第II部分 论所受的阻碍按照速度的二次比的物体的运动

    命题V 定理III

    如果一个物体所受的阻碍按照速度的二次比，且仅以其固有的力在一种类似的介质中运动；若时间被取为从较小项到较大项前进的几何级数：我说，在每一段时间开始时物体的速度按照同一几何级数的反比；又，空间是相等的，它们在每一段时间被画出。

    因为由于介质的阻力与速度的平方成比例，且速度的减量与阻力成比例；如果时间被分为无数相等的小部分，每一段时间开始时速度的平方与同样速度的差成比例。令那些时间的小部分为AK，KL，LM，等等，在直线CD上取得，且竖立垂线AB，Kk，Ll，Mm，等等，交以中心C，直角渐近线CD，CH画出的双曲线BklmG于B，k，l，m，等等，又AB比Kk如同CK比CA，由分比，AB-Kk比Kk如同AK比CA，由更比，AB-Kk比AK如同Kk比CA，且因此如同AB×Kk比AB×CA。因此，由于AK和AB×CA被给定，则AB-Kk如同AB×Kk；且最终，当AB和Kk重合，如同ABq。再由类似的论证，Kk-Ll，Ll-Mm，等等，如同Kkquad. ，Llquad. ，等等。所以直线AB，Kk，Ll，Mm的平方如同它们的差；于是，由于速度的平方也如同它们的差，两者的级数是类似的。由已证明的得出，这些线所画出的面积所成的级数也与速度所画出的空间所成的级数相似。所以，如果第一段时间AK开始时的速度由直线AB表示，第二段时间KL开始时的速度由直线Kk表示，且第一段时间画出的长度由面积AKkB表示；此后所有速度由此后的直线Ll，Mm，等等表示，且所画出的长度由面积Kl，Lm，等等表示。又由合比，如果整个时间由它的部分的和AM表示，画出的整个长度就由它的部分的和AMmB表示。现在想象时间AM被如此分成部分AK，KL，LM等等，使得CA，CK，CL，CM，等等在一几何级数中；那些部分在相同的级数中，且速度AB，Kk，Ll，Mm，等等，按照同一级数的反比，又画出的空间Ak，Kl，Lm，等等，相等。此即所证 。

    系理1 所以，显然，如果时间用渐近线的任意部分AD表示，且在时间一开始时的速度用纵标线AB表示；在时间结束时的速度用纵标线DG表示，则被画出的整个空间用双曲线之下的面积ABGD表示；一个空间，它能由另一物体在相同的时间AD，以初始速度AB，在没有阻力介质中画出，用矩形AB×AD表示。

    系理2 因此，在阻力介质中所画出的空间被给定，取那个空间比以均匀的速度AB能在无阻力介质中同时画出的空间，如同双曲线的面积ABGD比矩形AB×AD。

    系理3 介质的阻力亦被给定，在运动刚开始时使它等于一均匀的向心力，它能在一落体通过无阻力介质时，经时间AC，生成速度AB。因为如果引BT，它切双曲线于B，且交渐近线于T；直线AT等于AC，并表示时间，在此期间初始阻力均匀地持续能抵消掉整个速度AB。

    系理4 且因此这个阻力比重力，或者任意其他给定的向心力之比亦被给定。

    系理5 且反之亦然，如果阻力比任意给定的向心力之比被给定；时间AC被给定，在此期间等于阻力的一个向心力能产生任意速度AB：且因此点B被给定，经过它，以CH，CD为渐近线的双曲线被画出；以及空间ABGD，物体以那个速度AB开始它的运动，在阻力类似的介质中，经任意时间AD能画出它。

    命题VI 定理IV

    同质且相等的诸球形物体，所受到的阻碍按照速度的二次比，且仅由其固有的力推进，在与初始速度成反比的时间，总画出相等的空间，且速度失去的部分与整个速度成比例。

    依直角渐近线CD，CH画任意双曲线BbEe截垂线AB，ab，DE，de于B，b，E，e，初始速度由垂线AB，DE，且时间由直线Aa，Dd表示。所以，使Aa比Dd如同（由假设）DE比AB，且因此如同（由双曲线的性质）CA比CD；又由合比，如同Ca 比Cd。所以面积ABba，DEed，这就是，所画出的空间，彼此相等，且初始速度AB，DE与末速度ab，de成比例，所以由分比亦与它们失去的部分AB-ab，DE-de成比例。此即所证 。

    命题VII 定理V

    如果诸球形物体所受的阻碍按照速度的二次比，在与初始运动成正比且与初始阻力成反比的时间，运动失去的部分与整个运动成比例，且所画出的空间与那些时间及初始速度的联合成比例。

    因为运动失去的部分如同阻力和时间的联合。所以那些部分与整体成比例，阻力与时间的联合应如同运动。因此时间与运动成正比且与阻力成反比。由此，如果时间的小部分按照此比取得，物体总失去与整体成比例的运动的小部分。又由于速度之比被给定，它们所画出的空间总如同初始速度和时间的联合。此即所证 。

    系理1 所以，如果等速物体所受的阻碍按照直径的二次比：同质球以任意速度无论以何种方式运动，所画出的空间与它们的直径成比例，运动失去的部分与整体成比例。因为每个球的运动如同它的速度和质量的联合，亦即，如同速度和直径的立方的联合；阻力（由假设）如同直径的平方和速度的平方的联合；且时间（由本命题）按照前一个比的正比和后一个比的反比，亦即，与直径成正比且与速度成反比；且因此，空间，它与时间和速度成比例，如同直径。

    系理2 如果等速物体所受的阻碍按照直径的二分之三次比：同质球以任意速度无论以何种方式运动，所画出的空间按照直径的二分之三次比，运动失去的部分与整体成比例。

    系理3 且一般地，如果等速物体所受的阻碍按照直径的任意次比：空间，同质球以任意速度无论以何种方式在其中运动，运动失去的部分与整体成比例，如同直径的立方除以那个幂。令［球的］直径为D和E，且如果阻力，当假定速度相等时，如同Dn 和En 。空间，球以任意速度无论以何种方式在其中运动，运动失去的部分与整体成比例，如同D3-n 和E3-n 。且所以同质球画出的空间与D3-n 和E3-n 成比例，并按照与在开始时彼此之比相同的比保持速度。

    系理4 但是，如果球不是同质的，由较密的球画出的空间应按照密度之比被增加。因为运动，对于相同的速度，其大小按照密度之比，且时间（由本命题）按照运动的正比被增大，而所画出的空间按照时间之比。

    系理5 又，如果球在不同的介质中运动；在介质中的空间，其他情况相同，对阻力大的［介质］，按照较大的阻力之比被减小。因时间（由本命题）按照阻力增加的比被减小，且空间按照时间之比。

    引理 II

    一个生成量（gentium）的瞬（momentum）等于每个生成边的瞬乘以那些边的幂指数且连乘以它们的系数。

    我称每一个量为生成量，不用加法或减法，它由任意的边或者项在算术中由乘法、除法或求根生成；在几何中由求容积和边，或者比例的外项和内项生成。此类量是乘积、商、根、矩形、平方、立方、平方根、立方根，以及诸如此类。这里我考虑的这些量，是不确定的和变化的，且好像被一连续的运动或者流（fluxus）增加或减小；且我用瞬这一名称意指它们的瞬时增量或减量：使得增量为被加上的或正的瞬，且减量为被减去的或负的瞬。但是要防备把瞬理解为有限的小部分。有限的小部分不是瞬，而正是由瞬生成的量。它们应被理解为有有限大小的刚生成的成分。因为这个引理的目的不在于瞬的大小，而在于它们生成时的初始比。如果瞬被增量或者减量的速度（也可能被称为量的运动，变化和流数（fluxiones））或者与这些速度成比例的任何有限量代替，情形是一样的。但每个生成边的系数是一个量，它来自生成量除以这个边。

    情形2 假设AB总等于G，则容量ABC或者GC的瞬（由情形1）为gC+cG，亦即（如果G和g被AB和aB+bA代替）aBC+bAC+cAB。此理适于任意数目的边之下的容量。此即所证 。

    情形6 所以任意的生成量Am Bn 的瞬是Am 的瞬乘以Bn ，同时Bn 的瞬乘以Am ，亦即maAm-1 Bn +nbBn-1 Am ；指数m和n或者为整数，或者为分数，或者为正，或者为负。且此理适于多个幂之下的容量。此即所证 。

    系理1 因此成连比的量，如果一项被给定，其余项的瞬如同那些项乘以它们和给定项间隔的数目。令A，B，C，D，E，F成连比；且如果项C被给定，其余项的瞬彼此如同-2A，-B，D，2E，3F。

    系理2 且如果在四个成比例的项中两个内项被给定，外项的瞬如同相同的外项。同... -->>
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