一、直接推论

    A. A、E、I、O的解释问题

    我们现在仍以传统逻辑的四个命题为讨论的根据，因为一方面它们最简单，另一方面它们又为稍习逻辑者之所深悉。在前部1章的B节我们讨论主宾词式的命题的时候，曾经提及A命题的各种可能的解释。不仅A命题有此问题，其他E，I，O均有。本段我们仅提出所谓主词存在问题。所谓主词存在问题不是事实上主词所代表的东西究竟存在与否，而是这些命题对于这些东西的存在与不存在的态度。这个态度影响到各命题的意义与它们彼此的关系。

    对于主词存在与否（即主词所代表的东西存在与否），我们可有以下百个不同的态度：

    （1）肯定主词不存在，

    （2）假设主词不存在，

    （3）不假设主词存在或不存在，

    （4）假设主词存在，

    （5）肯定主词存在。

    这五个不同的态度之中，头两个可以撇开，我们提出一命题大约不至于肯定主词不存在，或假设主词不存在。第三态度是逻辑里的通常态度，四、五两态度则日常生活中亦常有之。

    1. 不假设主词存在或不存在。设有具SAP形式的命题，我们的解释是S概念之中有P概念，而概念不必有具体的表现。那么无论有S与否，无论S存在与否，如果一个东西是S，那个东西就是P。这样的命题可以说是内包的命题，也可以说它所表示的是概念与概念的关系，可以表示而不必表示耳所能闻目所能见的事实。这种命题的真假不因主词的存在与否而受影响。兹特以下列符号表示之：

    SAn P ···················无论有 S 与否，凡 S 皆 P

    SEn P ····················无论有 S 与否，无 S 是 P

    SIn P ····················有 S 是 P，或无 S

    SOn P ···················有 S 不是 P，或无 S

    以上SAn P，简单地说，等于说“无SP”（P可表示非P），SEn P等于说“无SP”，SIn P等于说“有SP或无S”，SOn P等于说“有SP或无S”。

    2. 假设主词存在。设有具SAP形式的命题，我们的解释是以S的存在为条件，S存在，则SAP有真假的问题发生；S不存在，则SAP根本就无所谓真假。设有以下命题：“如果你进城，请你把李后主的词带给我。”若你果进城，你可以把那本书带给我，也可以不把那本书带给我。但是你如果决定不进城了，则根本谈不到带与不带。这种命题以主词的存在为条件，条件满足之后才有真假可说；条件未满足，谈不到真假。有这样解释的SAP等于说“如果有S，凡S皆P”。兹以下列符号表示此种命题：

    SAh P ···················如有 S，凡 S 皆 P

    SEh P ····················如有 S，无 S 是 P

    SIh P ····················如有 S，有 S 是 P

    SOh P ···················如有 S，有 S 不是 P

    3. 肯定主词存在。设有具SAP形式的命题，我们的解释是S所代表的东西存在，而此命题表示事实。在此解释之下，此命题可以分成两部分，一部分说有S，一部分说所有的S是P。S存在与否与SAn P那样的命题没有影响，S存在与否与SAh P有影响；如果S存在，SAh P才有意义，如果S不存在，则SAh P无所谓真假；现在的解释则又不同。如果S存在，SAP可以是真，也可以是假的；但如果S不存在，则SAP根本就是假的。“如果有鬼，鬼吃人”，如事实上无鬼，则根本无所谓吃人与不吃人；“有鬼而鬼吃人”，如事实上无鬼，则此命题是假的。兹以下列符号表示此第三种命题：

    SAc P ···················有 S，所有的 S 皆是 P

    SEc P ····················有 S，无一 S 是 P

    SIc P·····················有 S，有些 S 是 P

    SOc P ···················有 S，有些 S 不是 P

    传统逻辑的A、E、I、O在主词存在与否一层，即有意义不一致的情形。这个问题要详细地讨论一下，别的意义不清楚的地方本书从略。为清楚起见，我们先把传统逻辑的直接与间接的推论说明，各部加以批评，然后再总结到新式逻辑。

    B. 各种不同解释之下的对待关系

    如果我们提出存在问题，A、E、I、O的对待关系就发生影响。从主词存在与否这问题一方面着想，以上的A、E、I、O究竟应作何解释呢？在讨论命题的时候，从存在一方面着想，我们只提出三种不同的解释。解释不同，对待的关系也因之而异。

    1. 以 A、E、I、O 为 An 、En 、In 、On 。An 、En 、In 、On 是不假设主词存在的问题，主词存在与否与这些命题的真假不相干。这四个命题的解释如下：

    命题 　言语的表示 　 公式的表示

    SAn P “无论有S与否，凡S是P” （SP=0）

    SEn P “无论有S与否，无S是P” （SP=0）

    SIn P “有S是P，或无S” 　 ［（SP≠0）或（S=0）］

    SOn P “有S不是P，或无S” ［（SP≠0）或（S=0）］

    此四命题既有此解释，则它们的对待关系如下：

    a. SAn P与SEn P的关系。兹提出An 、En ，真假的可能。先用语言，后用图画。

    （一）

    ————真→（甲）S不存在，或

    （乙）S存在，而 不存在。

    ————假→（甲）S存在， 存在，而SP不存在。

    （乙）S存在， 存在，而SP也存在。

    SEn P=（SP=0）

    ————真→（甲）S不存在，或

    （乙）S存在，而SP不存在。

    ————假→（甲）SP存在，而 不存在。

    （乙）SP存在，而 也存在。

    （三）SAn P与SEn P为独立。此处所谓独立者，不过是说没有对待关系而已。

    SAn P与SEn P俱真————S不存在。S既不存在，SP不存在，而 也不存在。

    SP不存在，SEn P为真； 不存在，SAn P为真。如以上第一图。

    SAn P真而SEn P假———— 不存在，而SP存在。 不存在，所以SAn P真；SP存在，所以SEn P假。如上面第二图。

    SAn P假而SEn P真———— 存在，而SP不存在， 存在，所以SAn P假；SP不存在，所以SEn P真。如上面第三图。

    SAn P与SEn P俱假———— 存在，SP也存在。 存在，所以SAn P假；SP存在，所以SEn P假。如上面第四图。

    （四）以上表示SAn P与SEn P可以同时真，可以同时假，可以SAn P真而SEn P假，也可以SAn P假，而SEn P真。既然如此，它们没有传统逻辑里的反对关系，也没有传统逻辑里的任何对待关系。所以是独立。

    b. SIn P与SOn P的关系。

    （一）SIn P=［（SP ≠ 0）或（S=0）］

    ————真→（甲）S不存在，或

    （乙）SP存在，而 存在与否不定。

    ————假→（甲）S存在，而SP不存在。

    ————真→（甲）S不存在，或（乙） 存在，而SP存在与否不定。

    ————假→（甲）S存在，而 不存在。

    （请注意以上两命题不是简单的命题，而是两命题而联之以“或”的复杂命题。

    此两命题之中任何一真，则此复杂命题为真；此两命题俱假，此复杂命题始假。）

    （三）SIn P与SOn P的对待关系。

    SIn P与SOn P同真————S不存在，或SP存在， 也存在。S不存在，则两命题的后部分全真。SP存在， 也存在，两命题的前一部分都真。如上面第一与第四两图。

    SIn P真而SOn P假————SP存在而 不存在。SP既存在，S也存在，所以SIn P为真；但 不存在，所以SOn P假。如上面第二图。

    SIn P假而 存在，而SP不存在。 既存在，S也存在，所以SOn P真；但SP不存在，所以SIn P假。如上面第三图。

    SIn P与SOn P不能同假————同假的可能，仅是SP与 均不存在，但假设它们都不存在，则S不存在。此两命题既未假设亦未肯定S存在，照以上同真的条件看来它们都是真的，所以不能同假。

    （四）SIn P与SOn P的对待关系为下反对的关系。它们可以同时真，不能同时假。从（三）条二、三两项看来，有S，此两命题中才能有假命题；而有S的时候，一为假则另一必为真，一为真则另一的真假不定，因为它们可以同时真。

    c. SAn P与SOn P，SEn P与SIn P的关系。兹以SAn P与SOn P为例：

    （一）

    ————真→（甲）S不存在，或

    （乙）S存在而 不存在。

    ————假→（甲） 存在，而SP不存在。

    （乙） 存在，而SP也存在。

    SOn P=［ 或（S=0）］

    ————真→（甲）S不存在，或

    →（乙） 存在，而SP不存在。

    →（丙） 存在，而SP亦存在。

    ————假→（甲）S存在，而 不存在。

    （三）SAn P与SOn P的对待关系如下：

    SAn P与SOn P同真————S不存在。S不存在， 也不存在，所以SAn P真。但S不存在，SOn P这一命题的后一部分为真，所以SOn P也是真的，如第一图。

    SAn P真而SOn P假———— 不存在，而SP存在。 不存在，所以SAn P真。SP既存在，S当然存在，S存在而 不存在，则SOn P的前后两部分均假，所以整个命题为假，如第二图。

    SAn P假而SOn P真———— 存在，SP或存在或不存在。 既存在，所以SAn P假；SOn P的前部分为真，所以SOn P真；SP存在与否不相干，如第三第四两图。

    SAn P与SOn P不能同时假————照（一）（二）两条的图示看来，没有SAn P与SOn P同假的情形。

    （四）SAn P与SOn P的关系为下反对的关系，因为它们可以同时真，不能同时假。照（二）条的图示看来，如果SAn P为假，无论根据于两条件中的那一条件，SOn P总是真的；如果SOn P为假，只有一条件，而那一条件满足的时候，SAn P一定为真。但SAn P与SOn P既可以同时真，由一命题的真，不能推到另一命题的真假。SEn P与SIn P的关系同样为下反对。

    d. SAn P与SIn P，SEn P与SOn P的关系。兹以SAn P与SIn P为例：

    （一）SAn P=（SP=0）

    ————真→（甲）S不存在，或

    （乙）S存在，而 不存在。

    ————假→（甲） 存在，而SP不存在。

    （乙） 存在，而SP也存在。

    SIn P=［（SP ≠ 0）或（S=0）］

    ————真→（甲）S不存在，或

    （乙）SP存在，而 不存在，或

    （丙）SP存在，而 也存在。

    ————假→（甲）SP不存在，而 存在。

    （三）SAn P与SIn P的关系如下：

    SAn P与SIn P可以同真————S不存在，或S存在而 不存在。S不存在则SAn P为真，SIn P的后一部分真，所以也真。S存在而 不存在， 既不存在，SAn P为真。S存在 不存在，则SP一定存在，所以SIn P一定也真，如第一、第二两图。

    SAn P假而SIn P真————SP存在，而 也存在。两者都存在，则S存在而 存在，所以SAn P假。但S存在而SP也存在，所以SIn P的前一部分为真，所以SIn P为真，如第四图。

    SAn P假而SIn P亦假———— 存在，而SP不存在。SP存在，所以SAn P假； 存在，所以S存在，而SP既不存在，SIn P前后两部分均假，所以SIn P为假，如第三图。

    （四）SAn P与SIn P的关系为差等的关系；它们可以同时真，也可以同时假。但如果SAn P真，则SIn P必真，SAn P假，SIn P不定；如果SIn P真，SAn P不定，SIn P假，则SAn P必假。An 、En 、In 、On 的对待关系如下图所示。

    2. 以 A、E、I、O 为 Ac 、Ec 、Ic 、Oc 。Ac 、Ec 、Ic 、Oc 是肯定主词存在的命题，如果主词不存在，它们都是假的。它们都是两命题而联之以“与”的复杂命题，它们的解释如下：

    此四命题的解释如上，它们的对待关系如下：

    a. SAc P与SEc P的对待关系。

    （一）SAc P=［（S ≠ 0）与 ］

    ————真→（甲）SP存在与 不存在。

    ————假→（甲）S不存在，或

    （乙） 存在，SP不存在。

    （丙） 存在，而SP也存在。

    SEc P=［（S ≠ 0）与（SP=0）］

    ————真→（甲） 存在而SP不存在。

    ————假→（甲）S不存在，或

    （乙）SP存在， 不存在。

    （丙）SP存在，而 也存在。

    （此两命题既均为两部分以“与”联起来的复杂命题，只要一部分假，它们就假；要两部分都真，它们才能真。）

    （三）SAc P与SEc P的对待关系：

    SAc P与SEc P不能同真。以上四可能中，没有同真的可能。

    SAc P真，则SEc P为假；SEc P真，则SAc P为假。

    SAc P与SEc P可以同假；同假的理由有二，一为既无SP又无 ，一为既有SP又有 。

    SAc P假，则SEc P可以真，如第三图；也可以假，如第四图。

    SEc P假，则SAc P可以真，如第一图；也可以假，如第二与第四图。

    （四）SAc P与SEc P的对待关系，为反对的关系，因为它们可以同时假，不能同时真；由一命题的真可以推到另一命题的假，由一命题的假不能推到另一命题的真假。

    b. SIc P与SOc P的对待关系。

    （一）SIc P=［（S≠0）与（SP≠0）］

    ————真→（甲）SP存在，而 不存在。

    （乙）SP存在， 也存在。

    ————假→（甲）SP不存在，而 存在。

    （乙）SP不存在， 也不存在。

    SOc P=［（S≠0）与（SP≠0）］

    ————真→（甲） 存在，SP不存在。

    （乙） 存在，SP也存在。

    ————假→（甲） 不存在，SP存在。

    （乙） 不存在，SP也不存在。

    （三）SIc P与SOc P的对待关系如下：

    SIc P与SOc P可以同时真，如第二图之所表示。

    SIc P与SOc P可以同时假，如第四图之所表示。其所以如此者，因为它们都肯定S存在，S既不存在，它们都是假的。

    如SIc P为真，SOc P可以真如第二图，也可以假如第一图；如SOc P为真，SIc P可以真如第二图，也可以假如第三图。

    如SIc P为假，SOc P可以真如第三图，也可以假如第四图；如SOc P为假，SIc P可以真如第一图，也可以假如第四图。

    （四）SIc P与SOc P为独立。此处所谓独立者，不过是无对待关系中之任何关系而已。它们可以同时真，可以同时假，由一真不能推论到另一之真假，由一假也不能推论到另一之真假。

    c. SAc P与SOc P，SEc P与SIc P的关系。

    （三）SAc P与SOc P的对待关系：

    SAc P与SOc P不能同时真。四个图示中没有同时真的可能。第二图表示SAc P与SOc P同时假。这两命题之所以能同时假者，因为它们都肯定主词存在，如果主词不存在，这两个复杂命题的前一部分都是假的，所以两个整个的复杂命题也是假的。

    如果SAc P是真，则SOc P是假的，如第一图；如果SOc P是真的，则SAc P是假的，如第三、第四两图；如果SAc P是假的，则SOc P可以是真的，如第三、第四两图，也可以是假的，如第二图；如果SOc P是假的，则SAc P可以是真的，如第一图，也可以是假的，如第二图。

    （四）SAc P与SOc P有反对的对待关系。它们不能同时真，可以同时假；由一为真可以推到另一为假，由一为假不能推到另一为真为假。SEc P与SIc P同样。

    d. SAc P与SIc P，SEc P与SOc P的对待关系。

    （三）SAc P与SIc P的对待关系如下：

    SAc P与SIc P可以同时真，如第一图之表示。

    SAc P与SIc P也可以同时假，如第二图与第三图之表示。

    第二图表示无S或主词不存在，所以两命题均假；第三图表示SP存在，所以SAc P为假，而SP不存在，所以SIc P为假。

    SAc P为真，则SIc P必真，如第一图；SIc P为真，则SAc P可以真，如第一图，也可以假，如第四图。

    如SAc P为假，则SIc P可以真，如第四图，也可以假，如第二、第三两图；如SIc P为假，则SAc P必假，如第二，第三两图。

    （四）SAc P与SIc P有差等的关系。它们可以同时真，可以同时假。如果SAc P真，则SIc P必真，SAc P假，SIc P不定；如果SIc P真，SAc P不定，SIc P假，则SAc P必假。SEc P与SOc P同样。兹以下图表示Ac 、Ec 、Ic 、Oc 的对待关系。

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