第V部分 论当焦点未被给定时求轨道

    引理 XVII

    如果由给定的圆锥截线上的任意点P，以给定的角向内接于那条圆锥截线的任意不规则四边形ABCD的无限延长的四边AB，CD，AC和DB引相同数目的直线PQ，PR，PS和PT，一条直线对一边：则向两对边所引［的直线］的矩形PQ×PR，比向另两对边所引［的直线］的矩形PS×PT按照给定的比。

    情形1 首先我们假设向对边所引的线与其余边中的某一边平行，设为PQ和PR平行于边AC，且PS和PT平行于边AB。再设上面对边中的两边，设为AC和BD，彼此平行。则直线，它平分那些平行的边，是圆锥截线的一条直径，它也平分RQ。设O为一点，在此处RQ被平分，PO是属于那条直径的纵标线。延长PO至K，使得OK等于PO，则OK是属于那条直径异侧的纵标线。由于点A，B，P和K在圆锥截线上，且PK以给定的角截AB，所以（由阿波罗尼奥斯的《圆锥截线 》卷III，命题17，19，21和23）矩形PQK比AQB按照给定的比。但QK和PR相等，由于相等的线OK，OP以及OQ，OR的差相等，由此矩形PQK和PQ×PR也相等；所以矩形PQ×PR比矩形AQB，这就是比矩形PS×PT按照给定的比。此即所证 。

    情形2 现在我们假设不规则四边形的对边AC和BD不平行。作Bd平行于AC，既交直线ST于t，又交圆锥截线于d。连结Cd截PQ于r，并作DM平行于PQ，截Cd于M且截AB于N。现在，由于三角形BTt，DBN相似，Bt或者PQ比Tt如同DN比NB。这样Rr比AQ或者PS如同DM比AN。所以，前项乘以前项且后项乘以后项，矩形PQ乘以Rr比矩形PS乘以Tt，如同矩形NDM比矩形ANB，且（由情形1）如同矩形PQ乘以Pr比矩形PS乘以Pt，又由分比，如同矩形PQ×PR比矩形PS×PT。此即所证 。

    情形3 最后我们假设四条直线PQ，PR，PS，PT不与边AC，AB平行，而对它们有任意的倾角。代替它们，引Pq，Pr平行于AC；且Ps，Pt平行于AB；因为三角形PQq，PRr，PSs，PTt的角给定，PQ比Pq，PR比Pr，PS比Ps，和PT比Pt为给定的比；因此复合比PQ×PR比Pq×Pr，PS×PT比Ps×Pt ［为给定的比］。但是，由前面的证明，Pq×Pr比Ps×Pt为给定的比；所以比PQ×PR比PS×PT ［为给定的比］。此即所证 。

    引理 XVIII

    对同样的假设，如果向不规则四边形两对边所引［的直线］的矩形PQ×PR比向另两对边所引［的直线］的矩形PS×PT按照给定的比；点P，直线从它而引，位于围绕不规则四边形所画出的圆锥截线上。

    设想经过点A，B，C，D和无穷多点P中的某一个，设为点p，画一圆锥截线：我说点P总位于这一截线上。如果你否认，连结AP截这条圆锥截线于另一点，如果可能的话，设为点b。所以，如果由这些点p和b以给定的角向不规则四边形的边引直线pq，pr，ps，pt和bk，bn，bf，bd；则bk×bn比bf×bd（由引理XVII）如同pq×pr比ps×pt，且如同（由假设）PQ×PR比PS×PT。且由于不规则四边形bkAf，PQAS相似，bk比bf如同PQ比PS。因此，前面比例的项除以这一比例的对应项，得bn比bd如同PR比PT。所以，等角不规则四边形Dnbd，DRPT相似，因此它们的对角线Db，DP重合。于是b落在直线AP，DP的相交部分，因而与P重合。所以，点P，无论怎样取，总落在指定的圆锥截线上。此即所证 。

    系理 因此，如果三条直线PQ，PR，PS由一个公共的点P以给定的角引向相同数目的位置给定的直线AB，CD，AC，一条直线对一条直线，且如果所引的两条直线之下的矩形PQ×PR比第三条直线PS的正方形 （18） （quadratum）按照给定的比：点P，直线从它而引，位于一条圆锥截线上，它与直线AB，CD在A和C相切；且反之亦然。因为直线BD与直线AC重合时，三条直线AB，CD，AC保持位置；然后直线PT与直线PS也重合：矩形PS×PT变成PSquad. ；又，直线AB，CD，它们先前与曲线截于A和B，C和D，现在由于那些点重合曲线不能再与它们相截，而只是相切。

    解释

    在这一引理中，圆锥截线的名称在更广的意义上被使用，在此情况下不但包括经过圆锥顶点的直线形截线，而且包括平行于底的圆形截线。因为，如果点p落在一条直线上，由它点A和D或者C和B被连结，圆锥截线变为一对直线，其中之一是那条直线，点p落在其上，另一是一条直线，四点中另外两点被它连结。如果不规则四边形的两对角合在一起等于两个直角，且引向其边的四条直线PQ，PR，PS，PT或者与边垂直，或者与边成任意相等的角，且所引的两直线［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR等于所引的另两直线［PS，PT］之下的矩形PS×PT，圆锥截线变成圆。同样的事情会发生，如果以任意角引四条直线，且所引的两直线［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR比另两直线［PS，PT］之下的矩形PS×PT，如同引后面的两直线PS，PT的角S，T的正弦之下的矩形，比引前面的两直线PQ，PR的角Q，R的正弦之下的矩形。在其余的情形点P的轨迹是其他三种图形，它们通常被称为圆锥截线。但可用其两对边如对角线那样相互交叉的四边形代替不规则四边形ABCD。然而四个点A，B，C，D中的一个或两个点可跑到无穷远处，图形的汇聚到这些点的边变为平行：在这种情形圆锥截线经过其他的点，并如平行线那样远离以至无穷。

    引理 XIX

    求点P，如果由它向数目相同的，位置给定的直线AB，CD，AC，BD以给定的角引四条直线PQ，PR，PS，PT，一条直线对一条直线，所引的二条直线［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR比所引的另外两条直线［PS，PT］之下的矩形PS×PT，按照给定的比。

    设直线AB，CD，往它们所引的两直线PQ，PR包含矩形中的一个，与其他位置给定的两条直线交于A，B，C，D。从它们之中的A作任意直线AH，你期望在其上找到点P。它截相对的直线BD，CD，即截BD于H且截CD于I，又因图形的所有角被给定，PQ比PA和PA比PS之比被给定，因此PQ比PS之比亦被给定。从给定的比PQ×PR比PS×PT中移去这个比，PR比PT之比被给定，又添加上给定的比PI比PR和PT比PH，PI比PH之比被给定，因此点P亦被给定。此即所求 。

    系理1 因此向无穷多个P点的轨迹上的任意点D可引切线。因为弦PD，当点P和D相遇时，这就是，当所引的AH经过D时，成为切线。在这种情形，正消失的线IP和PH的最终比如上被发现。所以引平行于AD的CF交BD于F，它以最终比截于E，则DE为切线，因为CF和正消失的IH平行，且相似地截于E和P。

    系理2 因此，也能确定所有点P的轨迹。经任意点A，B，C，D，设为A，引轨迹的切线AE，又过另外任意一点B引平行于切线的BF交轨迹于F。由引理XIX发现点F。BF平分于G，所作的不定直线AG在直径的位置上，BG和GF为附属于它的纵标线。这个AG交轨迹于H，则AH是直径或者横截径 （19） （latus transversum），通径比它如同BGq 比AG×GH。若AG不与轨迹相交，直线AH无限延伸，轨迹为抛物线，其对应于直径AG的通径为（BGq ）/（AG）。如果它与轨迹交于某处，当点A和H在G的同侧时，轨迹为双曲线；当G在中间时，为椭圆，除非角AGB为直角，并且BGquad. 等于矩形AGH，在这种情况下轨迹为圆。

    如是关于四线的古老问题，由欧几里得开始，并经过阿波罗尼奥斯继续，不用计算，而用几何作图，在本系理中所显示的，正如古人的要求。

    引理 XX

    如果任意的平行四边形ASPQ的两个对角A和P与任意的圆锥截线在点A和P接触；并且那些角中的一个的无限延伸的边AQ，AS与同一圆锥截线在B和C相交；再由交点B和C向圆锥截线上任意的第五个点D引两条直线BD，CD，它们与平行四边形的无限延伸的边PS，PQ交于T和R：边被截下的部分PR与PT彼此之比总按照给定的比。且反之，如果那些截下的部分彼此之比按照给定的比，点D接触过四点A，B，C，D的圆锥截线。

    情形1 连结BP，CP并由点D引两直线DG，DE，它们中的前者DG平行于AB且交PB，PQ，CA于H，I，G；另外一条直线DE平行于AC且交PC，PS，AB于F，K，E：则（由引理XVII）矩形DE×DF比矩形DG×DH按照给定的比。但是PQ比DE（或者IQ）如同PB比HB，且由此如同PT比DH；并由更比，PQ比PT如同DE比DH。又PR比DF如同RC比DC，且因此如同（IG或者）PS比DG，再由更比，PR比PS如同DF比DG；由比的结合，矩形PQ×PR比矩形PS×PT如同矩形DE×DF比矩形DG×DH，因此按照给定的比。但是PQ和PS被给定，所以PR比PT之比被给定。此即所证 。

    情形2 但是，如果PR和PT彼此之比被假定为按照给定的比，由类似的理由回推，得到矩形DE×DF比矩形DG×DH按照给定的比，且因此点D（由引理XVIII）位于经过点A，B，C，P的圆锥截线上。此即所证 。

    系理1 因此，如果引BC截PQ于r，且在PT上，按照Pt比Pr之比与PT比PR所具有的比相同，取Pt：则Bt是圆锥截线在点B的切线。因为当点D与点B会合时，使得弦BD消失，BT成为切线；且CD和BT与CB和Bt重合。

    系理2 且反之亦然，如果Bt为切线，且BD，CD相遇于圆锥截线上任意的点D；PR比PT如同Pr比Pt。反之，如果PR比PT如同Pr比Pt：BD，CD相遇于圆锥截线上的某点D。

    系理3 一条圆锥截线不能与另一条圆锥截线在多于四个点相截。因为，如果这是可能的，两条圆锥截线通过五点A，B，C，P，O；直线BD截它们于D和d，且PQ截直线Cd于q。所以PR比PT如同Pq比PT；因此PR和Pq彼此相等，这与假设相悖。

    引理 XXI

    如果两条活动且无限的直线BM，CM经由作为极的给定的点B，C引出，由它们的交点M画出位置给定的第三条直线MN；引另外两条无限的直线BD，CD，它们与先引的两条直线在所给定的点B，C构成给定的角MBD和MCD：我说这两条直线BD，CD由它们的交点D画出经过点B，C的圆锥截线。且反之亦然，如果直线BD和CD的交点D画出一条经过给定的点B，C，A的圆锥截线，则角DBM总等于给定的角ABC，角DCM总等于给定的角ACB；点M位于位置给定的直线上。

    因为在直线MN上设点N被给定，且当动点M落在不动的N时，动点D落在不动的P。连结CN，BN，CP，BP，且由点P作直线PT，PR交BD，CD于T和R，并使得角BPT等于给定的角BNM，且角CPR等于给定的角CNM。然而（由假设）角MBD，NBP相等，正如角MCD，NCP；去掉公共的［角］NBD和NCD，剩下的［角］NBM和PBT，NCM与PCR相等，且因此三角形NBM，PBT相似，正如三角形NCM，PCR。故PT比NM如同PB比NB，且PR比NM如同PC比NC。但是点B，C，N，P是不动的。所以PT和PR比NM有给定的比；因此［PT和PR］相互之比为给定的比；于是（由引理XX）点D，在那里动直线BT和CR的持续相交，在经过点B，C，P的圆锥截线上。此即所证 。

    且反之，如果动点D落在经过给定的点B，C，A的圆锥截线上，且角DBM总等于给定的角ABC，角DCM总等于给定的角ACB，又当点D相继落在截线上任意两个不动的点p，P时，动点M相继落在两个不动的点n，N：过同样的n，N引直线nN，这是那个动点M的持续不断的轨迹。因为，如果可能，假使点M位于某一曲线上。所以当点M持续位于曲线上时，点D位于经过五点B，C，A，p，P的圆锥截线上。但是，由已证明的，当点M持续在直线上时，点D也位于经过同样五点B，C，A，p，P的圆锥截线上。所以两条圆锥截线经过相同的五点，与引理XX的系理3相悖。因而点M位于曲线上是荒谬的。此即所证 。

    命题XXII 问题XIV

    经过五个给定的点画出一条轨道。

    设五个点A，B，C，P，D被给定。由它们中的某一点A往另外两个任意点B，C，它们被称为极，作直线AB，AC，又过第四点P引与这些直线平行的线TPS，PRQ。然后由两极B，C引过第五点D的两条无穷直线BDT，CRD，与最新引的TPS，PRQ（前者交前者且后者交后者）交于T和R。最后，对于直线PT，PR，作直线tr平行于TR，所截下的任意的Pt，Pr与PT，PR成比例；且如果过它们的端点t，r和极B，C作［直线］Bt，Cr交于d，那个点d位于所求的轨道上。因为那个点d（由引理XX）位于经过四点A，B，C，P的圆锥截线上；且直线Rr，Tt消失时，点d与点D重合。所以圆锥截线穿过五个点A，B，C，P，D。此即所证 。

    另解

    在给定的点中连结任意的三点A，B，C；且围绕它们中作为极的两点B，C，转动大小给定的角ABC，ACB，先应用股BC，CA于点D，然后用于点P，并标记点M，N，另两股BL，CL在每一情形在那里交叉。引无穷直线MN，并围绕它们的极B，C转动那些动角，使得股BL，CL或者BM，CM的交叉，它现在是m，总落在那条无穷直线MN上；且股BA，CA，或者BD，CD的交叉，它现在是d，画出所求的轨道PADdB。因为点d（由引理XXI）位于过点B，C的圆锥截线上；且当点m靠近点L，M，N时，点d（由作法）靠近点ADP。因此经过五个点A，B，C，P，D的圆锥截线被画出。此即所作 。

    系理1 因此，能便捷地引一直线，它与所得到的轨道在任何给定的点B相切。点d前进到点B，直线Bd将成为所求的切线。

    系理2 因此轨道的中心、直径和通径亦可以求得，如按照引理XIX的系理2。

    解释

    连结BP使前一作法变得更为简单，且那条直线，如果需要，则延长之，在其上取Bp比BP如同PR比PT；又过p引无穷直线pe与SPT平行，并在pe之上总取pe等于Pr；再引直线Be，Cr交于d。因为，由于Pr比Pt，PR比PT，pB比PB，pe比Pt按照相同的比；pe和Pr总相等。由这个方法发现轨道的点最为便捷，除非你愿意用机械的方法画出曲线，如按照第二种作法。

    命题XXIII 问题XV

    画出一条轨道，它经过四个给定的点，并与一条位置给定的直线相切。

    情形1 设切线HB，切点B，且其他三点C，D，P被给定。连结BC，并引PS平行于直线BH，以及PQ平行于直线BC，补足平行四边形BSPQ。作BD截SP于T，且CD截PQ于R。此后，引任意的tr平行于TR，从PQ，PS上所截下的Pr，Pt分别与PR，PT成比例；再作Cr，Bt交于d，（由引理XX）它总落在要画的轨道上。

    另解

    既围绕极B转动大小给定的角CBH，又围绕极C转动任意向两方延伸的半径DC。标记点M，N，在那里角的股BC截那条半径，当它的另一股与同一半径交于点P和D时。然后作无穷直线MN，设那条半径CP或者CD与角的股BC的总交在这条直线上，且［角的］另一股BH与半径的交点画出所要的轨道。

    因为如果在前一问题的作法中，点A靠近点B，直线CA与CB将重合，且线AB在最终位置成为切线BH；因此在那里的作法变得与这里描述的相同。所以股BH与半径的交点画出经过点C，D，P，且与直线BH在B相切的一条圆锥截线。此即所作 。

    情形2 设给定的四个点B，C，D，P位于切线HI之外。两两连结给定的点，直线BD，CP交于G，且交切线于H和I。切线在A被截，使得HA比IA，如同CG和GP之间的比例中顶与BH和HD之间的比例中项之下的矩形比DG和GB之间的比例中顶与PI和IC之间的比例中项之下的矩形；则A为切点。因为，如果平行于直线PI的HX截轨道于任意点X和Y：则（由《圆锥截线 》）点A所在的位置，使得HAquad. 比AIquad. 按照来自矩形XHY比矩形BHD之比，或者矩形CGP比矩形DGB之比，和来自矩形BHD比矩形PIC之比的复合比。但是在找到切点A之后，轨道按照第一种情形被画出。此即所作 。

    然而点A可能既取在点H和I之间，又取在它们之外；［在这种情况］照样画出两道轨道。

    命题XXIV 问题XVI

    画出一条轨道，它经过三个给定的点，并与两条位置给定的直线相切。

    设切线HI，KL被给定，且点B，C，D被给定。经两任意点B，D作无穷直线交切线于点H，K。然后亦经另外两任意点C，D作无穷直线CD交切线于点I，L。截已作的［直线］于R和S，使得HR比KR如同BH和HD之间的比例中项比BK和KD之间的比例中项；且IS比LS如同CI和ID之间的比例中项比CL和LD之间的比例中项。随意截在点K和H，I和L之间，或者它们之外；然后作［直线］RS截切线于A和P，则A和P为切点。因为，如果A和P被假设为切线上的某些切点；经点H，I，K，L中任意的点I，它位于一条切线HI上，作直线IY平行于另一条切线KL，它交曲线于X和Y，并在这条直线上取IZ为IX和IY之间的比例中项：由《圆锥截线 》，矩形XIY或IZquad. 比LPquad. 如同矩形CID比矩形CLD，亦即（由作图）如同SIquad. 比SLquad. 。因此IZ比LP如同SI比SL。所以点S，P，Z位于一条直线上。因为切线交于G，则（由《圆锥截线 》）矩形XIY或IZquad. 比IAquad. 如同GPquad. 比GAquad. 。因此IZ比IA如同GP比GA。所以点P，Z和A位于一条直线上，且因此点S，P和A在一条直线上。又由同样的论证，证得点R，P和A在一条直线上。所以切点A和P位于直线RS上。找到这些点之后，轨道按照上一问题的第一种情形被画出。此即所作 。

    在本命题和上一命题的第二种情形中，无论直线XY截轨道于X和Y，或者不相截，作图法是一样的；它们与截线无关。但是当已证明那条直线与此轨道相截时的作图法，就能明了不相交时作图法；为了简捷我不再继续进一步的证明。

    引理 XXII

    把图形变为同一种类的其他图形。

    设要变换的是任意图形HGI。随意引两条平行线AO，BL，截第三条位置给定的任意直线AB于A和B，且由图形的任意一点G，往直线AB引任意的GD，它与OA平行。然后由另一点O，它在直线OA上被给定，往点D引直线OD，它交直线BL于d，并由交点以与直线BL包含任意给定的角竖立直线dg，且它具有与Od之比如同DG比OD具有之比；则点g为点G在新图形hgi中对应的点。由同样的方式，原图形中的每个点给出新图形中同样数目的点。所以，设想点G持续运动走遍原图形中的所有点，则点g以类似的持续运动走遍新图形中的所有点并画出同一图形。为了便于区分，我们称DG为原纵标线，dg为新纵标线；AD为原横标线，ad为新横标线；O为极，OD为交截半径，OA为原纵半径，且Oa（由被补足的平行四边形OABa）为新纵半径。

    现在，我说，如果点G位于位置给定的一条直线上，点g也位于位置给定的一条直线上。如果点G位于一条圆锥截线上，点g也位于一条圆锥截线上。这里我把圆算在圆锥截线中。而且如果点G位于一条三次分析阶（ordo analyticus）的［曲］线上，则点g位于三阶的［曲］线上；同样对更高阶的曲线亦是如此。点G，g位于的两曲线的分析阶总相同。因为ad比OA如同Od比OD，dg比DG，以及AB比AD；且因此AD等于（OA×AB）/（ad），且DG等于（OA×dg）/（ad）。现在如果点G位于一直线上，因此在任意的方程中，它具有横标

    线AD和纵标线DG之间的关系，那些未... -->>
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