民众珠算

    【歌诀】　除法歌诀，可分为下列九类：

    〔一归〕　逢一进一　逢二进二　逢三进三　逢四进四　逢五进五　逢六进六　逢七进七　逢八进八　逢九进九

    注　法数只有一位时，这一类歌诀，是没有用的。

    〔二归〕　二一添作五　逢二进一十　逢四进二十　逢六进三十　逢八进四十

    〔三归〕　三一三十一　三二六十二　逢三进一十　逢六进二十　逢九进三十

    〔四归〕　四一二十二　四二添作五　四三七十二　逢四进一十　逢八进二十

    〔五归〕　五一倍作二　五二倍作四　五三倍作六　五四倍作八　逢五进一十

    〔六归〕　六一下加四　六二三十二　六三添作五　六四六十四　六五八十二　逢六进一十

    〔七归〕　七一下加三　七二下加六　七三四十二　七四五十五　七五七十一　七六八十四　逢七进一十

    〔八归〕　八一下加二　八二下加四　八三下加六　八四添作五　八五六十二　八六七十四　八七八十六　逢八进一十

    〔九归〕　九一下加一　九二下加二　九三下加三　九四下加四　九五下加五　九六下加六　九七下加七　九八下加八　逢九进一十

    【定位】　除法运算的结果，商数的单位，向左推移，不在原实的单位，推移的位数，看法数的位数而定，如以三除三十六，得数十二。三是法数，三十六是实数，十二是商数，因为法数三是“个”位，只有一位；所以，商数十二的单位，应比实数三十六的单位，移左一档。馀可类推。

    【练习】　除法练习，当法数只有一位时，用小九归法，口诀如下：

    〔二归〕　二一添作五　逢二进一十　逢二进一十　二一添作五　逢四进二十　逢四进二十　二一添作五　逢六进三十　逢六进三十　二一添作五　逢八进四十　逢八进四十　二一添作五(617283945)

    〔还原〕　二五一十　二四如八　二九十八　二三如六　二八十六　二二如四　二七十四　二一如二　二六十二

    〔三归〕　三一三十一　逢三进一十　逢三进一十　逢三进一十　三一三十一　逢六进二十　逢六进二十　逢六进二十　三一三十一　逢九进三十　逢九进三十(41152263)

    〔还原〕　三三得九　三六十八　三二如六　三二如六　三五十五　三一如三　三一如三　三四十二

    〔四归〕　四一二十二　逢四进一十　四三七十二　逢四进一十　四二添作五　逢四进一十　四一二十二　逢八进二十　逢四进一十　四三七十二　逢八进二十　四二添作五　逢八进二十　四一二十二　四二添作五(3086419725)

    【还原】　四五二十　四二如八　四七二十八　四九三十六　四一如四　四四十六　四六二十四　四八三十二　四三十二

    〔五归〕　五一倍作二　五二倍作四　五三倍作六　五四倍作八　逢五进一十　逢五进一十　五一倍作二　逢五进一十　五二倍作四　逢五进一十　五三倍作六　逢五进一十　五四倍作八(246913578)

    〔还原〕　五八四十　五七三十五　五五二十五　五三十五　五一如五　五九四十五　五六三十　五四二十　五二一十

    〔六归〕　六一下加四　逢六进一十　六三添作五　六四六十四　逢六进一十　六三添作五　逢六进一十　逢六进一十　六一下加四　逢十二进二十　逢六进一十　六三添作五(205761315)

    〔还原〕　六五三十　六一如六　六三十八　六一如六　六六三十六　六七四十二　六五三十　六二十二

    〔七归〕　七一下加三　七五七十一　七四五十五　逢七进一十　七二下加六　逢七进一十　七四五十五　逢七进一十　七四五十五　逢七进一十　七五七十一　逢七进一十　七二下加六　逢十四进二十(17636684馀1)

    〔还原〕　馀一不必乘　七四二十八　七八五十六　七六四十二　七六四十二　七三二十一　七六四十二　七七四十九　七一如七

    〔八归〕　八一下加二　八四添作五　八三下加六　逢八进一十　八二下加四　逢八进一十　八一下加二　逢八进一十　八七八十六　逢八进一十　八六七十四　逢八进一十　八五六十二　八二下加四　八四添作五(15432098625)

    〔还原〕　八五四十　八二十六　八六四十八　八八六十四　八九七十二　八二十六　八三二十四　八四三十二　八五四十　八一如八

    〔九归〕　九一下加一　九三下加三　九六下加六　逢九进一十　九一下加一　九六下加六　逢九进一十　九三下加三　逢九进一十　九一下加一　逢九进一十　逢九进一十(13717421)

    〔还原〕　九一如九　九二十八　九四三十六　九七六十三　九一如九　九七六十三　九三二十七　九一如九

    【归除】　归除就是多位法数的除法，先用归的歌诀来除，再用乘的歌诀来减。现在举例说明如下。

    例如：　用三十八除一百十四。先看法数“三十八”首位是三，就用三归歌诀，除实数首位一，呼“三一三十一”得商数三。次用法次位八，和商数三相乘，呼“三八二十四”在商数右一档，减去二十四。恰好减尽，于是便知商数是三。

    归除遇着实数过小，不够递减时　就要应用下列两项补助法：

    撞归法

    〔一归〕　见一无除作九一〔二归〕　见二无除作九二

    〔三归〕　见三无除作九三〔四归〕　见四无除作九四

    〔五归〕　见五无除作九五〔六归〕　见六无除作九六

    〔七归〕　见七无除作九七〔八归〕　见八无除作九八

    〔九归〕　见九无除作九九

    起一还原法

    〔一归〕　无除起一下还一〔二归〕　无除起一下还二

    〔三归〕　无除起一下还三〔四归〕　无除起一下还四

    〔五归〕　无除起一下还五〔六归〕　无除起一下还六

    〔七归〕　无除起一下还七〔八归〕　无除起一下还八

    〔九归〕　无除起一下还九

    六　斤两法

    【两求斤法】　要把两数化为斤数，或把一斤的价值，求出一两的价值，就须应用两求斤法。歌诀如下：

    一退六二五　二改一二五　三改一八七五　四改二五　五改三一二五　六改三七五　七改四三七五　八改五　九改五六二五　十改六二五　十一改六八七五　十二改七五　十三改八一二五　十四改八七五　十五改九三七五

    〔例一〕　一斤价值一百二十八文，求一两价值多少。先把“一二八”摆在算盘，次由末位八化起，连呼“八改五”“二改一二五”“一退六二五”三诀，得数“八”，便知一两价值八文。

    〔例二〕　把六十四两，化为斤数，先把“六十四”摆在算盘，次由末位四起，连呼“四改二五”“六改三七五”二诀，得数“四”，便知斤数是四斤。

    【斤求两法】　要把斤数化为两数，或把一两的价值，求出一斤的价值，就须应用斤求两法。运算的方法如下：

    先把原实数，用六乘之，求得积数，然后再把原实数进一档加上积数，便能得到所求的数。

    〔例一〕　把三斤化为两数，先把“三”摆在算盘，次用六乘之，得十八；再把三加入“十”位，得四十八，便知三斤的两数，是四十八两。

    〔例二〕　一两价值十二文，求一斤价值多少。先把“十二”摆在算盘，次用六乘十二，得七十二，再把十二加入“百”“十”两位，得一百九十二，便知一斤价值一百九十二文。