一、未解析的命题的推演

    A. 解释弁言

    这里的解释分以下两条：1.关于符号；2.关于推论。

    1. 关于符号。

    以下的符号不必有以下的意义，可是事实上我们给它们以以下的意义。“p，q，r…”解释成未解析的命题。在本书我们不说它们是最初级的命题。“最初级的命题”这一名称似乎有困难。如果命题要解释，如果我们免不了要用解析的方法以研究命题的意义，则是否有“最初级的命题”，颇发生疑问。即有这样的命题，我们也不容易举例。我们手指一物说“这是红的”。“这是红的”是否最初级的命题颇不易说；但只要我们不解析它，它总是未解析的命题。

    “├”表示断定。每一命题都有断定的成分在内。假如我向窗外一望说“今天天晴”，“今天天晴”是一命题，有断定成分夹在里面；假如我讨论命题，说“即以‘今天天晴’”为例，严格地说，“今天天晴”不是命题，因为它没有断定的成分。“├”既表示断定，有此符号的命题，均为此系统断定为真的命题。

    “～”表示“非”“负”“假”。它可以视为运算（operation），也可以视为真假两值中的假值。有时运算与值一样，有时不一样。有此符号的命题有时此符号表示此命题之为假，有时无此表示。即以本系统的矛盾律而论，“├：～（p·～p）”，括弧外面那个“～”表示括弧里面的命题是假的；可是括弧里面那个“～”，严格地说，只能视为运算；因为假设p代表一真命题，则括弧里的“～”不过表示p的反面而已。但系统的推行既没有因此发生什么困难，我们也不必多所计较。

    ”表示“或者”， 表示“p是真的或者q是真的”。这里的“或者”是相容的或者，所以p、q皆真也是一可能，所排除的不过是二者皆假而已。 也可以读成“p、q之中至少有一为真”。负p或负q的情形同样，“～p ～q”可以读成“～p、～q之中至少有一为真”。～ 即“‘p、q之中至少有一为真’是假的”，那就是说“p是假的，q也是假的”。

    “=……Df ”表示定义，例如 。定义不是本系统的命题，它不过表示符号的用法而已。等号之后，加上“Df ”，即表示定义；那就是说，左边符号的意义就是右边符号的意义。定义既是以比较简单的符号代替比较复杂的符号，所以严格地说来，系统无定义也可以推行，不过不甚方便而已。

    表示“蕴涵”或“如果————则”， 表示“如果p是真的，则q是真的”。照定义，这句话的意义就是“p是假的或者q是真的”，或者“‘p是真的而q是假的’是假的”。这样的“如果————则”很受了些批评。它是否普通的“如果————则”，颇发生问题；普通的“如果————则”，究竟是怎样的“如果————则”也不见得容易认清楚。但普通的“如果————则”的诸意义中有这里的“如果————则”的意义，同时这里的“如果————则”，在本系统范围之内，似乎没有不清楚的地方。

    “·”表示“与”或“和”，或“而且”，或“既————又”；“p·q”表示“p与q都是真的”。这命题所要求的是p与q无一是假。基本定义说“p·q”的意义就是 的意义。点尚有另外用法，详见下述。

    “≡”表示命题的真假值相等，“p≡q”表示“p与q或者同真，或者同假”。它的定义是 。这就是说“p·q”或者“～p·～q”，因为 取消“p·～q”，而 取消“～p·q”。在P. M.（ Principia Mathematica之简称）中 “·”“≡”是分开来的，本书把它们的推演集为一部。

    点除表示“与”“和”……之外，尚有以之为括弧的用法，点的数目表示括弧的大小，数目愈大，则所包括的愈多；而断定符号“├”后之点表示断定的范围。兹以下式为例：

    断定符号后之两点表示所断定者为整个公式所表示的命题；命题中左右俱有一点的“ 为命题中的主要蕴涵关系。表示“与”的点例如“p·q”力量最小；在 两旁虽仅有一点，与表示“与”的点的数目相等，然因其力量大， 仍为此命题中之主要符号。

    每一命题均有号数表示，而证明所根据的命题仅写其号数。假如证明中有［1.1·1.2］这样的符号，此符号表示所引用以为证明的根据的命题为“1.1”与“1.2”两基本命题。

    表示以“～p”代替“p”，例如 ，此符号表示“1.2”

    那一基本命题———— ————以“～p”代替“p”，成所要引用的命题 。

    2. 关于推论。

    P. M. 中基本命题共有十个，本书仅抄六个。其余四个一方面在本书不甚重要，另一方面它们所应付的问题，本节不预备提出，所以根本没有抄写的必要。

    此处所谓“推论”是英文里的inference，推论原则即principle of inference。推论原则是非常之麻烦的原则，我们在第四部讨论它一方面的困难问题，此处不谈到。

    本节的推论约有以下诸点我们应注意。

    以下系统是现在所称为自足系统的系统，它有它本身所备的推论原则。既然如此，它的基本命题不仅是前提，而且是推论的方式。命题虽只有一套，而用法不只一样。有些前提只是前提，不能以之为推论方式，例如：

    所有的人都是有理性的动物，

    孔子是人，

    所以孔子是有理性的动物。

    这里的前提均不是推论的方式，前提的真假与推论的对不对不相干。设有下例，则情形不同：

    所有真命题所蕴涵的命题都是真命题，

    “q”是真命题所蕴涵的命题，

    所以“q”是真命题。这里的推论方式与以前的一样，其不同之处即此推论方式亦同时为其本身之一例。在此处我们承认大小前提为真命题，也承认大小前提蕴涵结论，也承认结论是真命题；可是，我们没有明白地说这里的结论就是小前提所说的“q”那样的命题。我们可以换一方法表示此意：设以此种推论方式为“A”方式，这里由大小两前提而达到结论的推论方式也是“A”方式；可是，我们虽知此方式为“A”方式，而没有明文表示它是“A”方式。所有的推论都有这里所说的情形，这情形不是推论原则的问题，是引用推论原则的问题。推论原则可以明文表示，而推论原则的引用，严格地说，不能以明文表示；因为推论原则的引用总是特殊的，而承认此引用为普遍方式之一例，也是特殊的。我们虽欲以明文表示推论方式的引用，每次所表示的虽在明文范围之内，而那一次的表示不在明文范围之内。换句话说，总有一次的引用是直接的；既然如此，我们不如干干脆脆、一刀两断，承认推论原则的引用是直接的。在第四部我们对于此困难问题，稍加讨论，此处不再提及。

    照以上所说的看来，头一例中的前提仅是前提，后一例中的前提不仅是前提，而且也是推论的方式。本系统中的基本命题不仅是前提，而且是推论原则；这不过是说，它们有两种用法。以它们为前提是把它们当作结论的根据，由它们所能得到的结论是本系统所能承认为真的命题；以它们为推论原则是把它们当作推论的根据；合乎此原则的推论是本系统所承认为对的推论。

    在解释符号的时候，我们曾举 ，说这符号表示 ，这一基本命题，以“～p”代替“p”之后，即为 。这里就有以基本命题为原则，直接断定后一命题即为前一命题的例。本系统... -->>
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