一、逻辑系统通论

    A. 系统通论

    每一句话划分一种领域。领域有范围大小的不同，内部的秩序有程度高低的不同。每一领域至少有一系统。所以每一句话均可以说有系统为它的背景，比方北京人说：“某某去串门去了。”其他不管，即“串门”二字，已有一系统为背景，在那一系统之内，可以有好几个相联的命题，而这些相联的命题，联合起来，定“串门”二字的意义。系统因有范围大小的不同，及紧凑与松懈程度的不同，所以它的意义也就空泛而它的种类也就非常之多。平汉铁路是一系统，美国政府是一系统，伦敦的地道车是一系统，国际联盟也是一系统。所有的科学均为系统，而哲学系统是常用的名词。我们所要提出的不是普遍的系统问题，也不是寻常在事实上所称为系统的系统，而是演绎系统。

    l. 演绎系统当然也有范围大小与程度高低的问题。它的紧凑的程度比其余非演绎系统的程度高。它的特点如下：

    a. 出发点可以武断。演绎系统的出发点，从语言或命题方面说，大都是几个基本命题。这些基本命题与非演绎系统的基本原则不同。非演绎系统的基本原则或者是已经证明其为真命题或者我们相信其为真命题。真假问题不能与这些原则分开。演绎系统的基本命题则不然，它们的真假我们可以不管。它们与普通的假设也不同。普通的假设————归纳法的假设与普通任何科学中的假设————都是我们盼望它为真，或猜想它为真，或有多少证据使我们暂时承认其为真的命题。演绎系统的基本命题则不然，我们不必盼望它为真，也不暂时承认它为真；即我们疑心它是假的，也无碍于那演绎系统之为演绎系统。一演绎系统的基本命题为那一系统的出发点，我们既不必证明或假设其为真，我们选择的范围比较广，而究竟哪些命题为我们所选择，就很有武断的成分夹杂其间。

    b. 演绎系统的思想，除最初利用几个在系统范围之外的思想外，其他都可以称为自生的思想。所谓自生思想者即根据于系统的基本思想，用系统的产生工具与适合于系统所承认的方法而产生的思想。基本命题既不必为真，这些自生思想也不必适合于系统范围之外的事物。兹以欧克里几何为例。几何可以视为一演绎系统，也可以视为一门科学。我们现在所要注意的是演绎系统的几何。这个系统利用系统外的思想，如长宽厚等产生系统内的“点”“线”等思想。由“点”“线”等思想又产生“三角”“四方”等思想。严格地说，经验中没有那样的点与线，但点与线不因此经验问题就不能成为一演绎系统的基本思想。系统内的“三角”与“四方”是系统内自生的思想。这些思想虽可以与外界的情形符合，而不必与它们符合。即不与外界的情形或事物符合，而既为一系统的自生思想，它们仍有它们系统范围之内的位置。

    c. 演绎系统的各部分大都是互相关联的。关联的程度或有高低的不同，各部分的位置或有更改的可能，但一部分的更改总有使其他部分也有相当更改的必要。各部分的形式或有更改的可能，但一部分形式上的更改也使其他部分在形式上有相当更改的必要。一系统内的部分是这样，一部分的分子彼此的关系也是这样，我们似乎可以说一系统的部分与部分的关系，一系统分子与分子的关系，大都是内在关系。这里的话免不了说得含糊一点，若要正确，篇幅就太长。我们所要表示的是：演绎系统内部的结构彼此牵连的程度可以使我们说整个的系统是一有机的系统。这可以说是从正面着想。从反面着想，一演绎系统的最低限度是内部不能有彼此不相融洽的地方。但一系统在事实上彼此融洽不足以表示它是演绎系统。

    演绎系统或者尚有旁的特点，以上所举的已经可以表示它之所以异于其他系统者何在，所以我们也不必再追求特点提出讨论。

    2. 演绎系统大都分作两大部分：一曰演绎干部，一曰演绎支部。干部为系统的根本，支部为系统的枝叶。前一部所包含者为系统的基本概念与基本命题，后一部为由前一部所推论出来的命题。这不是说事实上所有的演绎系统都有一种成文的干部与支部，事实上的情形或者不是这样，但如果我们把任何演绎系统加以分析，我们可以把它分成一演绎干部一演绎支部。演绎干部可以分作二部，一为基本概念，一为基本命题；支部可以分作许多部分，也可以不分。干部以下分两段讨论，支部不需特别讨论；我们要表示的不过是干部既定，支部随之。

    a. 基本概念部分。所谓基本概念即一演绎系统的最基本的概念。关于基本概念我们似应注意以下诸点：

    （一）基本概念可以有定义，也可以无定义。我们可以用系统外之思想定一系统基本概念的意义，也可以不用系统外的思想，同时也就不给一系统的基本概念下定义。我们所要注意的是在一系统范围之内，我们不能用那系统的概念想给那一系统的基本概念下定义。我们可以说，如果我们在一系统的立场上，那一系统的基本概念是不能以那一系统的思想去下定义的；如果我们不在任何系统的立场上，一系统的基本概念似乎都是可以下定义的。

    （二）一系统不必有它所有的基本概念，那就是说，我们承认哪一些概念为基本概念大有选择的余地。从质的方面说，含义狭的概念不容易用为基本概念。含义狭就不富于推论，不富于推论就不容易用为基本概念。系统的历程大都是由简而繁————这似乎是一件事实，但究竟是势所必至的事实还是理有固然的情形，颇不易说————无论如何，复杂的思想不容易为基本的概念。我们对于基本概念虽有选择的余地，而选择的范围总免不了是一很小的范围。

    （三）从量的方面着想，一系统的基本概念的数目也是一问题。一方面基本概念的数目要少。恐怕偏于一边的说法是愈少愈好。如果基本概念太多，它们可以多到不必分别基本与非基本概念的程度，而系统的历程可以根本取消。基本概念的数目要少似乎是显而易见，但另一方面有便利问题。有时基本概念的数目可以减少到最低限度，而到了最低限度的时候，推论的历程太难、太长、太复杂，使求简的志愿，得之于思想方面，而失之于推论方面。我们似乎可以说基本概念的数目虽要少，但不宜少到减少推论不便利的程度。

    b. 基本命题部分。关于基本命题我们应注意以下数点：

    （一）从量的方面着想，基本命题的数目也宜从少，但不宜少到不够用的程度。所谓够用与不够用是指能不能推论所要推论出来的命题而言。每一系统不能缺乏它所必要包含的部分或命题，几何系统要包含几何学所必要的原则，逻辑系统要包含逻辑所必要的各部分。如果基本命题的数目少到不能推出一系统所必要的部分或命题，它们当然不够用。所以基本命题一定要够用。

    （二）基本命题一定要一致。基本命题是一系统的大前提，其他所有的命题都可以说是基本命题的“结论”。如果基本命题彼此不一致，由它们推论出来的结论也不一致。如果一系统内的命题彼此不一致，则所谓演绎系统者根本就不是演绎系统。我们现在所要表示的是基本命题要一致。至于究竟一致与否是一问题，而此问题的各方面有各种不同的困难。好在我们现在用不着谈到。

    （三）基本命题要彼此独立。所谓独立者是说它们彼此不相“蕴涵”。如果一命题蕴涵另一命题，则后一命题可以由前一命题推论出来，如能由前一命题推论出来，则举前一命题为基本命题等于举后一命题为基本命题。那就是说举前一命题已经够了。若前后两命题并举，不过是费词而已，其效果等于仅举前一命题。基本命题的数目既求其少，则它们彼此独立以免重复之病。

    c. 演绎支部就是由演绎干部所推论出来的各部分。此处所要注意的就是“推论”二字。“推论”二字或有含糊的地方，它们的含义至少有以下成分：

    （一）所有推论出来的部分，所有推论出来的命题，都是演绎干部所能有的部分、所能有的命题。从心理方面说，或从认识方面说，推论出来的部分或者有“新”的部分，推论出来的命题或者有“新”的命题；但从演绎干部所蕴涵的意义方面说，推论出来的部分或命题都是干部所有或能有的部分或命题，所以它们不是“新”的部分或“新”的命题。

    （二）推论出来的部分，都是已经证明的部分；推论出来的命题，都是已经证明的命题。证明与证实不同。证明仅有系统内的标准，证实尚有系统外的标准。如果我们把一演绎系统仅仅视为一演绎系统，我们仅有证明的问题；如果我们同时把它当作一门科学，则除证明问题之外，尚有证实问题。推论出来的部分或命题既云“推论”出来，则必遵守一系统的标准与它的推论的原则。既然如此，则在一系统范围之内，它们当然是已经证明的了。

    （三）推论出来的部分或命题，其性质其界说均由干部而定。干部的思想与命题，如为几何学方面的思想或命题，则推论出来的部分或命题也就是几何学方面的部分或命题。其他由此类推。部分的长短，范围的宽狭，命题的多少则不必因干部而定。所谓不必因干部而定者是说它们的标准可以是系统之外的标准。

    3. 照以上所说一演绎系统之性质，因其干部而定，所以干部的性质亦即整个系统的性质。既然如此，演绎系统的种类也就是干部的种类。现在我们要介绍一种演绎系统的通式。一种演绎系统的通式不是普遍演绎系统的通式，演绎系统不仅止于一种通式。一种演绎系统的通式本身不是一系统，好像Фx是一种命题的函量，而本身不是一命题。

    a. 兹举以下一种演绎干部通式。

    基本概念任指词：

    （一）原子，a，b，c，…

    （二）运算或关系，

    基本命题函量：

    b. 大部分的读者对于以上或者感觉茫然。“原子”， 等等均不知应作何解释。但以上以符号表示的公式其所以为干部通式者，一方面就是因为它可以有解释，而不必限于任何一解释，所以没有“应”作何解释的问题。以上的系统可以作以下的解释：

    （一）设以原子代表命题， 代表“或者”， 代表“与”，（a，b）代表任何命题， 代表“有”，U代表“真”，Z代表“假”， 代表“非a”，则以上基

    （十）至少有两个原子本命题函量都变成基本命题。例如（一）如（a，b）为两命题，a或者b也是一命题。（三）如（a，b）为两命题，“a或者b”等于“b或者a”。（九）的前一半为排中律，后一半为矛盾律。其他可以不举，读者可以自己去试一试。

    （二）设以原子代表“类”， 仍旧，U代表所有分子的类，Z代表无分子的类 代表“非a类”，则以上基本命题函量也就都变成基本命题。第九命题说，“a类或者非a类是有分子的类”“a类而又非a类是无分子的类”。其他命题都说得通。

    （三）以原子代表“区域”，或一种特殊的数目————如boolian integers————其余符号加以相当的解释亦都说得通。即以原子代表谈论的范围————universe of discourse————也可以说得通。每一个解释是一个系统。这些可以解释以上系统通式的系统是一种演绎系统，反过来说这一种演绎系统的通式就是以上所举的系统的通式。

    c. 因原子可以代表不同的东西， 可以代表不同的运算或关系等等，以上那种演绎系统通式可以解释成性质不同的系统。那就是说，它可以解释成一数目的系统，也可以解释成一几何的系统，也可以解释成类的系统或命题的系统。如果我们把逻辑一字限制到它的狭义范围之内，则一种演绎系统通式不必代表一逻辑系统。既然如此，以上所说的话虽可以说是与逻辑系统有关，而不必是对于逻辑系统的讨论。究竟什么样的系统是逻辑系统，以后还要谈到。

    B. 演绎系统与逻辑系统的界说

    每一演绎系统都划分一领域、一范围，或一界说。既有此情形，则必有达到此情形的工具。现在所要提出讨论的就是这种工具。

    1. 演绎系统划分界说的工具。演绎系统划分界说的工具大略可以分为以下三项：a.保留的工具，b.淘汰的工具，c.推行的工具。兹特分别讨论。

    a. 保留的工具。每一系统的原子就是那一系统所要对付的对象，每一系统的运算或关系就是运用那种对象的工具。有对象而无运用的工具，根本就不能有组织那对象的可能。有对象，有运用对象的工具，而无基本命题，则工具虽有，而运用工具的方法仍缺。基本命题的责任有时仅是一系统的大前提，有时兼是运用工具的法则。这两种不同的情形以后再讨论。无论如何基本命题总是一系统的前提。既是一系统的前提，则合于此前提的运用原子的方法，就是保留的标准。根据此保留的标准，原来的运用工具就变成了保留的工具。一演绎系统的支部都是要保留的部分。

    b. 不合于基本命题的运用原子的方法就是淘汰的标准，而根据此标准，原来的运用工具就变成了淘汰的工具。可是在此处我们要注意以上曾经提及的一点，即一演绎支部的部分的大小，命题的多少，不是系统内的问题，那就是说，演绎支部虽都是一演绎系统所要保留的部分，而不必是一演绎系统所能保留的部分。有些部分虽可以保留而没有保留，所以我们不能说没有保留的部分都是要淘汰的部分，我们只能说要淘汰的部分都是不能保留的。这样一来有些部分既不必保留，也不必淘汰。这些“中立”部分有时有特别的情形是我们所应注意的。对于这一层，以后到相当时期再说。>
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