关灯
护眼
字体:

第X部分 论物体在给定表面上的运动及摆的往复运动

首页书架加入书签返回目录

请安装我们的客户端

更新超快的免费小说APP

下载APP
终身免费阅读

添加到主屏幕

请点击,然后点击“添加到主屏幕”

    命题XLVI 问题XXXII

    假设一种任意种类的向心力,且既给定力的中心又给定一个平面,物体在其上任意地运行,再者许可曲线图形的求积:需求从给定的一个点,以给定的一个速度,沿在那个平面上的一条给定的直线离去的物体的运动。

    设S为力的中心,SC为这个中心离给定的平面的最小距离,物体P从位置P沿直线PZ离去,同一物体Q在自己的轨道上运行,且那个轨道PQR为应求的在给定平面上画出的轨道。连结CQ,QS,且如果在QS上取SV与向心力成比例,由它物体被拉向中心S,并引VT平行于CQ且交SC于T:力SV被分解(由诸定律的系理II)为力ST,TV;它们中的ST沿垂直于平面的直线拉物体,一点也不改变在这个平面上它的运动。但另一个力TV,沿位置给定的平面作用,物体在给定的平面上直接地被拉向点C,使得那个物体在这个平面上如此运动,好像力ST被除去,且物体仅由力VT在自由空间中围绕中心C运行。但向心力TV给定,由它物体Q在自由空间中围绕给定的中心C运行,不但轨道PQR(由命题XLII)被给定,它由物体画出,而且位置Q被给定,在那里物体在任意给定的时间将被发现,最后在那个位置Q物体的速度被给定;且反之亦然。此即所求 。

    命题XLVII 定理XL

    假设向心力与物体离一个中心的距离成比例;则在任意平面上无论怎样运行的所有物体都将画出椭圆,且完成运行的时间相等;又,在直线上运动的那些物体来回奔跑,各自往复的循环在相同的时间完成。

    因为,保持上一命题的所有情形,力SV,由它在任意平面PQR上运行的物体Q被拉向中心S,如同距离SQ;且因此,由于SV和SQ,TV和CQ成比例,力TV,由它在给定轨道平面上的物体被拉向点C,如同距离CQ。所以力,由它位于平面PQR上的物体被拉向点C,按照距离的比等于一个力,由它物体从各个方向被拉向中心S;所以在相同的时间,物体在相同的图形,在任意平面PQR围绕点C运动,一如它们在自由空间中围绕中心S运动;且因此(由命题X系理2和命题XXXVIII系理2)总在相等的时间,无论它们在那个平面上围绕中心C画出椭圆,或者在那个平面上在过中心C所引的直线上完成循环的往复运动。此即所证 。

    解释

    物体在曲面上的上升和下降与这些[我们刚讨论过的运动]密切相关。设想在一个平面上画出的曲线,然后它们围绕任意穿过力的中心的给定轴转动,且由这一转动画出曲面;物体如此运动,使得它们的中心总在这些曲面上被发现。如果那些物体倾斜地上升和下降,往返奔跑;它们的运动在穿过轴的平面上进行,因此在曲线上进行,由曲线的转动产生了那些曲面。所以在这些情形,考虑在那些曲线上的运动就够了。

    命题XLVIII 定理XVI

    如果一只轮子立于一个球的外表面并与此面成直角,且它在[球面的]一个最大圆上如轮子滚动那样前进;曲线的长度,它由轮子边缘上任意给定的一点从该点与球接触时起做出(可称之为旋轮线或者圆外旋轮线),比一段弧的一半的正矢的二倍,球在轮子前进的时间接触它,如同球的和轮子的直径之和比球的半直径。

    命题XLIX 定理XVII

    如果一只轮子立于一个凹球的内表面并与此面成直角,且它在[球面的]一个最大圆上滚动着前进;曲线的长度,它由轮子边缘上任意给定的一点从该点与球接触时起做出,比一段弧的一半的正矢的二倍,球在轮子前进的整个时间接触它,如同球的和轮子的直径之差比球的半直径。

    设ABL为球,C为它的中心,轮子BPV站立在它之上,E为轮子的中心,B为切点,且给定点P在轮子的边缘。想象这只轮子在最大圆ABL上自A经B向L前进,在它的前进期间滚动使得弧AB,PB彼此总相等,且那个在轮子边缘给定的点P在此期间画出曲线路径AP。设AP是自轮子在A接触球之后画出的整个曲线路径,则这条路径AP的长度比弧 PB的正矢的二倍,如同2CE比CB。因直线CE(如果需要就延长之)交轮子于V,又连结CP,BP,EP,VP,且在CP的延长上落下成直角的VF。设切圆于P和V的PH,VH交于H,又PH截VF于G,再往VP上落下成直角的GI,HK。以同样的中心C和任意间隔画圆nom截直线CP于n,轮子的边缘BP于o,又截曲线路径AP于m;又以中心V和间隔Vo画圆截VP的延长于q。

    因为轮子在前进中总围绕切点B滚动,显然直线BP垂直于那条曲线AP,它由轮子上的点P画出,因此直线VP与这条曲线在点P相切。逐渐地增大或者减小圆nom的半径并最终使它等于距离CP;由于正消失的图形Pnomq与图形PFGVI相似,正消失的短线Pm,Pn,Po,Pq的最终比,亦即,曲线AP,直线CP,圆弧BP,以及直线VP瞬时变化率,分别与直线PV,PF,PG,PI的相同。但由于VF与CF且VH与 CV垂直,所以角HVG,VCF相等;又角VHG(由于四边形HVED在V和P是直角)等于角CEP,三角形VHG,CEP相似;且由此得出EP比CE如同HG比HV或者HP且如同KI比KP,又由合比或者分比,CB比CE如同PI比PK,后项加倍得CB比2CE如同PI比PV,且如同Pq比Pm。所以直线VP的减量,亦即,直线BV-VP的增量比曲线AP的增量按照给定的比CB比2CE,且所以(由引理IV的系理)长度BV-VP和AP,它们被那些增量生成,按照相同的比。但是,以BV作为半径,VP为角BVP或者 BEP的余弦,且因此BV-VP是同一个角的正矢:所以在这个轮子上,它的半径为 BV,BV-VP是弧 BP的正矢的二倍。所以,AP比弧 BP的正矢的二倍如同2CE比CB。此即所证 。

    为了区别起见,我们称前一个命题中的线AP为球外旋轮线,后一命题中的另一线为球内旋轮线。

    系理1 因此,如果整个旋轮线ASL被画出且在S被平分,则部分PS的长度比长度VP(它是角VBP的正弦的两倍,以EB作为半径)如同2CE比CB,因此按照给定的比。

    系理2 且旋轮线的半周长AS等于一条直线,它比轮子的直径BV如同2CE比CB。

    命题L 问题XXXIII

    使一个摆的物体在一条给定的旋轮线上振动。

    在以C为中心画出的球QVS内,设被给定的旋轮线QRS平分于R且它的端点Q和S在两侧与球面相交。引CR平分弧QS于O,且延长它至A,使得CA比CO如同CO比CR。以C为中心,CA为间隔画外球DAF,且在这个球内由一只轮子,它的直径为AO,画出两条半旋轮线AQ,AS,它们与内球在Q和S相切并与外球在A相交。由那个点A,以长度等于AR的细线APT悬挂物体T,且它如此在半旋轮线AQ,AS之间振动,每次摆离开垂线AR,细线的上面部分AP贴附在运动朝向的那条半旋轮线APS上,且围绕着它弯曲如绕阻碍,又细线的其余部分PT没有被半旋轮线阻碍伸展成直线;则重物T在给定的旋轮线QRS上振动。此即所作 。

    因为设细线PT既与旋轮线QRS交于T,又与圆QOS交于V,再引[直线]CV;且对细线的直线部分PT,自端点P和T竖立垂线BP,TW,交直线CV于B和W。显然,从作图和相似图形AS,SR的生成,那些垂线PB,TW从CV上截下的长度VB,VW等于轮子的直径OA,OR。所以TP比VP(它是角VBP的正弦的二倍,以 BV作为半径)如同BW比BV,或者AO+OR比AO,亦即(因CA比CO,CO比CR,由分比,与AO比OR成比例)如同CA+CO比CA,或者,如果BV被平分于E,如同2CE比CB。因此(由命题XLIX系理1)细线的直线部分PT的长度总等于旋轮线的弧PS,且整条细线APT总等于旋轮线的半弧APS,这就是(由命题XLIX系理2)长度AR。且所以,反之,如果细线之长总保持与长度AR相等,点T在给定的旋轮线QRS上运动。此即所证 。

    系理 细线AR等于半旋轮线AS,且因此比外球的半直径AC所具有的比与相似的那条半旋轮线SR比内球的半直径CO所具有的比相同。

    命题LI 定理XVIII

    如果向心力从各个方向趋向一个球的中心C,在每个位置如同这个位置离中心的距离,且只有这个力推动物体T在旋轮线QRS的边缘上振动(按刚才所描述的方式):我说无论振动如何不等,[振动]时间是相等的。

    因为设在旋轮线的无限延长的切线TW上落下垂线CX,并连结CT。因为向心力,由它物体T被推向C,如同距离CT,设这个力(由诸定律的系理II)被分解为分量CX,TX,其中的CX通过自P直接地推动物体而伸展细线PT,由于线的抵抗而完全中止,不产生其他效果;但另一分量TX,横向或者向X推动物体,物体在旋轮线上的运动直接被加速;显然物体的加速度,它与加速力成比例,在每一时刻如同长度TX,亦即,由于CV,WV给定,且TX,TW与它们成比例,如同长度TW,这就是(由命题XLIX系理1)如同旋轮线的弧TR的长度。所以,两个摆APT,Apt被不等地引离垂线AR并同时放开,它们的加速度总如同待要画出的弧TR,tR。但在运动开始时所画出的部分如同加速度,这就是,如同在开始时待要画出的总的弧,且所以等候画出的部分以及尾随的加速度,与这些部分成比例,因此同样如同整个的弧;且如此继续。所以,加速度,因此产生的速度和以这些速度画出的部分,以及待要画出的部分,总如同整个弧;且所以待要画出的弧保持彼此之间的给定的比,并同时消失,亦即,两个振动物体同时到达垂线AR。又因为,另一方面,摆从最低点R上升,由同样的旋轮线弧做后退的运动,在每个位置被同样的力所迟滞,由它们物体在下降时被加速,显然,它们通过同样的弧上升和下降的速度是相等的,且因此在相等的时间发生;所以,由于位于垂线两侧的两个旋轮线的部分RS,RQ相似且相等,两个摆总在相等的时间完成全振动以及半振动。此即所证 。

    系理 力,由它物体T在旋转线上任意的位置T被加速或者迟滞,比在最高位置S或者Q处同一物体的整个重量,如同旋轮线的弧TR比它的弧SR或者QR。

    命题LII 问题XXXI... -->>
本章未完,点击下一页继续阅读
上一章目录下一页

请安装我们的客户端

更新超快的免费小说APP

下载APP
终身免费阅读

添加到主屏幕

请点击,然后点击“添加到主屏幕”