16 这位陌生人试图用语言向我解释空间国的秘密，但没有成功

; “你生活在一个平面上。我把这个巨大的平面叫作一个液面，而你们把它叫作平面国。你和你的同胞们生活在这个平面表面，或者说生活在这个平面中，你们既不能浮到这个液面以上，也不能沉到这个液面以下。

    “我不是一个平面图形，而是一个立体图形。你把我叫作一个圆，但事实上我不是一个圆，我是无数个大小不同的圆组成的图形。最小的圆只是一个点，最大的圆直径有13英寸，这些圆全部叠加在一起，就成了我。你所在的平面会在我的身体上切出一个截面，就像现在这样，这个截面是一个圆。在我自己的国家中，我真正的名字是球。但你把我叫作圆是完全正确的，因为一个球要想出现在平面国居民的眼前，他的形象就只能是一个圆。

    “你不记得了吗————昨天晚上，我看见你头脑中关于直线国的幻象了，因为平面国的一切我都能看得清清楚楚————我说，你不记得了吗？当你走进直线国时，虽然你是个方形，你却只能在国王面前呈现出一条线段的样子。因为直线国的维度太少，无法将你的形状完整地呈现出来。国王只能看到你的一部分，或者说只能看到你的截线。现在的情况和你梦里的情况完全一样，你们平面国只有两个维度，而我是一个三维物体，所以我无法在平面国中展现我的全貌。你只能看到我的一部分，或者说只能看到我的截面，这个截面就是你所说的圆。

    “我看到你的目光变暗了，你一定是还不相信我说的话吧。你可看好了，我现在就向你证明我所言非虚。确实，你每次只能看到一个圆，也就是我的一个截面，因为你没法把目光移到平面国的平面以外。但是，当我在空间中逐渐升高时，你至少能看出我的截面在越变越小吧。现在，你看，我要升高了；你的眼睛应该能看到我所呈现的圆形越变越小，直到收缩为一个点，然后完全消失。”

    我没法看到他的“上升”过程，但他确实越变越小，最终消失在我的视野里。我眨了一两次眼睛，以确保自己不是在做梦。但是，这真的不是梦。从虚空的深处传来一个空洞的声音，那声音仿佛是从我的心脏附近发出的：“我有没有完全消失？现在你相信了吗？好吧，现在我要逐渐回到平面国中来了，你将看到我的截面变得越来越大。”

    任何一位空间国的读者都能轻松地理解，这位神秘的访客不仅没有说谎，而且说的都是浅显易懂的事实。但是，对我来说，尽管精通平面国的数学，我还是很难理解他的话。就连空间国的小孩也能看懂下面的这几幅粗糙的示意图吧。这三幅图描述了球在上升过程中所处的三个位置。在我看来，或者说在任何一个平面国居民看来，这个球的样子始终是一个圆：一开始圆的面积最大，然后逐渐变小，最后变得非常小，几乎成了一个点。但是，当时的我只能看到眼前的事实，却根本搞不清现象背后的原理。我只能理解到，这个圆将自己越变越小，直至完全消失，然后他又再次出现在我面前，并且快速地越变越大。

    变回原始大小以后，这个圆深深地叹了一口气，因为他从我的沉默中猜到，我根本没有理解他的意思。事实上，当时我已经开始相信，此人根本不是一个圆————他一定是一个特别机灵、会变戏法的骗徒，否则那些古老的迷信传说岂不就是真的了？毕竟，世界上确实有魔术师和巫师之类的人。

    陌生人良久不语，然后他喃喃地对自己说：“现在只剩最后一个法子了，如果这个法子再不奏效，我就只能采取行动了。我必须试试类比的办法。”接着又是一阵更久的沉默，然后陌生人再次开口说起话来。

    球：“告诉我，数学家先生。如果一个点向北面移动，并留下一条发光的轨迹，你管这条轨迹叫作什么呢？”

    我：“一条线段。”

    球：“那么一条线段有几个端点呢？”

    我：“两个。”

    球：“现在，假设这条南北向的线段沿东西方向平行移动，于是线段上的每个点都会在东西方向上留下一条直线形的轨迹。你怎么称呼由此形成的图形呢？我们假设线段移动的距离与线段的原始长度相等————你把这个图形叫作什么？”

    我：“一个正方形。”

    球：“那么一个正方形有几条边？有几个角？”

    我：“四条边和四个角。”

    球：“现在，发挥一下你的想象力，想象平面国中的一个正方形平行向上移动。”

    我：“什么？您是说向北移动吗？”

    球：“不，不是向北移动。向上移动，移到平面国以外去。

    “如果这个正方形向北移动，那么正方形中靠南边的点就会经过靠北边的点原来占据的地方。我不是这个意思。

    “既然你就是一个正方形，我们就以你为例来说明吧。我的意思是说，你身体上的每一个点————按照你的说法，就是你身体内部的每一个点————都会在空间中向上移动，但是任何一个点都不会经过其他点曾经占据过的地方。每一个点留下的轨迹都是一条仅属于它自己的线段。我这是在用类比的方式向你说明，你一定能听明白吧。”

    此时，我已经产生了一种强烈的冲动。我只想没头没脑地冲向这位访客，把他扔回空间里去，或者说扔到平面国以外的随便什么地方去，反正只要能让他从我眼前消失就行。但我强忍住不耐烦的心情，回答道：

    “既然您说‘向上’移动正方形能产生一个新的图形，那么请问，这个图形究竟是什么性质的图形呢？我假定您总可以用平面国的语言来描述这个图形吧。”

    球：“哦，当然可以。这个形状非常简单，只需通过严格的类比就能推出————只是，顺便说一声，你不能把这个新的形状叫作‘图形’，因为他是一个立体形。但是我可以向你描述这个新的形状。准确地说，我描述不了，但类比的方法可以让你明白这个新的形状是什么样的。

    “首先，假设我们有一个点。既然是一个点，那么他当然只有1个顶点。

    “通过移动一个点，可以得到一条线段。一条线段有2个顶点。

    “通过移动一条线段，可以得到一个正方形。一个正方形有4个顶点。

    “下面的问题，你自己就可以回答了：1，2，4，这显然是一个几何级数。那么这个级数中的下一个数字是什么呢？”

    我：“8。”

    球：“完全正确。所以说，通过移动一个正方形，能够产生一个新的形状。现在你还不知道这个形状的名字，但我们空间国的人把他叫作‘立方体’。一个立方体有8个顶点。现在你相信我所说的了吗？”

    我：“既然您说这个新的形状有‘顶点’，那想必就是我们说的‘角’了。那么这个新玩意儿也有侧边吗？”

    球：“当然有侧边，这一点通过类比就可以推演出来呀。但是，这个新形状的侧边其实不是你们所说的‘侧边’，而是我们所说的‘侧面’。一个‘侧面’就相当于平面国中的一个实心图形。”

    我：“按照您的说法，将我的内部平行向上移动，就能得到一个新的形状，你们把这个形状叫作立方体。那么，这个新的形状究竟有多少个实心图形，或者说有多少个侧面呢？”

    球：“你怎么还问我？你不是数学家吗！恕我冒犯，我这么说吧：任何一个形状都可看作是由一些‘侧元素’围成的，每个‘侧元素’的维度总是比这个形状的维度小1。因为一个点是零维的，所以点没有‘侧元素’；以此类推，线段有2个‘侧点’（我们可以把线段的两个端点称作是他的‘侧点’）；正方形有4条侧边；0，2，4，你把这个级数叫作什么？

    我：“算术级数。”

    球：“那么这个级数里的下一个数字是多少？”

    我：“6。”

    球：“完全正确。你瞧，你自己就能回答这个问题吧。通过移动正方形产生的这个立方体是由6个‘侧面’围成的，也就是说由6个你的内部围成的。现在你都明白了吧，对不对？”

    “怪物，”我尖叫道，“不管你是骗子、巫师、噩梦，还是魔鬼，我都不能再忍受你的恶作剧了。现在让我跟你拼个你死我活吧。”我一边这么说，一边冲向眼前的这个怪人。