二、界说方面的种种

    A. 可能的可能，“同一”的意义

    以前曾经说过逻辑系统可以说是可能的分类。最初就有可能的可能问题。可能的可能或者有别的条件，但无论可能分为多少，每一个可能总要是那一个可能才行。如果一个可能可以不是那一个可能，至少说话无意义，而可能就不能成其为可能。即以说话的可能而论，如果一个字可以不是那一个字，一句话可以不是那一句话，则语言文字不但无意义而且不能有意义。意义的条件不少，但至少有一条件为大家所承认，此即通常所称为同一律中的“同一”思想。

    1. 意义的条件。在此处我们顺便说几句关于“律”的话，然后表示“同一”能否是有意义的条件，最后因“同一”有此职责，提出“同一”的说法问题。

    a. “律”字的意义有二，一为“Jus”，一为“Lex”；若以这两意义为标准，通常所谓思想律者不是律。有些人的“思想”似乎不遵守思想律。有理性的思想的确遵守思想律；但有理性的思想，就是遵守思想律的思想；其结果是遵守思想律的思想，遵守思想律。思想“律”的“律”与其他的律大不相同，为免除误会起见，最好是把思想律这名称根本取消。以后谈到“必然”的时候还要提到此问题，此处从略。

    b. 设有以下命题————“这张桌子是四方的”，这命题之所以能成为一命题者，有它的不可缺少的条件。不满足此条件，一命题根本就不能成立。此不可缺乏的条件即“桌子”一定要是“桌子”，“四方”一定要是“四方”。如果“桌子”可以不是“桌子”，“四方”可以不是“四方”，则“这张桌子是四方的”，不能有意义。任何人稍微想一想即知道这个道理。如果“桌子”可以不是“桌子”，则指出任何一具体的东西说它是“桌子”，等于以无量数中的任何一名称去形容那个具体的东西。在这种情形之下说“这是桌子”的时候，我们不过发出多少声音或者画了几个样式，我们根本没有说话，也没有利用文字表示一个命题来。“四方”也是一样，其他名称亦莫不皆然。否定命题亦然。在“这张桌子不是四方的”这命题里，桌子固然一定要是“桌子”，“四方”固然一定要是“四方”，而“不是”也一定要是“不是”。

    c. 意义条件的同一是完全的同一、绝对的同一，否则它不能尽它为意义条件的责任。“同一”思想可以有另外的职务，但在此处可以不必提及。同一既是完全的同一、绝对的同一，则普通说法颇有问题发生。普通的说法有二：一是“一件东西与它本身相同”，一是“甲是甲”。前一说法把名称方面能有意义与否的条件当作形容事实的命题。这个根本说不通。在时点————空点，这个命题是真的，但在时间————空间，因为“天下无不变的是事体”是真的，这个命题是假的。后一说法也有毛病，一方面常常发生某甲是某甲的问题，另一方面又发生无论何时何地一件东西是否是甲的问题。若有这两方面的误会，同一思想就说不通了。比较说得通的办法是把具体的东西与名称完全分开。如果以x代表具体的东西，我们可以用“如果————则”式的命题表示“同一”的思想，说“如果x是甲，x就是甲”。这样的说法对于x那个具体的东西没有肯定的主张；x那个具体的东西可以是甲也可以不是甲，可以在一时是甲，在另一时不是甲，在一地是甲，在另一地不是甲。但对于甲有主张，那就是说甲总是甲。

    2. “同一”的证明问题。学过逻辑的人或者要提出“同一”的证明问题。所谓证明者可以从两方面说，一方面是形式的证明，另一方面是实质的证明（此处实质两字与以前实质两字的意义不同，此处表示事实）。前一方面称为证明，后一方面称为证实。先讨论证明问题。

    a. 证明是不能离开系统的问题，所以谈到证明，就谈到一特殊系统。在一特殊的系统范围之内，同一原则是可以证明的。P. M. 的基本概念中没有“同一”的思想，基本命题中也没有“同一”的原则；但“同一原则”与所谓“同一律”者在P. M. 均是推论出来的命题，那就是说它们都是得到证明的命题。其所以有如此情形者理由如下：

    （一）照现在的逻辑系统看来，只有基本概念是不给它们下定义的思想，亦只有基本命题是不给它们证明的命题。其他概念都有定义，其他命题都有证明。事实上办到与否是另一命题。

    （二）一系统的基本概念与基本命题的选择根据于简单便利等等问题或标准，而没有那一系统范围之外的根本与不根本的问题发生。在一系统范围之内的根本思想，在另一系统不必是根本的思想。

    （三）一系统范围之内有那一系统的特殊先后问题。照（二）条所说，“同一”概念不必是一系统的最先的思想，“同一”原则也不必是一系统的最先命题。

    （四）既然如此，如果一特殊系统的基本思想或命题是相当的或得当的，或能尽职的，而“同一”概念不是那一系统的基本概念，或“同一”原则不是那一系统的基本命题，则照那一系统的证明方式，“同一”概念当然是可以下定义的，而“同一”原则当然是可以证明的。

    b. 习于传统逻辑学的人，或者习于哲学的人，不免要说“同一律”非常之根本。无论你说一句什么话，那一句话就蕴涵“同一律”。形式方面的证明不能离开命题。引用任何的命题来证明同一律等于“先”承认同一律而“后”再证明“同一律”。这个意见，作者从前也相信，现在想想似乎问题全在“先”“后”两字。通常先后两字有时间方面的先后与逻辑方面的先后两意义。我们现在所要注意的当然仅是逻辑方面的先后，而逻辑方面的先后也有两个不同的意义。

    （一）宪法有成文与不成文的分别。这种字眼虽然容易发生误会，可是为求达意起见，我们似乎可以借用。逻辑方面的先后也有成文与不成文的分别。所谓成文的先后者是一系统内以语言文字或符号表示的命题的先后；所谓不成文的先后者是一系统内所有的命题彼此所能有而未以文字或符号表示的含义。在一系统范围之内只有成文的先后是那一系统所能承认的先后。为什么呢？如果我们有一个理想的演绎系统，这个系统有一万个命题。这个系统既是理想的，一定是百分的严格，既然是百分的严格，则从命题的不成文的含义方面着想，说了头几个命题的时候，已经说上了一万个命题。如果在这个理想的系统范围之内我们承认不成文的先后，则第一万个命题反可以说在头几个命题之先，因为头几个命题之含义中已经有第一万个命题在内。由此可见，在任何一系统范围之内，只有成文的先后是那一系统所能承认的先后。

    （二）既有以上的道理，则在一系统之内，“同一”原则的证明问题根本就不会有能不能证明的问题。如果同一思想是一系统中基本概念之一，我们不给它下定义；如果同一原则是一系统中基本命题之一，我们不给它证明。如果同一原则发现于一系统内推论出来的命题之中，则在那一系统范围之内，它已经有证明。如果既不是一系统的基本命题之一，也不在推论出来的命题之中，则那一系统，如果视为自足的逻辑系统，恐怕就有毛病。

    3. 证实问题。如果我们所求者是同一原则的证实问题，而所谓证实者是举事列物求与“同一”原则相符的事实，则我们根本谈不到证实。其所以有如此情形者理由如下。

    a. “同一”原则根本不能形容具体的事物的状态。我国的成语说“天下无不变的事体”。从性质方面说，事物在百年之内可变，在一年之内我们不能必其不变，既然如此，在一月、一日、一时、一秒钟之内，我们也不能必其不变。至多我们只能说在相当情形之下我们不能经验事物的变迁。但事物的变迁有我们所能经验的，有我们所不能经验的，有我们已经经验的，有我们未曾经验的。我们未曾经验一事物之变，不是说那一事物没有变；我们不能经验一事物之变，不是说那一事物不能变。总而言之，在有量时间事物总可以变，既可以变，则引用同一原则以形容有量时间的事物，所得到的或者是一个假命题，或者是一命题函量，有时假，有时真。无论如何，所得到的不是普遍的原则。

    b. 从关系方面着想，我们更可以说事物无时不变。具体的事物通常都认为是占时空的事物。别的关系可以不提，时空的关系总是在那里变。空间关系之变与不变完全要看环境的大小范围如何。若以天文学所研究的对象为环境，则我们房子里东西的空间关系无时不变。至于具体东西的时间上的关系当然是老在那里变。总而言之，具体的东西，无论从性质方面或从关系方面着想，总不能保其不变。既然如此，同一原则根本不能形容具体的事物。

    c. 如果我们把时间缩小到时点，缩小到不存在或不能经验的时点，我们或者可以意想得到一具体的事物在“时点”完全与它自己相同。可是我们要记得，这种“时点”的存在就发生问题。即令把“存在”两字的意义改变，使我们能说这种“时点”存在，而我们仍然不能经验它。我们既不能经验“时点”，当然也就不能经验在“时点”的具体的事物。总而言之，一个东西在时点上或者可以说与它自己完全相同，绝对相同，但是我们既不能经验此情形，则根本没有证实的问题。如果证实的问题有意义，则具体的东西一定是在时间的东西，而在时间的东西，我们不能保其不变，既不能保其不变，就不能谈同一。

    以上三点，都表示“同一”原则不是形容事物的原则，根本没有证实的问题。

    4. 同一原则的真假与有用或无用的问题。上面所说的是同一原则无所谓证实的问题；它不必要有这种证实才能成立，反过来说它也不因为没有证实就不能成立。现在有人提出同一的原则的真假问题与它有用或无用的问题。兹先提出真假问题，次提出有用与否的问题。此两问题的答案可以总结以上关于同一的讨论。

    a. 真假有两方面，一方面是不必真的真，不必假的假，另一方面是必真的真，必假的假。普通命题的真是不必真的真，假也是不必假的假；同一原则是逻辑命题，是以下所要解析的必然命题；它的真是必真的真，不是不必真而适真的真。

    （一）以上曾经说过，同一原则不是表示一件事实的命题，不是形容事物的命题。既然如此，引用天演变化以之为对于同一原则的批评根本就不相干。

    （二）同一原则无往而不真。它是本章B节所讨论的必然命题。必然命题对于事实毫无断定，对于可能莫不分别地承认。它根本不能假，关于这一点，下节当详言之。这里我们仅断定“如果x是甲，则x是甲”是一不能假的命题，而不能假的理由与其他必然命题之不能假的理由一样。

    （三）同一原则既是必真的命题，它没有通常所谓真假的问题。其所以发生通常所谓真假问题者，因为有些人误认它为断定事实或形容事物的普遍命题。承认这里第（一）条的理由，则同一原则不因其不表示事实而为假；承认第（二）条的理由，则它没有普通的真假问题。

    b. 有人说“同一”原则无用。所谓无用者是说此原则既不能形容具体的东西，则与“科学”不相干，于知识毫无用处。用与无用是根据于一种要求才能说的。没有一种普遍的有用或无用的东西或思想或原则。如果我们的要求是收复东北四省，至少我们可以说同一原则没有直接的用处。可是如果我们的要求是说话要有意义，则“同一”原则是不能缺少的。如果知识须用命题表示，则同一原则也是不可少的。如果科学是条理化的知识，而它的表现又是一组有系统的命题，则同一原则又是不可缺少的。既没有普遍的有用或无用的东西或思想，则有用无用的命题，似乎要看对于什么样的要求，才能有意义。

    B. 必然的解释

    在未讨论必然之前，我们可以提出一青年所难免发生的问题。作者在十几年前与同学清谈时，就不免表示对于算学家有十分的景仰。尤其使他五体投地的就是算学家可以坐在书房写公式，不必求合于自然界而自然界却毫不反抗地自动地承受算学公式。这问题在许多读者中或者根本没有发生过，或者发生过而自己有相当的解释，亦未可知。作者对于此问题，以算学素非所习，所以谈不到解释的方式。近年经奥人维特根斯坦与英人袁梦西的分析才知道纯粹算学————至少他们所称为“纯粹算学”的算学，或逻辑学，有一种特别的情形。此情形即为以上所称为逻辑的必然，或穷尽可能的必然。对于这种必然我们可以分以下三层讨论。

    同时，排中律就是一最简单而又最显而易见的必然命题，此处讨论必然命题，间接地也就是在那里讨论排中律。

    1. 要知道此种必然的性质，我们最好先谈二分法。设以X代表任何东西或事体或事实或思想，如果我们引用二分法，即有X与非X的正反的分别。

    a. 如果X代表类称，引用二分法后即有正反两种类称，那就是，X与（非X）。

    这种正反两分别的变类要看原来的类称数目多少。有X与Y两类，引用二分法后，就有四种不同的类称。如果以X代表非X类，Y代表非Y类，这四种类称如下：

    如果我们有XYZ三类称，引用二分法后，就有以下八类：

    由此我们可以看出如果我们以2表示正与反两分别，n代表原来类称数目，引用二分法后，所能有的类称的总数为2n 。

    b. 以上是以二分法引用于类称，可是当然不必限制到类称方面。现在研究逻辑的人似乎都觉得命题比类称还要根本。这一层在此处不必讨论。我们所注意的是二分法之引用于命题方面与用之于类称方面是一样的。命题也可以有正与反。普通以正为真、以反为假，我们可以照办。可是我们不要把真假看得太呆板，我们现在只认它们为正与反两绝对分别中之一种解释而已。如果我们有一个命题p，引用真假二分法后，就有以下真假可能：

    如果有两个命题p与q引用二分法后，就有以下四个可能：

    如果有三个命题p、q与r，引用二分法后，就有以下八个可能：

    这种可能我们称为真假可能。它的数目为2n ，与类称方面的正反可能一样。

    2. 类称方面的正反可能有正反可能的函数，命题方面的真假可能有真假可能的函数。我们从最简单的例着手。

    a. 一个命题p，引用二分法后，有真假两可能，我们最好用右边的方式表示这两个可能：

    可是对于这两个可能，我们从承认与否认方面着想，可以有四种不同的态度，或者说有四种真假可能的函数。这四种不同的态度，可以表示如下：以上“1”与“2”代表一命题的真假两可能，“a”“b”“c”“d”代表四种不同的态度，或真假可能的函数。原来的真假两可能是两个命题，一个说p是真的，一个说p是假的。a、b、c、d四个不同的态度是四个不同的命题如下：

    a. “p是真的”是真的或“p是假的”是真的。

    b. “p是真的”是真的而“p是假的”是假的。

    c. “p是真的”是假的而“p是假的”是真的。

    d. “p是真的”是假的，“p是假的”也是假的。

    以上四命题中“b”与“c”可以不必提出讨论，因为它们只承认真假两可能中之一可能。“b”命题不过是说“p是真的”，因“‘p是假的’是假的”等于“p是真的”。“c”命题不过是说“p是假的”，因“‘p是真的’是假的”等于“p是假的”。

    b. “a”与“d”两命题有特别的情形。“d”命题对于原来的两可能均不承认。原来的真假两可能一方面彼此不相容，另一方面彼此穷尽；事实上的情形无论如何的复杂均不能逃出二者范围之外。换句话说，所有的可能都包括在原来两可能之中。若将所有的可能均否认之是不可能，“d”命题既否认所有的可能，是一不可能的命题，那就是说是一矛盾。

    “a”命题与“d”命题的情形恰恰相反。“a”命题把原来任何可能都承认了。“d”命题不能是真的，而“a”命题则不能是假的。这两个命题的真假与寻常命题的真假不同。寻常命题或者是真的或者是假的，而这两个命题中一个不能不假，一个不能不真。

    我们要记得“a”命题说“‘p是真的’是真的或‘p是假的’是真的”。这不过是说“p是真的或者p是假的”。我们可以用一个很寻常的命题来试试。假如我们说“这个东西或者是桌子或者不是桌子”，这句话无论如何是不会错的。所谓“这个东西”者既可以是桌子，而不是其他的东西，但也可以是人，或者是椅子，或者是米，或者是西瓜，等等。可是无论它是什么，它都可以容纳到“是桌子或者不是桌子”的范围之内。照此看来“a”命题无往而不真，我们不能否认它，因为在引用二分法条件之下它承认所有的可能。

    同时我们也要注意“a”命题这样的命题对于具体的事实或自然界的情形根本就没有一句肯定的话。这种命题既不限制到一个可能而承认所有的可能，则无论在什么情形之下，它都可以引用。这就是承认所有可能的“必然”命题。

    c. 以上不过是就一个命题而说的话，如果有p、q两命题，原则一样，不过真假可能加多而已。p与q两命题的真假可能有四个如下：而这四个真假可能的函数则有十六个。那就是说，我们对于这四个可能可以有十六个不同的命题表示十六个不同的态度。此十六个命题之中有一个不可能的命题，有一个必然的命题。前者否认所有的可能，后者承认任何可能。

    如果我们有三个命题如p、q、r，我们有八个真假可能，有二百五十六个真假可能的函数。那就是说，我们可以有二百五十六个命题，表示对于这八个可能有二百五十六个不同的态度。这些命题之中有一个否认所有的可能，所以是矛盾的命题；有一个承认任何可能，所以是必然的命题。

    3. 凡从以上所讨论的必然的命题所推论出来的命题都是必然的命题。这句话容易说，而不容易表示，更不容易证明。现在姑就容易着手的一方面，表示逻辑的基本命题是方才所说的这一种必然的命题。逻辑与算学或者是已经打成一片，或者是可以打成一片，或者是根本不能打成一片；但无论如何，在P. M.的定义范围之内它们是已经打成一片。这部书的基本命题也就是它的逻辑与算学的前提。我们可以看看这些基本命题是否是必然的命题。

    P. M. 第一章（在1910年版中）有六个基本概念，一个定义，十个基本命题。基本命题之中，有五个是用符号表示的，有五个是用普通言语表示的。后者之中有两个是推论的规律。以语言表示的基本命题应否视为此系统的基本部分，颇发生疑问。无论如何本文可以不去管它们。我们在此处仅表示所有以符号表示的五个基本命题都是必然的命题。

    这是定义。我们要利用这个定义，去表示以下五个基本命题都是必然的命题。我们要知道：

    以上“～”代表“非”或“反”， 代表“或者”。

    1.2，├：p　p· ·p Pp.（Pp.表示是基本命题）

    这是第一个以符号表示的基本命题。照以上的定义它可以变成以下的形式：

    这个命题说“p或者是假的或者是真的”。一个命题p只有这两个可能，若此两可能之中任何一可能均为此基本命题所承认，它一定是必然的命题。

    照以上的基本定义，这命题可以变成以下诸形式：

    p与q两命题的真假可能可用下图表示：

    以上1.3与1.4两基本命题把p与q所有的真假可能中的任何可能均承认之，所以它们都是以上所讨论的必然命题。

    根据同样的办法，这一个命题可以有以下的形式上的变化：

    我们可以先把以上命题分成两部，用同样的办法改变它的形式。可是q～r对于p有两个可能：pq～r与～pq～r，所以以上又等于

    此中pq～r重复，但毫无妨碍。

    1=～p～q～r　2=p～q～r　3=～pq～r　4=～p～qr

    5=pq～r　6=p～qr　7=～pqr　8=pqr

    p、q、r三命题的真假可能共有八个，兹以上图表示。

    以上1.5与1.6两基本命题把p、q、r所有的真假可能中的任何可能均承认之，所以它们也是以上所讨论的必然命题。

    P. M. 的十个基本命题中，五个以语言表示的都没有“├”符号。有这个符号，表示这部书的作者肯定地说这些命题是真的。照以上的分析，这五个以符号表示的命题不但是真，而且都是必然的命题。

    C. 逻辑的取舍

    上面所提出的是必然的性质。我们费那么大工夫去讨论它，因为它是逻辑系统所要表示的实质。在本段我们要提出矛盾的性质，因为它是逻辑系统之所要淘汰的。但矛盾问题，我们在此处仅能讨论一部分，另一部分是自相矛盾与废话的问题，对于这问题，作者感觉麻烦，在本书不预备提出。所以本段所注意的仅为矛盾的性质及说法，表示它为逻辑之所舍，而非逻辑之所取。因为在此处注重逻辑的取舍，我们借这个机会讨论所谓“思想律”者在逻辑与逻辑系统的位置。

    1. 矛盾的性质。

    a. 在上段讨论必然时，已经说明引用二分法于一命题有真假两可能，而对于这两个可能，我们可以有四个真假函数。这四个之中，有一个是必然的命题，有一个是矛盾的命题。在上段我们所讨论的是第一命题，它是一个必然的命题。在本段我们要讨论第四命题。它是矛盾的命题，既然是矛盾，它是命题与否颇有问题，但现在我们可以不管。

    b. 为什么说它是矛盾命题呢？这个命题说“p是假的”是假的，那就是说p是真的；而又说“p是真的”是假的，那就是说p是假的。其结果这句话等于说“p既是真的又是假的”。这样的话通常认为是矛盾的命题，传统逻辑给我们这种习惯，在此处我们不妨引用故有的名称。矛盾的性质，因以上第四命题那样的说法，有使我们容易清楚明白的好处。我们既引用二分法，就是把可能分为两类。事实无所逃于此两可能之间，非此即彼，非彼即此，若将此两可能均否认之是不可能的。矛盾命题之所以为不可能者在此。若以以下命题为例：

    甲，“这（指一个东西）是四方的”引用二分法之后，就有以下命题。

    乙，“这（指那一东西）不是四方的。”

    事实上无论所指的东西是什么————是四方的也好，是长方的也好，是圆的也好等等————这两命题不能都是假的（废话问题以后再谈）。如果我们两可能均否认之，即否认二分法范围之内所有的可能。否认所有的可能当然是不可能，因为所有的可能都是不可能为一自相矛盾的命题。如果所有的可能都是不可能是一可能，则所否认的不是所有的可能；如果所否认的为所有的可能，则否认所有的可能不是一个可能。总而言之，矛盾之所以为不可能者，因为它否认所有的可能。

    2. 矛盾律的说法与证明等问题。“矛盾”这思想与“同一”一样也有说法与证明两问题。我们可以利用这两个问题表示矛盾之性质与它在系统内所具的形式。

    a. 矛盾所具的形式不一，兹以下列三说法为例：

    （一）一命题不能是真的与不是真的。

    （二）x不能是B与非B。

    （三）x不能是B与不是B。

    第一个说法完全是以命题方面的真假两可能为表示矛盾的工具。这在以命题为原子的逻辑系统范围之内是直接的相干的表示，而在以类为原子的逻辑系统范围之内它虽仍表示矛盾，而无直接的用处。可是我们不能说它在第二范围之内，没有直接的用处，就以为我们不能利用它为表示矛盾的工具。

    第二个说法是以类称方面的正反两可能为表示矛盾的工具。对于此说法我们可以加以注解说“B与非B”为不可能的类，所以“x不能是B与非B”。这个说法虽然与上面的一样表示矛盾，可是它在以类为原子的系统里，它的用处比第一说法更直接。这里有“非B”的范围问题，但在此处我们不提出讨论，因为这个问题牵扯到整个的“非”的问题。

    第三个说法可以说是以类表示矛盾，也可以说是以命题表示矛盾。在以类为原子的系统里，它有直接的用处，在以命题为原子的系统里，它也有直接的用处。若把类的系统与命题的系统联合起来成一系统，我们有系统范围之外的理由使我们先推演命题的系统，后推演类的系统。果若如此，则由（一）可以得（三），由（三）可以得（二）。如果我们有系统范围之外的理由使我们先推演类的系统，后推演命题的系统，我们或者能由（二）得（三），由（三）得（一）。

    总而言之，矛盾的表示形式对于系统是相对的。因一系统的原子不... -->>
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