第XIII部分 论非球形物体的吸引力

    命题LXXXV 定理XLII

    如果被吸引物体当它与吸引物体邻接时的吸引远强于当它们彼此分开即使极短的一段间隔时的吸引：吸引物体的小部分的力，在被吸引物体退离时，按照离小部分的距离的高于二次的比减小。

    因为如果力按离小部分的距离的二次比减小；向着球形物体的吸引，因为它（由命题LXXIV）与被吸引物体离球的中心的距离的平方成反比，在接触时，不会显著增加；且接触时，它增加得更少，如果吸引在被吸引物体在退离时按更小的比减少。所以本命题对吸引球是明显的。凹球形壳吸引外面的物体，情形相同，且在壳吸引放置在它们中的物体时更是如此，因为通过壳的空腔的各个方向的吸引被相反的吸引（由命题LXX）抵消，因此即使在接触时，也没有吸引力。如果从远处取去这些球或者球壳的任意部分，且在任意地方增加新的部分，这些吸引物体的形状可随意改变，然而增加或者去掉的部分不显著增加来自接触的吸引的超出，因为它们远离接触位置。所以此命题对所有形状的物体成立。此即所证 。

    命题LXXXVI 定理XLIII

    如果小部分，由它们构成吸引物体，它们的力当吸引物体退离时，按照离小部分的距离的三次比或者高于三次的比减小：在接触时的吸引远强于当吸引物体和被吸引物体相互分开即使极短的一段间隔时的吸引。

    因为吸引当被吸引的小物体靠近这类牵引球时吸引增大以至无穷，这由问题XLI中例二和例三所给出的解确立。通过把那些例子和定理XLI相互比较，对向着凹凸球壳的吸引，容易得出同样的结论，无论被吸引物体被放置在壳外，或者放置在它们的腔中。然而，在接触位置之外的任何地方，通过增加或者去掉这些球或者壳的吸引物质，使吸引物体被赋予任意指派的形状，此命题对所有物体普遍成立。此即所证 。

    命题LXXXVII 定理XLIV

    如果两个物体由彼此相似，且由同等的吸引物质构成，分别吸引与它们自身成比例的小物体，并且小物体相对于它们位于相似的位置：小物体向着整个物体的加速吸引如同小物体向着与整个物体成比例且在它们中位于相似位置的小部分的加速吸引。

    因为如果物体被分成小部分，它们与整个物体成比例，且相似地位于整个物体中；向着一个物体的任意一个小部分的吸引比向着另一个物体的对应的一个小部分的吸引，如同向着第一个物体的每一个小部分的吸引比向着另一个物体的对应的每一个小部分的吸引；且由合比，如同向着第一个物体整体的吸引比对第二个物体整体的吸引。此即所证 。

    系理1 所以，如果小部分的吸引力，随着被吸引的小物体的距离的增加，按照距离的任意次幂的比减小；向着整个物体的加速吸引与物体成正比且与距离的那个幂成反比。因为，如果小部分的力按照离被吸引的小物体的距离的二次比减小，且物体如同Acub. 和Bcub. ，因此物体的立方根，以及被吸引的小物体离物体的距离，如同A和B：向着物体的加速吸引如同（Acub. ）/（Aquad. ）和（Bcub. ）/（Bquad. ），亦即，如同物体的那些立方根A和B。如果小部分的力按照被吸引的小物体的距离的三次比减小；向着整个物体的加速吸引如同（Acub. ）/（Acub. ）和（Bcub. ）/（Bcub. ），亦即，相等。如果力按照四次比减小，向着物体的吸引如同（Acub. ）/（Aqq. ）和（Bcub. ）/（Bqq. ），亦即，与立方根A和B成反比。且对其余情况，亦是如此。

    系理2 因此，另一方面，从力，由它们相似的物体牵引相对于这些物体处于相似位置的小物体，能推知在被吸引的小物体退离时，小部分的吸引力减小的比；只要那种减小按照距离的某个正比或者反比。

    命题LXXXVIII 定理XLV

    如果任意物体的相等的小部分的吸引力如同位置离小部分的距离：整个物体的力趋向它的重力的中心；并且与由相似和相等的物质构成且其中心在那个重力的中心的球的力相同。

    设牵引某一个小物体的物体RSTV的小部分A，B的力，如果小部分彼此相等，如同距离AZ，BZ；若不然，假定小部分不相等，力如同这些小部分与它们的距离AZ，BZ的联合；或者（如果可以这样说的话）如同这些小部分分别乘以它们的距离AZ，BZ。且这些力由那些容量A×AZ和B×BZ表示。连结AB，且它被截于G，使得AG比BG如同小部分B比小部分A；则G是小部分A和B的重力的公共的中心。力A×AZ（由诸定律的系理II）被分解为力A×GZ和A×AG，且力B×BZ被分解为力B×GZ和B×BG。但是力A×AG和B×BG，由于A比B和BG比AG成比例，它们相等；且由此由于指向相反的方向，相互被抵消。剩余的力是A×GZ和B×GZ。这些力从Z趋向中心G，并合成力 ×GZ；这就是，与假如吸引的小部分A和B被放在它们的重力的公共的中心G，并在那里构成一个球时的力相同。

    由同样的论证，如果加入第三个小部分C，且它的力与趋向中心G的力 ×GZ合成，产生趋向那个在G的球和小部分C的重力的公共的中心的力；这就是，趋向三个小部分A，B，C的重力的公共的中心；且与假如球和小部分C被放在那个重力的公共的中心，并在那里构成一个更大的球时的力相同。且如此进行以至无穷。所以，任意物体RSTV的所有小部分的总的力，与假如那个物体保持重力的中心，被赋予球的形状时的力相同。此即所证 。

    系理 因此，被吸引物体Z的运动与假如吸引物体RSTV为球时是相同的；且所以，如果那个吸引物体或者静止，或者均匀地一直前进；被吸引物体在中心在吸引物体的重力的中心的椭圆上运动。

    命题LXXXIX 定理XLVI

    如果多个由相等的小部分构成的物体，小部分的力如同位置离每个［小部分］的距离：由任意的小物体被牵引的所有的力合成的力，趋向物体的重力的公共的中心；且这与假如那些牵引物体保持它们重力的公共的中心，并在那里结合，形成一个球时是一样的。

    这一命题按照与上一命题相同的方式被证明。

    系理 所以，被吸引物体的运动与假如牵引物体保持它们重力的公共的重心，并在那里结合形成一个球时是一样的。且因此，如果牵引物体的重力的公共的中心或者静止，或者在一条直线上均匀地前进；被吸引物体在中心在牵引物体的重力的公共的中心的椭圆上运动。

    命题XC 问题XLIV

    如果趋向任意圆的每一个点有按照距离的任意比增加或者减小的同等的向心力：需求力，由它位于一条直线上任意位置的一个小物体被吸引，直线在圆的中心垂直立于圆的平面。

    设以A为中心，任意AD为间隔，在与直线AP垂直的平面上想象着画一个圆；并需求力，由它任意小物体P被向着同一个圆牵引。从圆上任意的点E向被吸引的小物体引直线PE。在直线PA上取PF等于PE，并竖立成直角的线FK，它如同力，由这个力点E牵引小物体P。再设曲线IKL是点K持续接触的曲线。曲线交同一个圆的平面于L。在PA上截取PH等于PD，并立垂线HI交前述曲线于I；则小物体P向着圆的吸引如同面积AHIL乘以高度AP。此即所求 。

    因为在AE上取极短的线Ee。连结Pe，且在PE，PA上取PC，Pf等于Pe。又因为力，由它在前述平面上以A为中心，任意AE为间隔所画的环的任意点E被物体P吸向自身，被假定为如同FK，且因此力，由它那个点向着A牵引物体P，如同（AP×FK）/（PE），则力，由它整个环向着A牵引物体P，如同环... -->>
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