在它不再是球而是由一个椭圆围绕较短的轴PQ旋转产生，又设ACQqca为充满水的管道，从极Qq到中心Cc，再由此前进到赤道Aa:则在管道的股ACca 中的水的重量比在管道的另一股QCcq中的水的重量应如同289比288，因为起源于圆形运动的离心力支撑并除去289份重量中的一份，且在另一股中的288份重量支撑余下的重量。然后（根据第I卷命题XCI系理2）进行计算，我发现如果地球由均匀的物质构成，且所有的运动被夺去，则它的轴PQ比直径AB如同100比101:在位置Q朝着地球的重力比在相同的位置Q朝着以中心C半径PC或者QC画出的球的重力，如同126比125。且由同样的论证，在位置A朝着椭圆APBQ围绕轴AB一起旋转画出的扁球的重力，比在相同的位置A朝着以中心C半径AC画出的球的重力，如同125比126。但是在位置A朝着地球的重力是朝着所说的扁球的和球的重力之间的比例中项:因为那个球，当它的直径PQ按照101比100之比减小，它转变为地球的形状；且这个形状按照相同的比减小第三条直径，它与两条直径AB、PQ垂直，转变为所说的扁球；且在A的重力，在任一种情形，很接近地按同一比减小。所以在A朝着以中心C半径AC画出的球的重力，比在A朝着地球的重力如同126比 ，且在位置Q朝着以中心C半径QC所画出的球的重力，比在位置A朝着以中心C半径AC所画出的球的重力，（由第I卷命题LXXII）按照直径的比，亦即，如同100比101。现在，这三个比126比125、126比 和100比101联合起来，则在位置Q朝着地球的重力比在位置A朝着地球的重力，如同126×126×100比125× ×101，或者如同501比500。
如今，因为（由第I卷命题XCI系理3）在管道的任一股ACca或者QCcq中的重力如同位置离地球中心的距离；如果那些股由等距的横截面区分为与整体成比例的部分，在股ACca 中任意数目的部分的重量比在另一股相同数目的部分的重量，如同它们的大小和加速重力的联合；亦即，如同101比100和500比501的联合，这就是，如同505比501。且因此，如果在股ACca中每一部分的起源于周日运动的离心力，它比同一部分的重量如同4比505，使得每一部分的重量被分成505份，四份被它除去；在每个股中重量保持相等，且所以流体处于平衡。但每一部分的离心力比同一部分的重量如同1比289，这就是，离心力，它应为重量的 ，而仅为 。且所以，我说，按照黄金规则（regula aureum），如果重量的 的离心力使水在股ACca中的高度超出水在股QCcq中的高度为其整个高度的百分之一:则重量的 的离心力使水在股ACca中的高度的超出仅为水在另一股QCcq 中的高度的 。所以地球沿着赤道的直径比它的经过两极的直径如同230比229。且因此，因于地球的平均半直径，按照皮卡德 的测量，为19615800巴黎 呎，或者3923.16哩（假定一哩等于5000呎），地球的赤道比在两极高，超出为85472呎，或者 哩。且在赤道其高度约为19658600呎，在两极约为19573000呎。
如果大于或者小于地球的行星保持其密度和周日旋转的循环时间，则离心力比重力的比被保持，且所以两极之间的直径比沿着赤道的直径的比被保持。且如果周日运动按任意的比被加速或者迟滞，则离心力按那个比的二次方被增大或者减小，且所以直径的差很接近地按同一二次比。再者，如果行星的密度按任意的比增大或者减小，朝向它的重力按相同的比增大或者减小，且直径之间的差按重力增大的比被减小或者按重力减小的比被增大。因此，由于地球相对于恒星以23小时56′旋转，而木星以9小时56′旋转，则时间的平方如同29比5，又旋转物体的密度如同400比 :木星的直径的差比它自己的较短的直径如同 × × 比1，或者很接近地如同1比 。所以，木星的自东向西所引的直径，比它的两极之间的直径很接近地如同 比 。因此，由于它的较长的直径为37″，它的较短的直径，它位于两极之间，为33″.25。由于光的不规则性应加上大约3″，则这颗行星的视直径变成40″和36″.25；它们彼此很接近地如同 比 。这些结果如此出自一个假设：木星本体的密度均匀。但如果它的本体往赤道的平面比往两极致密，其直径彼此之比可能如同12比11，或者13比12，甚至14比13。的确，卡西尼 在1691年观测到，木星的自东向西伸展的直径约以其自身的十五分之一超出另一条直径。此外，我们的同国人庞德 ，用带最好测微仪的123呎长的望远镜，在1719年测得木星的直径如下。
况且，由于我们的地球的周日转动，重力在赤道被减小，且因此地球在那里比在两极更隆起（如果它的物质密度均匀），由在下一命题中叙述的摆的实验，这是显然的。
命题XX 问题IV
求出并相互比较物体在地球上不同区域的重量。
因为在水的管道ACQqca的不等的股中的重量相等；且部分的重量，它与整个股成比例，又在整个股中处于相似的位置，彼此如同整个重量，且因此也相互相等；重量相等且在股中处于相似位置的部分与股成反比，亦即，与230比229成反比。任意同质且相等的物体处于管道的股中相似的位置，情形相同。这些物体的重量与股成反比，亦即，与物体离地球中心的距离成反比。因此如果物体在管道的最上端部分，或者位于地球的表面，它们的重量彼此与它们离中心的距离成反比。且由同样的论证，［物体］在整个地球表面上的任意区域的重量，与位置离中心的距离成反比；且所以，由地球为扁球的假设，［那些重量的］比被给定。
由此导出定理：从赤道向两极前进时，重量的增加很接近地如同纬度的二倍的正矢，或者同样，如同纬度的正弦的平方。且在一条子午线上，纬度的弧近似地按照相同的比增大。且因此，由于巴黎 的纬度为48gr. .50′ （49） ，在赤道上的位置的纬度为00gr. .00′，且在两极位置上的纬度为90gr. ，又那些纬度的二倍的正矢为11334，00000和20000，半径为10000，且在两极的重力比在赤道的重力如同230比229，则在两极重力的超出比在赤道的重力如同1比229：在巴黎 的纬度，重力的超出比在赤道的重力，如同1× 比229，或者5667比2290000。且所以，在这些位置的总的重力彼此如同2295667比2290000。因此，由于振动时间相等的摆的长度如同重力，且在巴黎 的纬度每秒振动的摆的长度为三巴黎 呎又 吩，或者由于空气的重量，更好些，为 吩；在赤道的摆的长度被在巴黎 的等时的摆的长度超过，超出为一又千分之八十七吩。且类似的计算产生下表。
所以，由这张表，度数的不等性如此之小，使得在地理学之事上能用球形代替地球的形状是显然的，如果地球往赤道的平面比往两极略为致密时尤其如此。
现在一些天文学家被派到遥远的地区做天文观测，观察到他们的摆钟靠近赤道比在我们的地区慢。而且事实上，这首先由里奇 先生于1672年在卡宴 岛上观察到。因为当他在8月份正观察恒星经过子午线时，他发现他自己的时钟比他应相对的太阳的平均运动慢，差为每天2′.28″。然后通过一台精良的时钟的测量，一架按秒振动的单摆被制成，他记下单摆的长度，且在十个月中的每一周重复此事多次。当他返回法兰西 时，他将这架摆的长度与在巴黎 的［按秒振动的］摆的长度相比较（它是三巴黎 呎八又五分之三吩），发现它较短，差为一又四分之一吩。
后来，我们的同国人哈雷 约于1677年航行到了圣赫勒拿 岛，他发现他自己的摆钟在那里比在伦敦 运动得慢，但他没有记录［时间的］差。他使他的时钟的摆缩短超过八分之一吋，或者一又二分之一吩。为达到这一目的，由于在摆的下端的螺帽的长度不够，他在螺帽和摆的重物之间置入一个木环。
此后，在1682年，瓦伦 先生和得海斯 先生发现在巴黎 皇家天文台一架按秒振动的摆的长度为3呎 吩。且在戈雷 岛他们用同样的方法发现等时的摆的长度为3呎 吩，长度的差为2吩。在同一年他们又航行到瓜德罗普 岛和马提尼克 岛，发现在这些岛上等时的摆的长度为3呎 吩。
后来，小库普莱 先生于1697年7月，在巴黎 皇家天文台这样将他自己的摆钟与太阳的平均运动校准，使得在相当长的时间时钟与太阳的运动相符。然后航行到里斯本 ，他发现在接下来的11月，时钟走得比以前慢，在24小时相差2′.13″。且在次年的3月，他航行到帕拉伊巴 ，他发现在那里他自己的时钟走得比在巴黎 慢，在24小时相差4′.12″。且他断言按秒振动的摆在里斯本 和在帕拉伊巴 比在巴黎 短 吩和 吩。他应能更正确地把这些差定为 和 。因为这些差与时间的差2′.13″和4′.12″对应。这个人的观测由于粗心而不大可信。
接着的两年（1699和1700年）得海斯 先生又航行到美洲 ，在卡宴 岛和格拉纳达 岛他确定按秒振动的摆的长度稍小于3呎 吩，在圣克里斯托弗 岛那个长度为3呎 吩，且在圣多明各 岛同样的长度为3呎7吩。
再者，在1704年，弗莱 神父在美洲 的波托贝洛 发现按秒振动的摆的长度为三巴黎 呎仅又 吩，亦即，比在巴黎 约短三吩，但此观测有误。因随后他航行到马提尼克 岛，发现等时的摆的长度仅为三巴黎 呎又 吩。
现在帕拉伊巴 的纬度是向南6gr. .38′，且波托贝洛是向北9gr. .33′，又卡宴 岛、戈雷 岛、瓜德罗普 （50） 岛、马提尼克 岛、格拉纳达 岛、圣克里斯托弗 岛和圣多明各 岛的纬度分别为向北4gr. .55′、14gr. .40′、14gr. .00′、14gr. .44′、12gr. .6′、17gr. .19′和19gr. .48′。巴黎 的摆的长度对等时的摆在这些纬度观测到的长度的超出略大于按照上表中计算出的摆的长度。且所以地球在赤道比上面计算的要高，且往中心比接近表面的矿物更致密，除非也许热带的热使摆的长度有些增加。
的确，皮卡德 先生曾观察到，一根铁棒，它在冬季当冰冻时的长度为一呎，在火上加热时它变为1呎又四分之一吩。后来拉伊尔 先生观察到，一根铁棒，它在冬季相当的时候长六呎，当暴露于夏天的太阳下时长度成为六呎又三分之二吩。在前一种情形比后一种情形更热，且在后一种情形比人的身体的外表部分更热。因为金属在夏天的太阳下变得很热。但摆钟的摆杆从不暴露于夏天太阳的炎热之下，且从不吸收等于人的身体外表部分的热。且所以，在时钟中三呎长的摆杆，在夏天的确比在冬天略长，但超出几乎不超过一吩的四分之一。因此，在不同区域等时的摆的长度的整个差，不能归之于热的不同。这个差也不能归之于由法兰西 派出的天文学家所犯的错误。因为尽管他们的观测彼此不完全相符，但差异如此之小以至能忽略。且对此他们一致同意：等时的摆在赤道比在巴黎 皇家天文台短，差不小于一又四分之一吩，不大于 吩。依里奇 先生在卡宴 所做的观测，此差为一又四分之一吩，依得海斯 先生的观测那个差经过修正成为一又二分之一吩或者一又四分之三吩。依其他人所做的较不精确的观测，那个差约为二吩。且这一差异可能部分地来自观测的误差，部分地来自地球内部的不同和山的高度的不同，且部分地来自空气的热度的不同。
据我所知，一根三呎长的铁棒，在英格兰 的冬季比在夏季短六分之一吩。由于在赤道的热度，从里奇 观测到的一又四分之一吩的差中除去这个量，则剩下 吩，它与前面已由理论推得的 吩非常符合。此外，里奇 在卡宴 所做的观测，十个月的时间他每周重复，并把在那里标记在铁棒上的摆的长度与在法兰西 类似地标记的长度相比较。这种勤奋与细心为其他观测者所缺乏。如果他的观测是可信的，则地球在赤道比在两极高，超出约为十七哩，正如上面由理论所得出的。
命题XXI 定理XVII
二分点退行；且地球的轴，由于在每年运行中的章动，两次向黄道倾斜并两次返回到原来的位置。
由第I卷命题LXVI系理20，这是显然的。但是章动这个运动应当很小，且很难或者全然感觉不到。
命题XXII 定理XVIII
月球的所有运动，以及所有那些运动的不等性（inœquatitas）遵循已确立的原理。
较大的行星，在它们围绕太阳转动期间，可能携带其他较小的行星围绕它们运行，且那些较小的行星，由第一卷命题LXV，显然它们应在焦点在较大的行星的中心的椭圆上运行。此外，它们的运动以多种方式被太阳的作用摄动，且它们受到在我们的月球上观测到的不等性的影响。无论如何，它［月球］（由第一卷命题LXVL系理2，3，4和5）运动得较迅速，且向地球所引的半径画出的面积比按照时间的要大，又有弯曲较小的一条轨道，且所以它在朔望比在方照更靠近地球，这些作用被偏心运动的阻碍除外。因为（由命题LXVI系理9）当月球的远地点在朔望时，偏心率为最大；且当它在方照出现时，偏心率为最小；且因此月球当近地点在朔望比在方照时较迅速且更靠近我们，而当远地点在朔望比在方照时更迟缓且更远离我们。此外，远地点前行，且交点退行，而运动是不均匀的。且由于（由命题LXVI系理7和8）远地点在其朔望前行更迅速，且在方照的退行更迟缓，它由前行对退行的超出每年被携带前行。但交点（由命题LXVI系理2）在其朔望静止且在方照最迅速地退行。但月球的最大的纬度，在其方照（由命题LXVI系理10）比在其朔望大，且月球的平均运动在地球的近日点（由命题LXVI系理6）比在其远日点缓慢。这些是被天文学家记录下来的显著的不等性。
也有其他一些不等性没有被以前的天文学家观测到，由于它们月球的运动被如此摄动，以致至今这些运动未能由定律归结为某一法则。因为月球的远地点的和交点的速度或者小时运动，且它们的均差（æquatio），以及在朔望的最大的偏心率和在方照的最小的偏心率之间的差，和被称为变差（variatio）的不等性，每年的增大和减小（由命题LXVI系理14）按照太阳的视直径的三次比。且此外，变差的增大或者减小很近似地按照（由第一卷引理X系理1和2，以及命题LXVI系理16）方照之间时间的二次比，但在天文学计算上这一不等性通常归入月球的中心差（prosthaphæresin），并与它相结合。
命题XXIII 问题V
由月球的运动导出木星的和土星的诸卫星的不均匀运动。
由我们的月球的运动可导出木星的月球或者卫星的类似的运动。木星最外面的卫星的交点的平均运动，比我们的月球的交点的平均运动，（由第I卷命题LXVI系理16）按照来自地球围绕太阳的循环时间比木星围绕太阳的循环时间的二次比，和那颗卫星围绕木星的循环时间比月球围绕地球的循环时间的简单比的复合比，且因此在一百年那个交点积累的退行为8gr. .24′。里面的卫星的平均运动比这颗卫星的运动，（由同一系理）如同那颗卫星的循环时间比这颗卫星的循环时间，且因此被给定。此外，每颗卫星的拱点运动的前行比其交点运动的退行，（由同一系理）如同我们的月球的远地点的运动比其交点的运动，且因此被给定。然而，这样发现的拱点的运动应按5比9或者约1比2的比减小，其原因没有时间在这里解释。每颗卫星的交点的和拱点的最大的均差，分别比月球的交点的和拱点的最大的均差，近似地如同在前一均差的一次环绕时间中卫星的交点的和拱点的运动，比在后一均差的一次环绕时间中月球的交点的和拱点的运动。从木星上观看一颗卫星的变差，比月球的变差，由同一系理，如同卫星和月球在环绕太阳期间它们的交点的整个运动的相互之比；且由此［木星的］最外面的行星的变差不超过5″.12。
命题XXIV 定理XIX
海洋的潮起潮落起源于太阳的和月球的作用。
由第I卷命题LXVI系理19和20，显然海洋在每个太阴日和每个太阳日应有两次上涨和两次回落，且水的最大的高度，在既深且开阔的海洋中，应在发光体靠近一个位置的子午线后小于六小时的时间来临，如在法兰西 和好望角 之间的大西洋 和埃塞俄比亚 海的整个东部所发生的，也如在太平洋 的智利 和秘鲁 沿海发生的；在所有这些海岸，海潮在约第二，第三或者第四个小时发生，除非当来自深海的运动在浅的地方的传播而一直被拖延到第五，第六，第七个小时或者更晚。我从两个发光体中的任何一个靠近一个位置的子午线开始对小时计数，无论发光体在地平线之下或者地平线之上，且一个太阴日的小时，我意指一段时间的二十四分之一，在此期间月球的视周日运动返回到它昨天留下的那个位置的子午线上。在发光体靠近一个位置的子午线时，举起海洋的太阳的和月球的力最大。但此施加于海洋上的力保持一会儿且被随后施加的一个新力增大，直到海洋上升到最大的高度，这将在一或者两小时内发生，但在海岸经常是在大约三小时，如果在浅的海洋时间会更长。
而且两项运动，它们由两个发光体引起，不能明确地被区分开，而引起一种混合的运动。发光体在合或者冲时他们的作用被联合起来，并造成最大的潮起和潮落。在方照时，太阳当月球下压海水时举起它，且当月球举起海水时下压它；所有涨潮中最低的起源于两种作用的差。且因为，经验证明，月球的作用大于太阳的作用，海水的最大高度约发生在第三个太阴小时。在朔望和方照之外，最大的海潮，它单独由月球的力引起，总应发生在第三个太阴小时，且单独由太阳的力引起的最大的海潮发生在第三个太阳小时，由两者合成的力引起的最大的潮发生在更接近第三个太阴小时的某个中间时间；且因此月球在自朔望到方照的路径中，当第三个太阳小时先于第三个太阴小时，海水的最大高度［的出现］也先于第三个太阴小时，最大的时间间隔略后于月球的八分点；且在月球自方照至朔望的路径中，最大的涨潮以相同的时间间隔跟随在第三个太阴小时之后。在开阔的海洋就是如此。因为在河流的入海口，较高的涨潮，在其他情况相同时，它们的顶点（áκμ?υ）较缓慢地来临。
但是发光体的作用与它们离地球的距离有关。因为在较近的距离，它们的作用较大；在较远的距离，它们的作用较小，且这按照它们的视直径的三次比。所以太阳在冬季时；当它在近地点产生较大的作用并使得海潮在朔望略大于，且在方照略小于（其他情况相同）在夏季时的海潮；又月球在它每月的近地点产生一个较十五日之前或者十五日之后当它在远地点时海潮大的潮。因此，最大的两次海潮并不跟随在相继的朔望之后。
每个发光体的作用也与其赤纬或者离赤道的距离有关。因为如果一个发光体被放置在地球的一极，它不断地牵引水的每一部分，没有作用的加强和减退，且因此不产生运动的交替。所以，发光体在从赤道向一极退离时，其作用逐渐失去，且因此在二至的朔望产生的海潮比在二分的朔望产生的小。然而，在二至的方照产生的海潮比在二分的方照产生的大；因为月球的作用，它现在位于赤道，超出太阳的作用甚大。所以，大约在任何一个二分的时候，发光体在朔望发生最大的海潮，且发光体在方照发生最小的海潮。又，在朔望的最大海潮总伴随着在方照的最小的海潮，正如经验所发现的。此外，由于太阳离地球的距离在冬季比在夏季近，使得春分前的最大的海潮和最小的海潮比在春分后更经常，且在秋分后比在秋分前更经常。
发光体的作用也与位置的纬度有关。指定ApEP为各处被深水覆盖的地球；C为其中心；P，p为极；AE为赤道；F为赤道之外的任一位置，Ff为那个位置的纬线；Dd为在赤道另一侧对应于它的纬线；L为一个位置，它在三个小时之前被月球占据；H为地球上竖直地位于L之下的位置；h这个位置的对点；位置K，k离H，h的距离为90度，CH，Ch为自地球的中心量起的海的最大高度；且CK，Ck为最小高度；再者，如果以轴Hh，Kk画一个椭圆，然后如果这个椭圆再围绕长轴Hh画一扁球HPKhpk；则这个扁球相当接近地表示了海洋的形状，且CF，Cf，CD，Cd为大海在位置F，f，D，d的高度。而且，如果在所说的椭圆的旋转中，任意一点N画出的圆NM截纬线Ff，Dd于任意的位置R，T，且截赤道AE于S；CN为位于这个圆上的所有的位置R，S，T处海的高度。因此，在任意位置F的周日旋转中，最大的涨潮发生在F，在月球经过地平线之上的子午线后的第三个小时；然后，最大的落潮发生在Q，在月球落下之后的第三个小时；此后，最大的涨潮发生在f，在月球经过地平线之下的子午线后的第三个小时；最后，最大的落潮位于Q，在月球升起之后的第三个小时；且靠后在f的涨潮小于在前面在F的涨潮。因为整个海洋被分为两个半球的流，一个是在北边的半球KHk，另一个为相对的半球Khk；所以这些可以被称为北流和南流。这些流，它们彼此总是相对的，且轮流来到每一个位置的子午线，它们之间的间隔为十二个太阴小时。且由于北边的区域分享了较多的北流，南边的区域分享了较多的南流，因此在赤道之外的每个地方，发光体在此处升起和下落，交替地产生较大或者较小的海潮。但较大的海潮，当月球向一个位置的天顶点偏斜时，在它经过地平线之上的子午线后大约第三个小时发生，且月球赤纬的改变，使较大的海潮转变为较小的海潮。且这些涨潮之间最大的差发生在二至的时候；特别地，如果月球的升交点位于白羊宫的开端。于是由经验发现，在冬季，早晨的海潮超过傍晚的海潮；且在夏季，傍晚的海潮超过早晨的海潮。依据科尔普雷斯 和斯图米 的观察，在朴利茅斯 ，超过的高度约为一呎，在布里斯托尔 ，这一高度为十五吋。
但是至此所描述的运动由于水的交互作用的力而有些改变，海潮，即使发光体的作用停止了，也能保持一会儿。施加的运动的这种保持减小了交替的海潮的差；且使紧随朔望之后的较大，并使紧随方照之后的海潮较小。因此在朴利茅斯 和布里斯托尔 交替的海潮除了高度为一呎或者十五吋之外，并无差别；且在那些港口，最大的海潮不是朔望后的第一次的海潮，而是第三次的。所有的运动在通过浅滩时被迟滞，因此使得海潮中最大的潮，在一些海峡和河流的入海口中，是朔望后的第四或者第五次海潮。
况且，会发生一次海潮从海洋经过不同的海峡到达同一港口，且通过某些海峡比通过另一些海峡快，在这种情形海潮分成两个或者更多的海潮相继到达，能合成不同种类的新的运动。我们想象来自不同地方的两个相等的海潮到达同一个港口，其中一个比另一个提前六小时的时间，并在月球靠近港口的子午线后的第三个小时发生。如果月球在它这次靠近子午线时在赤道上，则每六小时到达的相等的涨潮，与相同的落潮相遇而平衡；且因此在那天中它们使得水平静且不动。如果那时月球从赤道离开，在大洋中的海潮彼此交替地较大或者较小，正如已说过的；且自大洋中两个较大的和两个较小的涨潮彼此交替也到达这个港口。再者两个较大的潮在它们中间的时候形成最高的水位，较大的涨潮和较小的涨潮在它们中间的时候使水上升到一个平均的高度，且在两次较小的涨潮之间水上升到最小的高度。于是在二十四小时的时间里，水不是如通常那样两次达到最大的高度，而是一次达到最大的高度且一次达到最小的高度；且最大的高度，如果月球在那个位置的地平线的上方趋向一极，将发生在月球经过那个位置的子午线之后的第六个小时或者第三十个小时，且月球的赤纬的改变，使涨潮变为落潮。所有这些事情的一个例子由哈雷 给出，他依据水手们在东京 王国 （51） （Regnum Tunquini）的位于北纬20gr. .50′的巴特沙姆 港的观测。在这里当月球穿过赤道后的一天，海水平静；然后，当月球趋向北时，海水开始涨潮和落潮，不是如其他港口的每天两次，而是一次；又当月球下落时，涨潮开始，且当在它升起时，落潮最大。这个海潮与月球的赤纬一起增大，直到第七或者第八天；在接下来的七天它减小的程度与以前增加的程度相同；且当月球的赤纬改变时，涨潮停止并不久变成落潮。因为随后的落潮发生在月球下落时，且涨潮发生在它升起时，直到月球再次改变其赤纬。到这个港口和附近的海峡有两条不同的通道，一为经过大陆和吕宋 岛之间的中国 海，一为经过大陆和婆罗洲 岛之间的印度洋 。但是否来自印度洋 的海潮在十二小时的时间，且来自中国 海的海潮在六小时的时间通过这些海峡到来，并由此在第三个和第九个太阴小时发生此类的合成运动；以及那些大海是否有其他情况，我留待由对邻近海岸的观察确定。
至此我已给出了月球的和海洋的运动的原因。现在添加一些关于那些运动的量的内容是适宜的。
命题XXV 问题VI
求太阳对月球的运动摄动的力。
指定S为太阳，T为地球，P为月球，CADB为月球的轨道。
在SP上取SK等于ST；又设SL比SK按照SK比SP的二次比，且引LM平行于PT；又若地球向着太阳的加速重力由距离ST或者SK表示，则SL是月球向着太阳的加速重力。它由部分SM，LM合成，其中的LM和SM的部分TM摄动月球的运动，正如已在第一卷命题LXVI及其系理中所阐述的。既然地球和月球围绕它们的重力的公共的中心旋转，地球围绕那个中心的运动也被类似的力摄动；但是这可以把力的和及运动的和归之于月球，且力的和由与它们相似的直线TM和ML表示。力ML，按其平均的量，比一个向心力，由它月球能以距离PT在自己的轨道上围绕静止的地球运行，（由第一卷命题LXVI系理17）按照月球围绕地球的循环时间比地球围绕太阳的循环时间的二次比，这就是，按照27天7小时43分比365天6小时9分的二次比，亦即如同1000比 ，或者1比1782940。但我们在命题四发现，如果地球和月球围绕它们的重力的公共的中心运行，一个离开另一个的平均距离很接近 个地球的平均的半直径。且力，由它月球能以 个地球的半直径的一段距离PT围绕静止的地球在轨道上运行，比一个力，由它月球能在相同的时间以60个地球的半直径的一段距离运行，如同 比60；且这个力比在我们周围的重力很接近地如同1比60×60。且因此平均的力ML比在地球的表面的重力，如同1× 比60×60×60× ，或者1比638092.6。由此，并由直线TM，ML的比，力TM也被给定；且太阳的这些力，由于它们月球的运动被摄动。此即所求 。
命题XXVI 问题VII
求面积的小时增量，它由从月球向地球所引的半径在一圆形的轨道上画出。
我们曾说过，面积，它由向地球引半径的月球画出，与时间成比例，但月球的运动由于太阳的作用而受到的扰动除外。我们计划在这里研究［在扰动的情况下］瞬的不等性，或者小时增量。为了使计算更容易，我们想象月球的轨道是圆形的，且除了这里讨论的不等性之外，我们忽略其他一切不等性。由于太阳的巨大的距离，我们也假设直线SP，ST彼此平行。按这种方式，力LM总被化为其自身的平均量TP，且因此力TM将化为其自身的平均量3PK。这些力（由诸定律的系理II）合成力TL；且如果向半径TP落下一条垂线LE，这个力被分解为力TE，EL，其中的TE总沿半径TP作用，对由那个半径TP画出的面积TPC既不加速，也不迟滞；而EL，它沿半径的垂直方向作用，按照它对月球加速或者迟滞的大小，加速或者迟滞画出的面积。月球的那个加速度，在它自方照C到合A的路径中的每一个瞬间所成的，如同加速力EL自身，这就是，如同 。时间由月球的平均运动，或者（这几乎得出相同的结果）由角CTP，或者由弧CP表示。以直角在CT上竖立CG等于CT。且圆周的四分之一弧AC被分成无数相等的小部分Pp，等等，由它们相同数目的相等的时间小段能被表示，又引pk垂直于CT，连结TG交KP，kp的延长于F和f；则FK等于TK，且Kk比PK如同Pp比Tp，这就是，按照给定的比，且因此FK×Kk或者面积FKkf，如同 ，亦即，如同EL；且由复合，整个面积GCKF如同在整个时间施加于月球的力EL的总和，因此也如同由这个和生成的速度，亦即，如同画出面积CTP的加速度，或者瞬的增量。力，由它月球能在其27天7小时43分钟的循环时间CADB，以距离TP围绕静止的地球运行，它使一个物体在时间CT下落，画出 CT的一个长度，并获得一个速度，它等于月球在自己的轨道上运动的速度。这由第I卷命题IV系理9是显然的。但是，因为向TP垂直落下的Kd是EL的三分之一，它等于在八分点的TP的或者ML的一半，在八分点的力EL，在这里它最大，按照3比2之比超过力ML，且因此比那个力，由它月球能在自己的循环时间围绕静止的地球运行，如同100比 ×17872 或者11915，则在时间CT应生成一个速度，它是月球速度的 ，但在时间CPA按照CA比CT或者TP之比，生成较大的一个速度。设在八分点的最大的力EL用等于矩形 TP×Pp的面积FK×Kk表示。且速度，它能由最大的力在任意时间CP生成，比一个速度，它由较小的力EL在相同的时间生成，如同矩形 TP×CP比面积KCGF；但在整个时间CPA生成的速度彼此如同矩形 TP×CA和三角形TCG，或者如同四分之一圆的弧CA和半径TP。且因此（由《几何原本 》第V卷命题IX）后一速度，在整个时间所生成的，是月球的速度的 。对月球的这个速度，它与面积的平均的瞬相似，加上并减去另一个速度的一半；且如果平均的瞬用数11915表示，则和11915＋50或者11965表示在朔望A时面积的最大的瞬，且差11915－50或者11865表示在方照时同一面积的最小的瞬。所以，在相等的时间在朔望和在方照画出的面积，彼此如同11965比11865。最小的瞬11865加上一个瞬，它比瞬的差100如同四边形FKCG比三角形TCG（或者结果一样，如同正弦PK的平方比半径TP的平方，亦即，如同Pd比TP）；则和表示当月球在居间的任意位置P时面积的瞬。
所有这些事情如此，是来自一个假设：太阳和地球静止，且月球运行的会合周期为27天7小时43分钟。但由于月球真实的会合周期为29天12小时44分钟，瞬的增量应接时间之比增大，亦即，按照1080853比1000000的比。按这种方式，总的增量，它是平均的瞬的 ，现在成为平均的瞬的 。且因此在方照时面积的瞬比在朔望时面积的瞬，如同11023－50比11023＋50，或者10973比11073；且比面积的瞬，当月球在其他居间的任意位置P时，如同10973比10973＋Pd，TP取作等于100。
所以，面积，它由向地球引半径的月球在每一相等的时间小段画出，在一个半径为一的圆上，非常近似地如同数219.46 及二倍月球离最近的方照的距离的正矢之和。当变差在八分点是其平均的大小时，有以上这些情形。但如果在那里的变差较大或者较小，那个正矢应按相同的比增大或者减小。
命题XXVII 问题VIII
从月球的小时运动求它离地球的距离。
面积，它由向地球引半径的月球在时间的每一个瞬间画出，如同月球的小时运动和月球离地球的距离的平方的联合；且所以，月球离地球的距离按照来自面积的二分之一次正比和小时运动的二分之一次反比的复合比。此即所求 。
系理1 因此，月球的视直径被给定，因为它与月球离地球的距离成反比。让天文学家尝试这一规则与天象何等相符。
系理2 因此，从天象可以较以前更精确地确定月球的轨道。
命题XXVIII 问题IX
求轨道的直径，月球应在其上运动，它无偏心率。
由一个运动物体画出的轨道的曲率，如果它沿垂直于那个轨道的方向被牵引，与吸引成正比且与速度的平方成反比。我假定曲线的曲率彼此按照相对于相等的半径的切角的正切或者正弦的最终比，当那些半径减小以至无穷时。但在朔望向着地球的月球的吸引是其向着地球的重力对太阳的力2PK的超出（见527页上的图），由这个力［2PK］向着太阳的月球的加速重力超过向着太阳的地球的加速重力或者被后者超过。但在方照，那个吸引是向着地球的月球的重力和太阳的力KT的和，由它［KT］月球被向着地球牵引。且这些吸引，如果称 为N，很近似地如同 - 和 + ；或者如同178725N×CTq －2000ATq ×CT和178725N×ATq +1000CTq ×AT。因为如果向着地球的月球的加速重力用数178725表示，平均力ML，它在方照等于PT或者TK并向着地球牵引月球，为1000，则平均力TM在朔望为3000；如果从它减去平均力ML，被保留的力为2000，由它月球在朔望被拉离地球，且我在上面称它为2PK。但是在朔望A和B时月球的速度比它在方照C和D时的速度，如同CT比AT和在朔望时由向地球引半径的月球所画的面积的瞬比在方照时同样的面积的瞬的联合，亦即，如同11073CT比10973AT。取这个比的反比两次和前一个比的正比一次，则月球的轨道在朔望的曲率比在方照它的曲率成为120406729×178725ATq ×CTq ×N－120406729×2000ATqq ×CT比122611329×178725ATq ×CTq ×N+122611329×1000CTqq ×AT，亦即，如同2151969AT×CT×N－24081ATcub. 比2191371AT×CT×N+12261CTcub. 。
因为不知道月球的轨道的形状，假设我们代之以一个椭圆DBCA，地球被放置在它的中心，且其长轴DC位于方照之间，短轴AB位于朔望之间。但是，由于这个椭圆的平面以一个角运动围绕地球旋转，且轨道，我们正考虑其曲率，应在完全失去所有角运动的平面上被画出，我们必须考虑一个图形，它由月球在那个椭圆上运行时在这个平面上画出，这就是图形Cpa，它的每个点p这样被发现，在椭圆上取任意点P，它表示月球的位置，并引Tp等于TP，使得角PTp等于太阳自方照C后完成的视运动；或者（这几乎得出相同的结果）使得角CTp比角CTP如同月球的会合周期的时间比循环运行的时间，或者29d. .12h .44′ （52） 比27d. .7h .43′。所以按相同的比取角CTa比直角CTA，并使长度Ta等于TA，则a 为这个轨道Cpa的下拱点且C为上拱点。但是，通过计算，我发现轨道Cpa在顶点a的曲率，和以中心T间隔TA所画出的圆的曲率之间的差，比椭圆在顶点A的曲率和同一个圆的曲率的差，按照角CTP比CTp的二次比；且椭圆在A的曲率比那个圆的曲率，按照TA比TC的二次比；又那个圆的曲率比以中心T和间隔TC所画出的圆的曲率，如同TC比TA；但这个曲率比椭圆在C的曲率，按照TA比TC的二次比；则椭圆在顶点C的曲率和最后一个圆的曲率之间的差，比图形Tpa在顶点C的曲率和同一个圆的曲率之间的差，按照角CTp比角CTP的二次比。这些比容易从切角的和那些角的差的正弦推得。此外，通过相互比较这些比，得出图形Cpa在a的曲率比在C它的曲率，如同ATcub. + CTq ×AT比CTcub. + ATq ×CT。这里数 代表角CTP和CTp的平方的差除以较小的角CTP的平方，或者（这是一样的）时间27d. .7h .43′和29d. .12h .44′的平方的差除以时间27d .7h .43′的平方。
所以，由于指定a为月球的朔望，且C为它的方照，刚才发现的比例应与上面已发现的月球的轨道在朔望的曲率比在方照它的曲率是相同的。因此，为发现CT比AT的比例，我将外项和外项且内项和内项彼此相乘。把得到的项除以AT×CT，变成2062.79×CTqq －2151969N×CTcub. +368676N×AT×CTq +36342 ATq ×CTq －362047N×ATq ×CT+2191371N×ATcub. +4051.4ATqq =0。当我把项AT和CT的和之半N写成1，且它们的差之半设为x，则CT＝1＋x，且AT＝1－x；在方程中代入这些值并解所得的方程，得到x等于0.00719，且因此半直径CT为1.00719，半直径AT为0.99281，这些数彼此非常近似地如同 和 。所以，月球在朔望时离地球的距离比在方照时它离地球的距离（摈弃考虑偏心率）如同 比 ，或者取整数如同69比70。
命题XXIX 问题X
求二均差（variatio lunœ）。
这一不等性部分地起源于月球的轨道的椭圆形状，部分地来自面积的瞬的不等性，面积由向地球引半径的月球画出。如果月球P在椭圆DBCA上围绕在椭圆中心静止的地球运动，且向地球引的半径TP画出的面积CTP与时间成比例；又椭圆的最大半直径CT比最小的半直径TA如同70比69；角CTP的正切比从方照C算起的平均运动的角的正切，如同椭圆的半直径TA比它的半直径TC或者69比70。但当月球自方照向朔望前进时，面积CTP的画出应如此被加速，在月球的朔望它的瞬比在方照它的瞬如同11073比10973，且使在任意中间位置P时［面积的］瞬对在方照时［面积的］瞬的超出如同角CTP的正弦的平方。这会足够精确地发生，如果角CTP的正切按照数10973比数11073的二分之一次比减小，亦即，按照数68.6877比数69之比减小。由此，角CTP的正切现在比平均运动的正切如同68.6877比70，且在八分点，那里的平均运动为45gr. ，发现角CTP为44gr. .27′.28″，从平均运动的角45gr. 中减去它，剩下最大的变差为32′.32″。事情将会如此，如果月球自方照向朔望前进只画出九十度的角CTA。但是，因为地球的运动，由此运动太阳的视运动被前移，月球，当它赶上太阳时，画出的角CTa按照月球的会合周期的时间比它运行的循环时间，亦即，按照29d. .12h .44′比27d. .7h .43′的比大于直角。且按这种方式围绕中心的所有角接相同的比被扩大，而最大的变差不再是32′.32″，现在按相同的比增大为35′.10″。
这是在太阳离地球的平均距离上，忽略差异，它们可能起源于大轨道（orbis magnus）的曲率以及太阳对镰刀状的朔月的作用比对凸形的望月的作用大，得到的。在太阳离地球的其他距离上，最大的变差按照一个比，它由来自会合周期的时间（每年的时间被给定）的二次正比和太阳离地球的距离的三次反比复合而成。且因此，在太阳的远地点，最大的变差为33′.14″，且在它的近地点为37′.11″，只要太阳的偏心距 （53） 比大轨道的横截的半直径如同 比1000。
但目前为止，我们已研究了在无偏心率的一条轨道上的变差，在此轨道上，月球在它自己的八分点时总在它离地球的平均距离上。如果月球，由于其偏心率，它离地球的距离大于或者小于如果它在这个轨道上的距离，变差较按照这个规则的变差会略大，或者略小，但超出或者不足我留给天文学家们从天象上确定。
命题XXX 问题XI
在一个圆轨道上求月球的交点的小时运动。
指定S为太阳，T为地球，P为月球，NPn为月球的轨道，Npn为轨道在黄道的平面上的投影，N，n为交点，nTNm为无限延长的交点线；PI，PK为落到直线ST，Qq上的垂线，Pp为落到黄道的平面上的垂线；A，B为在黄道的平面上的月球的朔望；AZ为落到交点线Nn上的垂线；Q，q为月球在黄道的平面上的方照，且pK为落到方照之间的直线Qq上的垂线。摄动月球的运动（由命题XXV）的太阳之力是分成两部分的，其中一部分与这个命题的图形中的直线LM成比例，另一部分与直线MT成比例。且前一个力把月球拉向地球，后一个力沿从地球到太阳所引直线的平行线把它拉向太阳。前一个力LM沿月球的轨道的平面作用，且所以一点也不改变平面的位置。因此这个力被忽略了。后一个力MT对月球轨道的摄动与力3PK或者3IT是相同的。且这个力（由命题XXV）比一个力，由它月球能在围绕静止的地球的圆上以自己的循环时间均匀地运行，如同3IT比圆的半径乘以数178.725，或者如同IT比半径乘以数59.575。但在这个计算，以及以后的一切计算中，我考虑所有自月球到太阳所引的直线作为平行于自地球到太阳所引的直线；因为如此的倾斜在一些情形下对所有影响的减小几乎与它在另一些情况下对所有影响的增大一样；且我们探究交点的平均运动，忽略这样的枝节，它们会使计算受到过多的阻碍。
现在指定PM为一段弧，它由月球在给定的极短的时间画出，且ML为一条短线，在相同的时间月球在施加所说的力3IT的情况下能画出它的一半。连结PL，MP并延长它们至m和l，在那里它们与黄道的平面相截；又在Tm上落下垂线PH。又，因为直线ML平行于黄道的平面；且因此，由于直线ml位于那个平面上，它们不可能相交，然而这两条直线位于一个共同的平面LMPml上；这些直线平行，且由此三角形LMP，lmP相似。现在，由于MPm在轨道的平面上，在其上在位置P的月球在运动，Mpm交过那个轨道的交点N，n引的直线Nn于点m。又由于力，由它短线LM的一半被生成，如果整个力同时且一次施加于位置P，将生成那整条直线；并使月球沿其弦为LP的弧运动，因此月球从平面MPmT上被迁移到平面LPlT上；由那个力产生的交点的角运动等于角mTl。但是ml比mP如同ML比MP，且所以，由于MP因为时间的给定而被给定，ml如同矩形ML×mP，亦即，如同矩形IT×mP。又，角mTl，只要角Tml为直角，就如同（ml）/（Tm），且因此如同（IT×Pm）/（Tm），亦即（由于Tm和mP，TP和PH成比例）如同（IT×PH）/（TP），由于TP给定，因此如同ML×PH。但是，如果角Tml，或者角STN是倾斜的，角mTl按照角STN的正弦比半径，或者AZ比AT之比而更小。所以交点的速度如同IT×PH×AZ，或者如同三个角TPI，PTN和STN的正弦之下的容量。
如果那些角，当交点在方照和且月球在朔望时，为直角，短线ml远离以至无穷，且角mTl变得等于角mPl。但在这种情况下，角mPl比角PTM，它由月球在相同的时间由它的视运动围绕地球画出，如同1比59.575。因为角mPl等于角LPM，亦即，等于月球从一直线路径偏转的角，它能单独由所说过的太阳的力3IT在那段给定的时间生成，如果月球的重力消失；且角PTM等于月球从一直线路径偏转的角，它能由月球被保持在它自己的轨道上的那个力在相同的时间生成，如果太阳的力3IT消失。且这些力，按照我们上面所说，彼此之比如同1比59.575。所以，由于月球相对于恒星的小时平均运动为32′.56″.27. iv ，在这种情况下交点的小时运动为33″.10.33iv .12v 。但是在其他情形，交点的小时运动比33″.10.33iv .12v 如同三个角TPI，PTN，和STN的正弦（或者月球离方照的，月球离交点的和交点离太阳的距离）之下的容量比半径的立方。且每当任一个角的符号从正变负，且又从负变正时，退行运动应变为前行运动且前行运动变为退行运动。因此，当月球位于方照之一和离方照最近的交点之间时，交点前行。在其他情形，交点退行，且由于退行对前行的超出交点每月被携带着向后移动。
系理1 因此，如果从给定的极短的弧PM的端点P和M，向连结方照的直线Qq落下垂线PK，Mk，并延长这些垂线直到它们截交点线Nn于D和d；交点的小时运动如同面积MPDd和直线AZ的平方的联合。因为PK，PH和AZ为上述的三个正弦。即月球离方照的距离的正弦PK，月球离交点的距离的正弦PH，和交点离太阳的距离的正弦AZ：交点的速度如同容量PK×PH×AZ。但是，PT比PK如同PM比Kk，且因此，由于PT和PM给定，Kk和PK成比例。又，AT比PD如同AZ比PH，且所以PH与矩形PD×AZ成比例，再由比的联合，PK×PH如同容量Kk×PD×AZ，且PK×PH×AZ如同Kk×PD×AZqu. ，亦即，如同面积PDdM和AZqu. 的联合。此即所证 。
系理2 在交点的任何给定的位置，其小时平均运动是在月球的朔望时的小时运动的一半，且因此它比16″.35.16iv .36v 的比如同交点离朔望的距离的正弦的平方比半径的平方，或者如同AZqu. 比ATqu. 。因为如果月球以均匀的运动经过半圆QAq，在月球从Q前进到M期间，所有的面积PDdM的和是面积QMdE，它由圆的切线QE界定；且月球到达点n的时间，那个和是整个面积EQAn，它由直线PD画出，然后月球从n前进到q，直线PD落在圆的外面，并画出由圆的切线qe界定的面积nqe；它，因为交点在前面退行而现在前行，应从前者的面积中减去，且因为它等于面积QEN，剩下半圆NQAn。所以在月球画出半个圆的一段时间，所有面积PDdM的和是半圆的面积；且在月球画出一个圆的时间所有的面积的和是整个圆的面积。但是面积PDdM，当月球在朔望时，是弧PM和半径PT之下的矩形；且在月球画出一个圆的时间，等于这个面积的所有面积的和是整个圆周和圆的半径之下的矩形；且这个矩形，由于它等于两个圆，是前一个矩形的两倍。因此，如果交点以它们在月球的朔望所具有的速度均匀地持续，它们将画出二倍于它们实际画出的空间；且所以平均的运动，如果以它均匀地持续，能画出它们以不等的运动实际画出的空间，是它们在月球的朔望所具有的运动的一半。因此，由于最大的小时运动，如果交点在方照，是33″.10.33iv .12v ，在这一情形的小时平均运动是16″.35.16iv .36v 。且由于交点的小时运动总如同AZqu. 和面积PDdM的联合，且所以交点的小时运动在月球的朔望如同AZqu. 和面积PDdM的联合，亦即（由于画出的面积PDdM在朔望被给定）如同AZqu. ，平均运动也如同AZqu. ；且因此这个运动，当交点在方照之外，比16″.35.16iv .36v ，如同AZqu. 比ATqu. 。此即所证。
命题XXXI 问题XII
在一个椭圆轨道上求月球的交点的小时运动。
指定Qpmaq为以长轴Qq，短轴ab画出的一个椭圆，QAqB为一个外接圆；T为在两者公共的中心的地球，S为太阳，p为在椭圆上运动的月球，且pm为在给定的极短的时间段月球画出的弧，N和n为由直线Nn连结的交点，pK和mk为落在轴Qq上的垂线并向两边延长直到它们交圆于P和M，且与交点线交于D和d。再者，如果月球，由向地球引的一个半径，画出的面积与时间成比例，在椭圆上的交点的小时运动如同面积pDdm和AZq 的联合。
因为，如果PF切圆于P，且延长交TN于F，又pf切椭圆于p并延长交同一TN于f，这些切线在轴TQ上相遇于Y；且如果指定ML为一段空间，它能由在圆上运行的月球，在它画出弧PM期间，在以上说过的力3IT或者3PK的压迫和推动下以横向的运动画出；且指定ml为一段空间，它能由在椭圆上运行的月球在相同时间，也在力3IT或者3PK的推动下画出；再延长LP和lp直到它们交黄道的平面于G和g；又连结FG和fg，延长其中的FG分别截pf，pg和TQ于c，e和R，且延长fg截TQ于r。因为在圆上的力3IT或者3PK比在椭圆上的力3IT或者3pK，如同PK比pK，或者AT比aT；由前一个力生成的空间ML比后一个力生成的空间ml，如同PK比pK，亦即，由于图形PYKp和FYRc相似，如同FR比cR。但是ML比FG（由于三角形PLM，PGF相似）如同PL比PG，这就是（由于Lk，PK，GR平行）如同pl比pe，亦即（由于三角形plm，cpe相似）如同lm比ce；且与LM比lm成反比，或者如同FR比cR，于是如同FG比ce。所以，如果fg比ce如同fY比cY，亦即，如同fr比cR（这就是，如同fr比FR和FR比cR的联合，亦即，如同fT比FT和FG比ce的联合），因为两边除去FG比ce之比，剩下fg比FG之比和fT比FT之比，有fg比FG如同fT比FT；且因此FG和fg 对地球T所张的角彼此相等。但那些角（由我们在上一命题所陈述的）等于是交点的运动，在此期间月球在圆上跑过弧PM，在椭圆上跑过弧pm；且所以在圆上和在椭圆上交点的运动彼此相等。事情就是如此，只要fg比ce如同fY比cY，亦即，如果fg等于 。但是，由于三角形fgp，cep相似，fg比ce如同fp比cp；且因此fg等于 ；且所以角，它由fg实际张成，比前一个角，它由FG张成，这就是，在椭圆上交点的运动比在圆上交点的运动，如同这个fg或者 比前一个fg或者 ，亦即，如同fp×cY比fY×cp，或者fp比fY和cY比cp，这就是，如果与TN平行的ph交FP于h，如同Fh比FY和FY比FP；这就是，如同Fh比FP或者Dp比DP，且因此如同面积Dpmd比面积DPMd。且所以，因为（由命题XXX系理1）后一个面积和AZq 的联合与在圆上交点的小时运动成比例，则前一个面积和AZq 的联合与在椭圆上交点的小时运动成比例。此即所证。
系理 所以，由于在交点的任意给定的位置，在月球从方照前进到任意的位置m期间，所有面积pDdm的和，等于面积mpQEd，它由椭圆的切线QE界定；在一次完整的运行中，所有那些面积之和等于整个椭圆的面积：在椭圆上交点的平均运动比在圆上交点的平均运动，如同椭圆比圆；亦即，如同Ta比TA，或者69比70。且所以，因为（由命题XXX系理2）在圆上交点的平均小时运动比16″.35.16iv .36v 如同AZqu. 比ATqu. ，如果取角16″.21.3iv .30v 比角16″.35.16iv .36v 如同69比70，则在椭圆上交点的平均小时运动比16″.21.3iv .30v 如同AZqu. 比ATqu. ；这就是，如同交点离太阳的距离的正弦的平方比半径的平方。
但月球，由向地球引的一条半径，画出的面积在方照比在朔望迅速，且因此在朔望的时间被缩短，在方照被延长；又交点的运动随着时间被增大或者减小。但在月球的方照面积的瞬比在朔望它的瞬如同10973比11073，且所以在八分点时平均的瞬比在朔望时的超出，以及在方照时的缺失，如同那些数的和之半11023比它们的差之半50。因此，由于月球在其轨道的每一个相等的小部分的时间与它的速度成反比，在八分点时的平均的时间比在方照时时间的超出，以及在朔望时的缺失，由于这个原因，很接近地如同11023比50。但对从方照到朔望，我发现在任一个位置的面积的瞬对在方照的最小的瞬的超出，很近似地如同月球离方照的距离的正弦的平方；且所以在任意位置的瞬和在八分点的平均的瞬的差如同月球离方照的距离的正弦的平方与45度的正弦的平方，或者半径的平方的一半的差；且在八分点和方照之间任一位置的时间的增量，以及在八分点和朔望之间其减量，按照相同的比。但交点的运动，在此期间月球跑过任一相等的一小段轨道，按照时间的二次比被加速或者迟滞。因为那个运动，当月球跑过PM（其他情况相同）期间，如同ML，又ML按照时间的二次比。所以，交点在朔望的运动，在月球跑过其轨道的给定的小部分的时间所完成的，按照数11073比数11023的二次比减小；且减量比剩余的运动如同100比10973，比总的运动很近似地如同100比11073。但在八分点和朔望之间的位置上的减量和在八分点和方照之间的位置上的增量，比这个减量，很近似地如同在那些位置的整个运动比在朔望的整个运动，和月球离方照的距离的正弦的平方与半径的平方的一半之间的差比半径的平方的一半的联合。因此如果交点在方照，并取离八分点等距离的两个位置，一个在一侧，一个在另一侧，且离朔望和离方照以同样的距离取另两个位置，又若从在朔望和八分点之间的两个位置的运动的减量减去在其余两个位置的运动的增量，这两个位置在八分点和方照之间；剩下的减量等于在朔望的减量，进行计算容易得出。且所以，平均的减量，应从交点的平均运动减去的，是在朔望的减量的四分之一。在朔望交点的整个小时运动，在月球向地球所引半径画出的面积被假定为与时间成比例时，为32″.42.7iv 。且交点的运动的减量，在现在月球更迅速地画出相同的空间的时间里，按我们刚才所说，比这个运动，如同100比11073；且因此那个减量为17.43iv .11v ，它的四分之一为4.25iv .48v ，从上面发现的平均小时运动16″.21.3iv .30v 减去它，剩下正确的平均小时运动16″.16.37iv .42v 。
如果交点在方照之外，且针对离朔望距离相等的两个位置，一个在一侧，一个在另一侧；当月球在这些位置时，交点的运动的和，比当月球在同样的位置且交点在方照时运动的和，如同AZqu. 比ATqu. 。且运动的减量，它起源于刚才阐述的原因，相互之比如同运动自身，所以剩下的运动相互之比如同AZqu. 比ATqu. ，且平均运动如同剩下的运动。于是正确的平均小时运动，在交点任意给定的位置，比16″.16.37iv .42v ，如同AZqu. 比ATqu.；亦即，如同交点离朔望的距离的正弦的平方比半径的平方。
命题XXXII 问题XIII
求月球的交点的平均运动。
平均年运动是在一年中的所有平均小时运动的和。设想交点在N，且由于每一小时的运动已完成，它被拉回到原来的位置，使得尽管有它自身的正常运动，相对于恒星它总被保持在某一给定的位置。在此期间太阳S，由于地球的运动，太阳从交点前进且以均匀的运动完成其视年路径。此外，设Aa为给定的极短的弧，总向太阳引直线TS，它与圆NAn的相交部分在给定的极短的时间画出弧Aa：则平均小时运动（由已显示的）如同AZq，亦即（由于AZ，ZY成比例）如同AZ和ZY之下的矩形，这就是，如同面积AZYa。从开始所有平均小时运动的和，如同所有面积aYZA的和，亦即，如同面积NAZ。但是最大的［面积］AZYa等于弧Aa和圆的半径之下的矩形；且所以在整个圆中所有矩形的和比同样数目的最大的矩形的和，如同整个圆的面积比整个圆的圆周和半径之下的矩形，亦即，如同1比2。此外，最大的矩形对应的小时运动，是16″.16.37iv .42v 。且这个运动，在一个整恒星年的365天6小时9分钟中累计为39gr. .38′.7″.50。且因此，它的一半19gr. .49′.3″.55，是对应于整个圆的交点的平均运动。且交点的运动，在太阳自N前进到A的时间，比19gr. .49′.3″.55，如同面积NAZ比整个圆。
这些论断如此来自假设，交点每小时被拉回到它原来的位置，这样使得太阳在一整年过完时返回到相同的交点，它曾经从这里开始离开。但是由于交点的运动使得太阳更迅速地转回到交点，且现在必须计算时间的缩短。由于太阳在一整年完成360度，且在相同的时间交点以其最大的运动完成39gr. .38′.3″.50，或者39.6355度；又在任意位置N时交点的平均运动比在方照时它的平均运动，如同AZq 比ATq ：太阳的运动比在N时交点的运动，如同360ATq 比39.6355AZq ；亦即，如同9.0827646ATq 比AZq 。因此，如果整个圆的圆周NAn被分为相等的小部分Aa，时间，在此期间太阳跑过小部分Aa，如果圆静止，比一段时间，在此期间它跑过相同的小部分，如果圆与交点一起围绕中心T旋转，与9.0827646ATq 比9.0827646ATq +AZq 成反比。由于时间与跑过小部分的速度成反比，且这个速度是太阳的和交点的速度之和。所以时间，如果在此期间交点没有运动，太阳跑过弧NA，由扇形NTA表示，且时间的小部分，在此期间它跑过极短的弧Aa，由扇形的小部分ATa表示；又（在Nn上落下垂线aY）如果在AZ上取dZ，其长度使得dZ和ZY构成的矩形比扇形的小部分ATa如同AZq 比9.0827646ATq +AZq ，亦即，使得dZ比 AZ如同AZq 比9.0827646ATq +AZq ，dZ和ZY构成的矩形表示在弧Aa被跑过的整个时间中起源于交点运动的时间的减量。且如果点d 占据曲线NdGn，曲线的面积NdZ是整个减量，在此期间整个弧NA被跑过；所以扇形NAT对面积NdZ的超出是那整个时间。又因为交点的运动在较短时间按时间的比较小，面积AaYZ应按相同的比减小。这将会发生，如果在AZ上取一段长度eZ，它比长度AZ如同AZq 比9.0827646ATq +AZq 。因为这样eZ和ZY构成的矩形比面积AZYa如同时间的减量，在此期间弧Aa被跑过，比整个时间，在此期间弧［Aa］被跑过，如果交点静止：所以那个矩形对应于交点的运动的减量。又，如果点e点据曲线NeFn，整个面积NeZ，它是所有减量的和，在弧AN被跑过的时间，对应于整个减量；且剩余的面积对应于剩余的运动，在整个弧NA被太阳的和交点的联合的运动跑过的时间，它是交点的真运动。现在，由无穷级数法找到半圆的面积比图形NeFn的面积，很接近地如同793比60。但是运动，它对应于整个圆，是19gr. .49′.3″.55，且所以运动，它对应于二倍的图形NeFn，是1gr. .29′.58″.2。从前一个运动中减去它，剩下18gr. .19′.5″.53，是交点相对于恒星在它两次与太阳会合期间的整个运动；且从太阳的年运动360度中减去这个运动，剩下的341gr. .40′.54″.7是太阳在相同的会合期间的运动。但由于这个运动比年运动360gr. ，如同刚发现的交点的运动18gr. .19′.5″.53比它自己的年运动，所以它为19gr. .18′.1″.23。这是在一个恒星年中交点的平均运动。由天文表这个值是19gr. .21′.21″.50。差小于整个运动的三百分之一，且似乎起源于月球的轨道的偏心率和对于黄道的平面的倾角。由于轨道的偏心，交点的运动被过度加速，另一方面，由于其倾角，交点的运动有些被迟滞，并导致其恰当的速度。
命题XXXIII 问题XIV
求月球的交点的真实运动。
在时间，它如同面积NTA－NdZ（在上图中），运动如同面积NAe，且因此被给定。但是由于计算过于困难，应用问题的下述作法更好。以中心C，任意间隔CD画圆BEFD。延长DC至A，使得AB比AC如同当交点在方照时的平均运动比一半的真实的平均运动，亦即，如同19gr. .18′.1″.23比19gr. .49′.3″.55，且因此BC比AC如同运动的差0gr. .31′.2″.32，比后一个运动19gr. .49′.3″.55，这就是，如同1比 ；然后过D引无限的直线Gg，它切圆于D；如果又取角BCE或者BCF等于二倍的太阳离交点的位置的距离，作为通过平均运动发现的；再作AE或者AF截垂线DG于G；并取一个角，它比在其朔望之间交点的整个运动（亦即，比9gr. .11′.3″）如同切线DG比圆BED的整个圆周；并加上这个角（对此可用角DAG）到交点的平均运动中，当交点越过方照向朔望时；并从相同的平均运动中被减去，当交点越过朔望向方照时；得到它们的真实运动。因为如此发现的真实运动与时间由面积NTA－NdZ且交点的运动由面积NAe表示得到的真实运动非常接近；对任何斟酌此事并进行计算的人，是显然的。这是交点运动的半年差（aequatio semestris）。也存在月差（aequatio menstrua），但对求月球的纬度绝不需要。因为由于月球对于黄道的平面的倾角的变化附属于两个均差，一为半年的，一为一月的；这个变差的月均差（menstrua inaequalitas）和交点的月差，彼此相互节制和修正，使得两者在确定月球的纬度中能被忽略。
系理 从本命题和前面的一个命题，显然，交点在它们的朔望是静止的，但在方照，它们以16″.19.26iv 的小时运动退行。且在八分点，交点的运动的变差为1gr. .30′。所有这些与天象适相吻合。
解释
求交点的运动的其他方法已由格雷欣［学院］的天文学教授约翰·梅钦 和医学博士亨利·彭伯顿 分别发现。这个方法在别处曾被提到。两人的论文，就我所见，包含两个命题，且两者彼此一致。梅钦先生的论文，由于先到我手中，附于此。
论月球的交点的运动
命题 I
离开交点的太阳的平均运动，由太阳的平均运动和那个平均运动之间的几何比例中项确定，太阳由那个平均运动最迅速地退离在方照的交点。
设T为地球所在的位置，Nn为在任意给定的时刻月球的交点线，引一直线KTM与这条直线成直角，直线TA围绕中心以太阳和交点相互退离的角速度转动，如此使得静止的直线Nn和旋转的TA之间的角总等于太阳的和交点的位置之间的距离。现在如果任意的直线TK被分成部分TS和SK，使得它们如同太阳的平均小时运动比在方照时交点的平均小时运动，且设直线TH是部分TS和整体TK之间的比例中项，其中的这条直线［TH］与太阳离开交点的平均运动成比例。
由于以中心T和半径TK画圆NKnM，又以相同的中心和半轴TH和TN画椭圆NHnL，且时间，在此期间太阳经弧Na退离交点，如果引直线Tba，扇形NTa的面积表示在相同的时间交点的和太阳的运动的和。所以，设aA是极短的弧，它由直线Tba按照前面所说的定律转动并在给定的一小段时间均匀地画出，且极小的扇形TAa如同速度的和，太阳和交点在那时以它们分别被移动。但是太阳的速度几乎是均匀的，因为它的小的不等性难以在交点的运动中引入变化。这个和的另一部分，即交点按自身平均量的速度，由《原理 》第III卷命题XXXI的系理，在退离朔望时按它离太阳的距离的正弦的二次比被增大；且它的［速度］相对于K处的太阳位于方照时最大，这个速度比太阳的速度与SK比TS有相同的比，这即是如同（TK和TH的平方的差或者）矩形KHM比正方形TH。但椭圆NBH将这个表示两个速度之和的扇形ATa分为两部分ABba和BTb，它们与速度成比例。因为，延长BT至圆上的β，并从点B向长轴落下垂线BG，它向两个方向延长交圆于点F和f，又因为空间ABba比扇形TBb如同矩形ABβ比正方形BT（因那个矩形等于来自TA和TB的正方形的差，由于Aβ在T被平分且在B不被平分）。所以这个比，当空间ABba在K最大时，与矩形KHM比正方形HT的比相同；但交点的最大的平均速度比太阳的速度按照这个比。所以在方照扇形ATa被分成与速度成比例的部分。又因为矩形KHM比正方形HT如同［矩形］FBf比正方形BG，且矩形ABβ等于矩形FBf。所以一小块面积ABba当它最大时比余下的扇形TBb，如同矩形ABβ比正方形BG。但这些小面积的比总如同矩形ABβ比正方形BT；且所以在位置A时的小面积ABba按照BG比BT的二次比，就是按照太阳离交点的距离的正弦的二次比，小于在方照时的类似的小面积。又由于所有小面积ABba的和，即空间ABN如同交点在一段时间的运动，在此期间太阳通过弧NA远离交点。且剩下的空间，即椭圆扇形NTB如同太阳在相同时间的平均运动。所以，因为交点的平均年运动是它在一段时间发生的运动，在此期间太阳完成了自己的循环，交点离开太阳的平均运动比太阳自身的平均运动，如同圆的面积比椭圆的面积，这就是，如同直线TK比直线TH，即TK和TS之间的比例中项；或者得到同样的结果，如同比例中项 TH比直线TS。
命 题 II
给定月球的交点的平均运动求真实运动。
设角A为太阳离交点的平均位置的距离，或者太阳离开交点的平均运动。如果又取角B，它的正切比角A的正切如同TH比TK，这就是，按照太阳的平均小时运动比当交点位于方照时太阳离开交点的平均小时运动的二分之一次比；同一个角B是太阳离开交点的真实位置的距离。因为连结FT，且从上一命题的证明中，角FTN是太阳离交点的平均位置的距离，而角ATN为太阳离交点的真实位置的距离，且这些角的正切彼此如同TK比TH。
系理 因此，角FTA为月球交点的均差，且当这个角的正弦最大时是在八分点，它比半径如同KH比TK＋TH。但在其他任意位置A这个均差的正弦比最大的正弦，如同角的和FTN＋ATN的正弦比半径：这几乎如同二倍的太阳离交点的平均位置的距离（即2FTN）的正弦比半径。
解释
如果交点的平均小时运动在方照为16″.16.37iv .42v ，这就是在整个恒星年中为39°.38′.7″.50，TH比TK按照数9.0827646比数10.0827646的二分之一次比，这就是，如同18.6524761比19.6524761。且所以TH比HK如同18.6524761比1，这就是如同太阳在一个恒星年中的运动比交点的平均运动19°.18′.1″. 。
但是，如果月球的交点的平均运动在20儒略年 （54） 的386°.50′.15″，作为在观测中得到的并用于月球的理论：则交点的平均运动在一恒星年为19°.20′.31″.58，且TH比HK如同360gr. 比19°.20′.31″.58′″，这就是，如同18.61214比1，因此交点在方照的平均小时运动成为16″.18.48iv 。且交点在八分点的最大均差为1°.29′.57″。
命题XXXIV 问题XV
求月球的轨道对于黄道的平面的倾角的小时变差。
指定A和a为朔望；Q和q为方照；N和n为交点；P为月球在它自己轨道上的位置，p为那个位置在黄道的平面上的射影，且为mTl为交点的运动的瞬如上。且如果向直线Tm落下垂线PG，连结pG，并延长它直至交Tl于g，再者也连结Pg；角PGp为当月球在P时月球的轨道对黄道的平面的倾角；且角Pgp为相同的轨道在时间的瞬完成之后的倾角，且因此角GPg为倾角的瞬时变化。但这个角GPg比角GTg如同TG比PG和Pp比PG的联合。且所以，如果以一小时代替时间的瞬；由于角GTg（由命题XXX）比角33″.10.33iv 如同IT×PG×AZ比ATcub. ，则角GPg（或者倾角的小时变差）比33″.10.33iv ，如同IT×AZ×TG×[（Pp）/（PG）]比ATcub. ，此即所求 。
如果假设月球在一条圆轨道上均匀地旋转，这些结果就是如此。但是，如果那个轨道是椭圆，交点的平均运动按照短轴比长轴之比减小，正如上面所阐述的。且倾角的变差也按照相同的比减小。
系理1 如果在Nn上竖立垂线TF，且设pM为月球在黄道的平面内的小时运动，并在QT上落下垂线pK和Mk，延长两者交TF与H和h：则IT比AT如同Kk比Mp，TG比Hp如同TZ比AT，且所以IT×TG等于（Kk×Hp×TZ）/（Mp），这就是，等于面积HpMh乘以比（TZ）/（Mp）；所以倾角的小时变差比33″.10.33iv 如同HpMh乘以AZ×[（TZ）/（Mp）]×[（Pp）/（PG）]比ATcub. 。
系理2 且因此，如果每个小时完成时，地球和交点从它们的新位置被拉回，并总是迅速地返回到它们原来的位置，使得经过一个整周期月它们给定的位置被保持，那个月的时间产生的倾角的整个变差比33″.10.33iv 如同点p在一次绕行期间生成的所有面积HpMh的累积，并由适当的符号“+”和“－”连接起来，再乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比Mp×ATcub. 。亦即，如同整个圆QAqa乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比Mp×ATcub. ，也就是，如同QAqa的周长乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比2Mp×ATq 。
系理3 所以，在交点的一个给定的位置，平均小时变差，它从该处均匀地持续一个月能产生那个月变差，比33″.10.33iv ，如同AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比2ATq ，或者如同Pp× 比PG×4AT，亦即（因Pp比PG如同上面所说的倾角的正弦比半径，且 比4AT如同二倍的角ATn的正弦比四倍的半径）如同同一个倾角的正弦乘以二倍的交点离太阳的距离的正弦比四倍的半径的平方。
系理4 因为，当交点在方照时，倾角的小时变差（由本命题）比角33″.10.33iv 如同IT×AZ×TG×[（Pp）/（PG）]比ATcub. ，亦即，如同 ×[（Pp）/（PG）]比2AT；这就是，如同月球离方照的距离的二倍的正弦乘以[（Pp）/（PG）]比二倍的半径；在交点的这一位置月球从方照移动到朔望期间（亦即，在17716小时的时间）的所有小时变差的和比同样数目的角33″.10.33iv 之和，或者5878″，如同所有月球离方照的距离的二倍的正弦的和乘以[（Pp）/（PG）]比同样数目的直径的和；这就是，如同直径乘以（Pp）/（PG）比圆周；亦即，若倾角为5gr. .1′，如同7× 比22，或者278比10000。且因此，总的变差，它由所述期间所有小时变差的和凑成，为163″，或者2′.43″。
命题XXXV 问题XVI
给定时间，求月球的轨道对于黄道的平面的倾角。
设AD为最大的倾角的正弦，且AB为最小的倾角的正弦。BD在C被平分，且以C为中心，BC为间隔画一个圆BGD。在AC上按照CE比EB之比与EB比2BA所具有的比相同，取CE；且对给定的时间，角AEG设为等于二倍的交点离方照的距离，并向AD落下垂线GH：则AH为寻求的倾角的正弦。
因为GEq 等于GEq +HEq =BHD+HEq =HBD+HEq －BHq =HBD+BEq －2BH×BE=BEq +2EC×BH=2EC×AB+2EC×BH=2EC×AH。且因此，由于2EC被给定，GEq 如同AH。现在指定AEg为某个给定的时间的瞬完成之后，交点离方照的距离的二倍，则弧Gg 由于角Geg被给定，如同距离GE。但是Hh比Gg 如同GH比GC，于是Hh如同容量GH×Gg，或者GH×GE；亦即，如同[（GH）/（GE）]×GEq 或者[（GH）/（GE）]×AH，亦即，如同AH和角AEG的正弦的联合。所以，如果AH在任意一种情形是倾角的正弦，由上一命题的系理3，它将以相同的增量与倾角的正弦一起增大，且所以总与那个正弦保持相等。但AH，当点G无论落在点B或者点D时，等于这个正弦，且所以总保持与它相等。此即所证 。
在这一证明中我曾假设角BEG，它是二倍的交点离方照的距离，均匀地增大。因为没有时间考虑均差的所有细节，现在设想角BEG为一直角，且在此情形Gg为二倍的交点和太阳彼此离开的距离的小时增加；且在同一情形倾角的小时变差（由上一命题的系理3）比33″.10.33iv 如同倾角的正弦AH和直角BEG的正弦之下的容量，比四倍的半径的平方，BEG是二倍的交点离太阳的距离；亦即，如同平均倾角的正弦AH比四倍的半径；这就是（由于那个平均倾角约为5gr. . ′）如同其正弦896比四倍的半径40000，或者如同224比10000。且总的变差，与正弦的差BD对应，比那个小时变差，如同直径BD比弧Gg；亦即，如同直径BD比半圆周BGD和时间 小时，在此期间交点自方照前进到朔望，比一小时的联合；这就是，如同7比22和 比1的联合。所以，如果所有的比联合起来，总的变差BD比33″.10.33iv 如同224×7× 比110000，亦即，如同29645比1000，且因此得出那个变差BD为16′. ″。
这是不考虑月球在它自己的轨道上的位置时倾角的最大变差。因为倾角，如果交点在朔望，一点也不会由于月球的位置的不同而变化。但如果交点在方照，月球在朔望时的倾角小于月球在方照时的倾角，超出为2′.43″；正如我们在上一命题的系理四所指明的。且月球在方照，总的平均变差BD，减少这个超出的一半1′. ″，变为15′.12″，但在朔望增大相同的量，变为17′.45″。所以，如果月球出现在朔望，总的变差在交点在从方照到朔望的路径上为17′.45″；且因此，如果倾角，当交点在朔望时，为5gr. .17′.20″；则当交点在方照且月球在朔望时，为4gr. .59′.35″。且这些结果已被观测证实。
如果现在需求当月球在朔望而交点在任意位置时轨道的倾角；设AB比AD如同4gr. .59′.35″的正弦比5gr. .17′.20″的正弦，并取角AEG等于二倍的交点离方照的距离：则AH是所寻求的倾角的正弦。当月球离交点90gr. 远时，轨道的倾角等于这个倾角。在月球的其他位置，月均差，它从属于倾角的变化，在计算月球的纬度时以消除的方式为交点运动的月均差所平衡（如我们在以上所说），且因此在纬度的计算中可以被忽视。
解释
我期望由月球运动的这些计算证明，月球的运动能由重力的理论从它们的原因算出。由同一理论我更发现月球的平均运动的周年差（æquatio annua），按照第一卷命题LXVI系理6，起源于月球的轨道的倾角由于太阳的力发生的变化。当太阳在近地点，这个力较大，且扩大月球的轨道；在远地点它较小，且允许那个轨道收缩。在被扩大的轨道上月球运行得较缓慢，在被收缩的轨道上月球运行得较迅速；且周年差，由它这一不等性被补偿，在太阳的远地点和近地点消失，在太阳离地球的平均距离上大约升高到11′.50″，在其他位置与太阳的中心差成比例；且当地球自它的远日点向近日点前进中，它被加到月球的平均运动上，又在轨道的对面部分，它被从月球的平均运动中减去。假定地球的大轨道的半径为1000，且地球的偏心距为 ，这个差，当它最大时，由重力理论得出为11′.49″。但地球的偏心率似乎略大；且如果偏心率增大这个差应按相同的比被增大。设偏心距为 ，则最大的差为11′.51&P... -->>
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