二、由未解析的命题到类与关系的推演

    本章分以下各节：A.具一表面任指词的命题的推演；B.具两表面任指词的命题的推演；C.具相同思想的命题的推演；D.具叙述词的命题的推演；E.类词的发现与关系词的发现。本节的宗旨在介绍原书中一步一步的推演办法。

    A. 具一表面任指词的命题的推演

    1. 解释弁言。

    兹假设未解析的命题是“这（指一东西）是红的”，或“这（指一东西）比那个（指另一东西）大”这样的命题。这样的命题可以解析成“个体词（数目不定）————谓词（此处的谓词非第一部的宾词）”。如以“x，y，z…”表示个体，为个体词；以“φ，ψ，χ…”表示“性质”，为谓词；则未解析的命题可以容纳到“φx”或“φ（x，y）”等等的命题；而“φx”“φ（x，y）”等等，本书称之为命题函量。

    “x，y，z…”“φ，ψ，χ…”均称之为任指词。所谓任指词者，是说“x，y，z…”等虽指个体，而不指某一个体；“φ，ψ，χ…”虽指性质，而不指某一属性或某一关系质。这里的任指词似乎可以称为“变词”，但无论“任指词”这一名词是否有毛病，而“变词”这一名词总有毛病。词无所谓变，而“x，y，z…”“φ，ψ，χ…”也无所谓变。说它们变者在此处似乎是定与不定的问题。任指词一方面“定”，因为“x，y，z…”定指个体；另一方面“不定”，因为它们不定指某某个体。普通指必有所指，而所指者大都是能以“某一”相称的东西或情形。任指词既不指出一能以“某一”相称的东西或情形，而同时又有一固定的范围，所以“x，y，z…”指个体范围之内的任何一个，而“φ，ψ，χ…”指性质范围之内的任何一性质。

    “x，y，z…”所表示的个体，可以是，而不必是我们经验方面的“具体的东西”。个体两个字仅有相对的意义，它们所代表的不是性质，不是命题，不是函量；可是在一公式内是个体者在另一公式内不必是个体。此处所要求的个体不过是在一范围之内或不是那一范围之内的性质或命题或函量而已。

    “φ，ψ，χ…”为“谓词”，它们所代表的是性质。照此处的用法，性与质不同；性为质，而质不必为性；性属于一个体，所以称之为属性；质可以兼存于多数个体之间。兹以性质二字总其和。代表性质之词称之为“谓词”。谓词在此处与第一部所谈的宾词不同；在那里的宾词可以说是完全代表属性，此处的谓词也代表关系。“φ，ψ，χ…”均为谓词，均代表性质，不过没有指出某一性质而已。

    “φx”为命题函量，而非命题。“x”既未指出某一个体，“φ”也没有指出某一性质，“φx”无所谓真假，所以不是命题。它也是任指词，它虽未指出某一命题，而代表具某种形式的命题。假设“φ”所指者为“是红的”，则“x”的范围受限制；假设“x”所指者为我们所称为“书”的个体，则“φ”受限制。这里有能有意思与不能有意思的问题，本篇不提出讨论。

    我们可以用符号表示“φx”总是真的。如果我们遵照P. M. 的办法用“（x）”表示“任何”或“所有”或“凡”x，则“（x）φx”表示“一切都是φ”，或“φx总是真的”。如果我们用 表示“有x”或“至少有一x”，则 表示“有x是φ”，或“至少有一x是φ”。在P. M.中，（x）φx与 均视为命题，这或者是对于“φ，ψ，χ…”之所指，P. M. 根本没有兴趣。无论如何，假设我们写出这样一句话来，“（x）x是红的”；这句话是一命题，因为这等于说“一切都是红的”，而这里的x已经不是货真价实的任指词，而是P. M.中的apparent variable，本书称之为表面任指词。

    P. M. 中一部分的推论是（x）φx、 ，这样命题的推论，而这样命题的推论中也有（x）φx　φx这样的命题。这一部分就是本段的具一表面任指词的推论，它也有几个基本命题，可是在本书我们可以不必提出。本段仅抄出几个命题。证明的方式与上节的一样。我们在此处所注意的既仅是命题，而不是它们排列的系统化，我们不必抄写旧证明，也不必发现新证明。各命题的号数均为原书中的号数。

    2. 本段所选的几个命题。

    （这命题看起来似乎就是传统演绎法里的由A到I的推论，其实有问题。传统逻辑中的 A、E、I、O，不是（x）φx、 这样的命题，但蕴涵关系相似。）

    （此与10.25有同样的情形，它很像由E之真推到A之假。）

    （10.252好像是说I命题的假等于E命题的真，10.253好像是说A命题的假等于O命题的真。可是，我们还是要记在心里（x）φx、 等等不是传统逻辑中的A、I等等命题。）

    （此即普通三段论之一种。设“φz”代表“z是人”，“ψz”代表“z是会死的”，“x”代表任何一个体；则此命题说“如果任何一个体z是人蕴涵z是会死的，而x这一个体是人，则x是会死的”。通常引用的“所有的人都是会死的，孔子是人，孔子是会死的”是这样的三段论，其推论的根据就是这个命题。可是这命题与10.3那一命题不同。严格地说，只有那一命题才是AAA，这一命题不是，因为如果 是“A”命题，则φx不是“A”命题，而ψx的结果也不是“A”命题。同时我们也可以注意：传统演绎法既把三命题分开来，使人注重到它们在事实方面个别的真假问题；P. M. 系统没有说 是真的，也没有说φx是真的，也没有说ψx是真的；P. M. 只说10.26这一整个的命题是真的。）

    （此两命题是一对，10.27说如果凡φ是ψ，那么，如果一切是φ，则一切是ψ。10.28说如果所有的φ都是ψ，则有φ即有ψ。）

    （这就是说：说凡φ是ψ，凡φ是x，等于说凡φ既是ψ又是χ。）

    （此命题实即传统演绎法里的“AAA”，不过三个命题的位置稍有不同而已。传统的“AAA”的排列为大前提、小前提，而后结论；若照那样排法，此命题中的第二命题应该摆在最前面。可是，我们要知道，这命题前件中的两命题，哪一在前哪一在后，在本系统没有关系。

    在原书中，此命题的证明利用第一节中已证明的三段论的原则。

    这没有什么毛病，因为上节的命题是未解析的命题，所以是另外一套。兹以下例表示：

    2.39，那一命题如下，

    设以“p”代表“孔子是中国人”

    “q”代表“孔子是人”

    “r”代表“孔子是会死的”

    那么，2.39说：“如果孔子是中国人蕴涵孔子是人，而孔子是人又蕴涵孔子是会死的；则孔子是中国人蕴涵孔子是会死的。”我们若不用以上三命题，用另外意义无关的三命题，只要它们有以上真值蕴涵的关系，2.39那一命题仍为三段论原则。可是它没有表示：“如果凡中国人是人，凡人是会死的；则凡中国人是会死的。”这个，在本系统中，到10.3这一命题才表示出来，而这个推论才是真正的“AAA”。）

    （此两命题中头一个表示相等有传递质，第二个表示相等有对称质。）

    10.412，├：（x）·φx ≡ ψx·≡·（x）·～ φx ≡～ ψx

    （此命题与传统的直接推论的换质法相似，可是传统演绎法中的“A”命题不是“（x）·φx≡ψx”这样的命题。这样的命题，用普通语言表示，可以说是“所有的φ是所有的ψ”，或“无论哪一件东西说它是φ等于说它是ψ”，或“凡φ是ψ，凡ψ是φ”。

    l0.412说“说所有的φ是所有的ψ，等于说所有的非φ是所有的非ψ”，或“说凡φ是ψ，凡ψ是φ，等于说凡非φ是非ψ，凡非ψ是非φ”。）

    （此命题与10.42那一命题表示“或”与“与”的分别。那一命题的等号不仅表示前一部分蕴涵后一部分，而且后一部分蕴涵前一部分。10.5则不然，它说：“如果有x是φ与ψ（此一部分暂视为传统逻辑的“I”命题，“有φ是ψ”），则有x是φ，而且有x是ψ。”举例来说，“如果有x是四方桌子，则有x是四方的，而且有x是桌子”；但反过来可不成，如果有x是中国人，而且有x是外国人，我们不能跟着就说有x是中国外国人（既中国且外国的人）。在“或”一方面，前部与后部相等；在“与”一方面，前件与后件不相等。可是，我们要知道在普通言语中，有些用“或”的话也是不能反过来的，例如“杀人者一定是张三或李四”不等于“杀人者一定是张三或杀人者一定是李四”。）

    （此命题可以视为对待关系中由“I”假而得“E”真，由“E”真而得“I”假的推论；“有φ是ψ是假的等于无φ是ψ是真的”。此命题也可以视为由“E”到“A”的换质：“无φ是ψ等于凡φ是非ψ。”）

    （这命题表示第三部的讨论是相干的讨论，因为这命题差不多明明白白地说 不是Ac ，也不是Ah ，而是An 。它的前件说没有是“φ”的x，或“φ”不存在；既然如此，则设 ，后件为假命题，设 为Ah ，后件无意思。此命题既说如果无φ，则凡φ是ψ是真的，则所谓“凡φ是ψ”者只能是An 。而不能是Ac 或Ah 。）

    （此命题可以视为Disamis，第三格三段论之一式：

    有 φ是 χ，

    凡φ是ψ，

    所以有ψ是χ。

    不同之处就是：（x）·φx　ψx不是传统的“A”命题， 也不是传统的“I”命题，它们的位置也不是传统三段论大小前提的位置。）

    B. 具两表面任指词的命题的推演

    1. 解释弁言。

    在原书中，本段有好几个定义，有一个基本命题。我们在此处仍用A段的办法，抄写几个命题。本书所选的命题不一定就是原书中所认为重要的命题。这情形不限于本段，本节各段均有。

    表面任指词的数目可以很多，但在具多数表面任指词的命题中，仅举具两个表面任指词的命题以为例，已经够了。

    这里的“φ，ψ，χ…”仍为谓词，但个体词的数目增加，谓词所指的情形与以前的不一样，而谓词的解释也受影响。最容易使人想到的就是关系，可是φ（x，y）在此处仍为命题函量，关系词尚未出现。

    2. 本段所选择的几个命题。

    （此命题与A段的10.252、10.253那样的命题相似。本段的命题在普通的语言方面都有表示的困难。若必欲以普通语言表示，我们似乎可以说“说有是φ的（x，y）是真的（x，y不必代表两个个体）等于说无是φ的（x，y）是假的”。（x，y）虽不必代表两个个体，而可以代表两个个体。在普通语言方面，对于一个体x，说x“是”什么，似乎不发生问题；对于两个个体（x，y），说它们“是”什么，就有问题；至少在中文方面，有时用“是”，有时不用。）（这就是上面那个命题，把它反过来说而已。）

    （这是很重要的命题。我们可以举例如下：如果有x是任何y的上帝，则任何y有x是他的上帝；可是反过来不成，如果任何y有x是他的上帝，不见得有x是任何y的上帝；因为不仅所有的y可以有他们的共同的上帝，而且任何的y可以有他的个别的上帝。说这命题重要，不是说它包藏特别的大道理，是因为有好些人的反感以为它的后件真，前件亦真；没有这命题的明白表示，这反感或者不容易取消。）

    （这两个命题与10.27相似，不过前一命题表示蕴涵，后一命题表示相等而已。1l.32说：“如果凡是φ的（x，y）都是ψ的（x，y），那么，如果一切（x，y）是φ，则一切（x，y）是ψ。”11.33说：“如果凡（x，y）说它们是φ等于说它们是ψ，那么，如果说凡（x，y）是φ等于说凡（x，y）是ψ”。）

    （这与以上两命题差不多，不过后件不是具（x，y）这种表面任指词之命题，而是具 这种表面任指词的命题而已。这两种表面任指词的解释与A段一样。）

    （这命题与10.3一样，也是三段论原则，不过它是两个表面任指词的三段论而已。以关系为例或者容易清楚一点：“如果对于任何的（x，y），x是y的哥哥，则x与y有共同的父母；对于任何（x，y），x与y有共同的父母，则x与y有共同的祖宗；那么，对于任何（x，y），如果x是y的哥哥，则x与y有共同的祖宗。”）

    （以上命题可以说表示蕴涵有传递质，这个命题表示相等有传递质。同时它也是三段论原则之一。）

    （这命题与10.42那一命题一样。这可见它所表示的道理不限于表面任指词的数目的多少。“说有是φ的（x，y）或有是ψ的（x，y）等于说有是φ或是ψ的（x，y）。”还是以关系为例容易清楚一点，我们可以说，如果有比y长的x，或者有比y大的x，则有比y长或比y大的x；反过来我们也可以说，如果有比y长或比y大的x，则有比y长的x，或者有比y大的x。由前到后、由后到前既均可以说得通，则照定义，前后相等。）

    （此命题与10.5那一命题相似。它与11.41的分别也就是10.42与10.5的分别。即以上面的例也可以证实此命题。“如果有既比y长又比y大的x，则有比y长的x，也有比y大的x。”反过来可不成了。如果有比y长的x，也有比y大的x，不见得有既比y长又比y大的x，因比y长者不必比y大，比y大者不必比y长。）

    （此命题与11.41差不多，分别仅在（x，y）与 而已。）

    （此命题分三部分：头一部分说“有x，对于它‘无论任何y，φ（x，y）’是假的”，第二部分说“‘无论任何x，y，φ（x，y）’是假的”，第三部分说“有不是φ的x，y”。本命题说“说第一部分等于说第二部分等于说第三部分”。举例颇不容易。设第一部分为“有整数x，对于其他任何整数y，x大于y是假的”，这等于说“任何一整数大于另一整数是假的”，而这又等于说“有不大于y整数的 x整数”。）

    （这命题的形式与10.252差不多，但复杂多了。我们可以说，说有x无论任何y，x小于y，等于说无论任何x，有y，x不小于y是假的。）

    （此命题与“I”真等于“E”假差不多，但复杂多了。说有φ是ψ的（x，y），等于说无φ是ψ的（x，y）是假的。设φ（x，y）代表x与y同姓，ψ（x，y）代表x与y结婚，这命题说：说有同姓结婚者等于说同姓不婚是假的。）

    （11.52那一命题与“I”真等于“E”假差不多，11.521这一命题与“O”假等于“A”真差不多。）

    （这命题在语言方面前后两部分的分别很少。“它说有φx与ψy等于说有φx与有ψy。”此命题与11.42及10.5的不同处就是x与y无论代表一个体或不同的个体，它们总是两个个体词；此命题把φ、ψ两谓词分别地引用于两个体词，无论事实上分与合，前后两部分的真假值相等。举例言之，盼望能清楚一点。先就分言，设（x，y）代表两个体，例如有椅子与笔，则有椅子与有笔；而有椅子与有笔，则有椅子与笔，照定义，前后两部分相等。再就合言，请注意在此处我们先假设（x，y）代表一个体，在所谈的是一个个体的假设之下l0.5那一命题的前后两部也相等；例如有红脸与穿绿袍的“关云长”，则有红脸的“关云长”，有穿绿袍的“关云长”；而有红脸的“关云长”，有穿绿袍的“关云长”，则有红脸与穿绿袍的“关云长”。此处利用“关云长”以为个体者，不过是要表示所谈的是一个个体而已。在10.5的后一部分， ，我们无法知道是φ的x是否即为是ψ的x；如果是一个体，则那一命题的前后两部分的真假值相等，如果不是，则它们不相等。在本命题的前后部分，x与y事实上虽可以代表一个体，而在形式上它们本来是分开来的；无论是一个体也好，两个体也好，前后两部分的真假值总是相等。）

    （此命题与10.53相似。如果把 （x，y）：φ（x，y）· ·ψ（x，y）视为“A”命题那样的命题，则它不是Ac ，不是Ah ，而是An 。）

    C. 具相同的思想的命题的推演

    1. 解释弁言。

    P. M. 中这一部分的命题在本书中有解释方面的困难。相同的定义在原书中利用predicative function与axiom of reducibility两思想。本书因为种种理由，这两个思想根本没有介绍。所以原来的定义，本书不能直抄。同时用另外方法解释此定义，又为作者才力之所不能及。

    这里的同，本书说是“相同”，因为它是否即为我们在知识论方面所能承认为同一律之“同”颇有问题。为便利起见，我们分“同”为以下四种：

    甲、φ与φ同

    乙、φ与ψ同

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