第III部分 论所受的阻碍部分地按照速度之比且部分地按照速度的二次比的物体的运动

    命题XI 定理VIII

    如果一个物体所受的阻碍部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比，且只由其固有的力在类似的介质中运动；而且时间被取作一算术级数，与速度成反比的量增加一给定的量成一几何级数。

    以中心C，直角渐近线CADd和CH画双曲线BEe，且AB，DE，de平行于渐近线CH。在渐近线CD上点A，G被给定。且如果时间用均匀地增加的双曲线的面积ABED表示；我说，速度能用长度DF表示，它的倒数GD与给定的CG一起构成按几何级数增长的长度CD。

    因为设小面积DEed是给定的极小的时间增量，则Dd与DE成反比且因此与CD成正比。所以1/（GD）的减量，它（由本卷引理II）是（Dd）/（GDq ），如同（CD）/（GDq ）或者（CG+GD）/（GDq ），亦即，如同1/（GD）+（CG）/（GDq ）。所以，当时间ABED由给定的小部分EDed相加均匀地增长，1/（GD）按照与速度相同的比减小。因为速度的减量如同阻力，这就是（由假设）如同两个量的和，其中的一个如同速度，另一个如同速度的平方；又1/（GD）的减量如同量1/（GD）及量（CG）/（GDq ）的和，其中前者是1/（GD）自己，且后者（CG）/（GDq ）如同1/（GD）q ：因此1/（GD），由于减量的相似（analogus），如同速度。且如果量GD，它与1/（GD）成反比，增加给定的量CG；它们的和CD，在时间ABED均匀地增加时，按几何级数增大。此即所证 。

    系理1 所以，如果点A和G给定，时间由双曲线的面积ABED表示，则速度能用GD的倒数1/（GD）表示。

    系理2 且取GA比GD如同在开始时速度的倒数比在任意时间ABED结束时速度的倒数，点G将被发现。当它被发现，由其他任意给定的时间能发现速度。

    命题XII 定理IX

    对同样的假设，我说，如果［物体］所画出的空间被取作一算术级数，速度增加一给定的量成为一几何级数。

    设在渐近线CD上点R被给定，且竖立垂线RS，它交双曲线于S，画出的空间用双曲线的面积RSED表示；又速度如同长度GD，它与给定的CG一起构成的长度按照几何级数减小，在此期间空间RSED按照算术级数增大。

    因为，由于空间的减量EDde被给定，短线Dd，它是GD自身的减量，与ED成反比，且因此与CD成正比，这就是，如同同一个GD和给定的长度CG的和。但是速度的减量，在与它成反比的时间，且在此期间给定的空间的小部分DdeE被画出，如同阻力和时间的联合，亦即，与两个量的和成正比，其中一个如同速度，另一个如同速度的平方，且与速度成反比；且因此与两个量的和成正比，其中一个被给定，另一个如同速度。所以速度的减量以及直线GD的减量，如同一个给定量和一个减小的量的联合；且因为减量相似，减小的量总相似；即是速度和［直］线GD相似。此即所证 。

    系理1 如果速度由长度GD表示，物体画出的空间如同双曲线的面积DESR。

    系理2 且如果任意假设点R，通过取GR比GD，如同开始时的速度比画出任意的空间RSED后的速度，发现点G。发现点G后，由给定的速度空间被给定，且反之亦然。

    系理3 因此，由于（命题XI）由给定的时间速度被给定，又由本命题由给定的速度空间被给定；从给定的时间，空间将被给定。且反之亦然。

    命题XIII 定理X

    假设一个物体由向下的均匀的重力吸引而直线上升或下降；并且它所受的阻碍部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比：我说，如果过共轭直径的端点引一个圆的和一条双曲线的直径的平行直线，又速度如同自一个给定的点所引的那些平行线的截段；则时间如同扇形的面积，它被自中心向截段的端点所引的直线割下；且反之亦然。

    情形1 首先我们假设物体上升，且以中心D和任意的半直径DB画四分之一圆BETF，又过半直径DB的端点作无穷的［直线］BAP平行于半直径DF。在其上点A被给定，且截段AP被取得与速度成比例。又由于阻力的一部分如同速度且另一部分如同速度的平方；总的阻力如同APquad. +2BAP。连结DA，DP截圆于E和T，且重力由DAquad. 表示，这样重力比阻力如同DAq 比APq +2BAP：则上升的总时间... -->>
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