第II部分 论求向心力

由它一个物体以趋向某个公共的中心的力画出一个给定的图形，求那个中心。

    设三条直线PT，TQV，VR与所画出的图形在同样数目的点P，Q，R相切并交于T和V。在切线上竖直垂线PA，QB，RC，它们与在切线竖立起的那些点P，Q，R［处物体］的速度成反比；亦即，PA比QB如同在Q的速度比在P的速度，且QB比RC如同在R的速度比在Q的速度。经垂线的端点A，B，C［与这些垂线］成直角地引AD，DBE，EC交于D和E：则作成的TD，VE交于要求的中心S。

    因为由中心S落到切线PT，QT上的垂线（由命题I系理1）与物体在点P和Q的速度成反比；因此由作图与垂线AP，BQ成正比，亦即如同由D点落到切线［PT］上的垂线。因此易于推断出点S，D，T在一条直线上。又由类似的论证，点S，E，V亦在一条直线上；且所以中心S位于直线TD，VE的相交之处。此即所证 。

    命题VI 定理V

    如果一个物体在一无阻力的空间围绕一个不动的中心在任意的轨道上运行，并在极短的时间画出任意一条刚要消失的弧，并且如果所引的弧的矢被理解为它平分弦且延长时穿过力的中心：在弧中间的向心力与矢成正比且与二次时间成反比。

    因为在一给定时间的矢如同力（由命题I系理4），且按任意的比增大时间，由于弧按同样的比增大，矢按照那个比的二次方被增大（由引理XI系理2和系理3），因此如同一次力和二次时间。从两边除去时间的二次比，力变为如同矢的正比和二次时间的反比，此即所证 。

    此命题易于由引理X的系理4证明。

    系理1 如果物体P围绕中心S运行画出曲线APQ；直线ZPR切那条曲线于任意点P，从曲线上另一任意点Q引QR平行于距离SP，并向那个距离SP落下垂线QT：向心力与立体 成反比；只要那个立体总取作当点P与Q重合时的最终的度量。因为QR等于中点在P二倍于弧QP的［一段弧的］矢，且三角形SQP的二倍或者SP×QT与一段时间成比例，在此期间二倍的那个弧被画出，且因此能代替时间。

    系理2 由同样的论证，向心力与立体 成反比，只要SY是从力的中心落到轨道的切线PR上的垂线。因为矩形SY×QP与SP×QT相等。

    系理3 如果轨道或者为圆形，或者与一圆同心相切，或者同心相截，亦即，［轨道］与圆所含的切角或者交角为最小，在点P有同样的曲率及同样的曲率半径；且如果PV为由物体过力的中心所作成的这个圆的弦：向心力与立体SYq ×PV成反比。因为PV即是 。

    系理4 对同样的题设，向心力与二次速度成正比，且与那条弦成反比。因为由命题I系理1，速度与垂线SY成反比。

    系理5 因此，如果任意曲线图形APQ被给定，且在其上也给

    定一点S，向心力持续指向它，能发现向心力的定律，由它任意物体P不断地被拉离直线路径，并被保持在那个图形的周线上，且在运行时也画出它［作为轨道］。于是需计算与这个力成反比的立体 或者立体SYq ×PV。在下面的问题中，我们给出这类例子。

    命题VII 问题II

    使一个物体在一圆的圆周上运行，需求趋向任意给定点的向心力的定律。

    令圆周为VQPA，S为给定的点，它作为力趋向的中心；物体P在圆周上转动，Q为相邻的，它要运动到的位置；且圆在前一位置P的切线为PRZ。经点S引弦PV，并作圆的直径VA，连结AP；且往SP上落下垂线QT，延长它交切线PR于Z；然后又过点Q引LR，它与SP平行，又交圆于L，切线PZ于R。因三角形ZQR，ZTP，VPA相似，RPquad. ，这就是QRL比QTquad. 如同AVquad. 比PVquad. 。因此 等于QTquad. 。这些相等的量乘以 ，且当点P和Q重合时用PV代替RL。如上所言， 变为与 相等。所以（由命题VI系理1和系理5）向心力与 成反比；亦即（由于AVquad. 给定）与距离或高度SP的平方及弦PV的立方（cubus）的联合成反比。此即所求 。

    另解

    往延长了的切线PR上落下垂线SY；又由相似三角形SYP，VPA；AV比PV如同SP比SY：因此 等于SY，且 等于SYquad. ×PV。所以（由命题VI系理3和系理5）向心力与 成反比，这就是，因AV给定，与SYq ×PVcub. 成反比。此即所求 。

    系理1 因此，如果给定点S，向心力总趋向它，它位于这个圆的圆周上，比如说在V，则向心力与高度SP的五次方成反比。

    系理2 力，由它物体P在圆周APTV上围绕力的中心S运行，比一个力，由它同一个物体P能在同一个圆上以相同的循环时间围绕另外一个任意力的中心R运行，如同RPquad. ×SP比直线SG的立方，SG为从第一个力的中心S向轨道的切线PG所引的，并与物体离第二个力的中心的距离平行的直线。因为由这个命题的作图，前一个力比后一个力如同RPq ×PTcub. 比SPq ×PVcub. ，亦即，如同SP×RPq 比 ，或者（由于相似三角形PSG，TPV）比SGcub. 。

    系理3 力，由它物体P在任意轨道上围绕力的中心S运行，比一个力，由它同一个物体P能在同一轨道上以相同的循环时间围绕另外一个任意的力的中心R运行，如同物体离第一个力的中心S的距离和它离第二个力的中心P的距离的平方所包含的［立体］ SP×RPq 比直线SG的立方，它［SG］从第一个力的中心S向轨道的切线PG所引，且平行于物体离力的第二个力的中心的距离RP。因为在这个轨道上任意点P的力与在同曲率的圆上的力是相同的。

    命题VIII 问题III

    使一个物体在半圆PQA上运动；需求有如此效果的向心力的定律，力趋向的点S是如此之远，以至所有向它引的直线PS和RS可以认为是平行的。

    自半圆的中心C引半直径CA与那些平行线垂直截于M和N，并连结CP。因为三角形CPM，PTZ和RZQ相似，CPq 比PMq 如同RPq 比QTq ，又由圆的性质，RPq 等于矩形 ，或者当点P和Q会合时，等于矩形QR×2PM。所以CPq 比PMquad. 如同QR×2PM比QTquad. ，且因此 等于 ，又 等于 。所以（由命题VI系理1和系理5）向心力与 成反比，此即（忽略定比 ）与PMcub. 成反比。此即所求 。

    由前一命题容易导出同样的结论。

    解释

    且由［与此］没有多大差异的论证，一个物体被发现在椭圆，或者双曲线，或者抛物线上运动，向心力，它与趋向极为遥远的力的中心的纵标线的立方成反比。

    命题IX 问题IV

    使一个物体在与所有半径SP，SQ，等等，以一定角相截的螺线PQS上运行：需求趋向螺线中心的向心力的定律。

    设不确定的小角PSQ被给定，又由于所有的角已给定，图形SPRQT的种类亦被给定。所以比 被给定，又 如同QT，这就是（由于那个图形的种类给定）如同SP。现在任意改变角PSQ，切角QPR所对的直线QR（由引理XI）按照PR或QT的二次比变化。所以 与前面保持一样，这就是，如同SP。于是 如同SPcub. ，因此（由命题VI系理1和系理5）向心力与距离SP的立方成反比。此即所求 。

    另解

    在切线上落下垂线SY，又共心截螺线的圆的弦PV比高度SP按照给定的比；且因此SPcub. 如同SYq ×PV，这就是（由命题VI系理3和系理5）与向心力成反比。

    引理XII

    所有围绕一个给定的椭圆或双曲线的任意共轭直径所画出的平行四边形彼此相等。

    这由《圆锥截线 》是显然的。

    命题X 问题V

    使一个物体在一椭圆上运行：需求趋向椭圆的中心的向心力的定律。

    令CA，CB为椭圆的半轴；GP，DK为另外的共轭直径；PF，QT垂直于直径；Qv为附属于直径Gp的纵标线，且如果补足平行四边形QvPR，则（由《圆锥截线 》）矩形PvG比Qvquad. 如同PCquad. 比CDquad. ，又（由于相似三角形QvT，PCF）Qvquad. 比QTquad. 如同PCquad. 比PFquad. 。这些比相结合，矩形PvG比QTquad. 如同PCquad. 比CDquad. ，及PCquad. 比PFquad. ，亦即vG比（QTquad. ）/（Pv）如同PCquad. 比（CDq ×PFq ）/（PCq ）。把Pv写成QR，且（由引理XII）CD×PF写成BC×CA，以及（当点P和Q重合时）把vG写作2PC，又未项和中项彼此相乘，（QTqund ×PCq ）/（QR）等于（2BCq ×CQq ）/（PC）。所以（由命题VI系理5）向心力与（2BCq ×CAq ）/（PC）成反比；亦即（由于2BCq ×CAq 给定）与1/（PC）成反比；这就是，与距离PC成正比。此即所求 。

    另解

    在直线PG上点T的另一侧按照Tu等于Tv取点u；然后取uV，它比vG如同DCquad. 比PCquad. 。又因为由《圆锥截线 》，Qvquad. 比PvG如同DCquad. 比PCquad. ，Qvquad. 等于Pv×uV。两边加上矩形uPv，出现弧PQ的弦的平方等于矩形VPv；且因此圆，它与圆锥截线在P点相切，穿过点Q，亦穿过点V。点P与Q重合时，uV比vG之比，它与DCq 比PCq 之比相同，变成PV比PG或PV比2PC之比；因此PV等于（2DCq ）/（PC）。是以力，由它物体P在椭圆上运行，与（2DCq ）/（PC）乘以PFq 成反比（由命题VI系理3），这就是（由于2DCq 乘以PFq 给定）与PC成正比。此即所求 。

    系理1 所以，力如同物体离椭圆的中心的距离；且反之，如果力如同距离，物体在其中心在力的中心的一个椭圆上运动，或者也许在圆上，椭圆能变化为圆。

    系理2 且在围绕同一中心的所有椭圆上所做的运行的循环时间相等。因为那些时间在相似的椭圆上相等（由命题IV系理3和系理8），但是在具有公共长轴的椭圆上，它们的相互之比如同整个椭圆面积的正比和同时画出的小部分面积的反比；亦即，与短轴成正比，且与物体在主顶点 （12） （vertex principalis）的速度成反比；这就是，与那些短轴成正比，且与公共轴的同一点所属的纵标线成反比；且所以（由于正比和反比的相等性）按照等量之比。

    解释

    如果椭圆的中心跑至无穷远，椭圆变为抛物线，物体在此抛物线上运行；现在趋向在无穷远距离的中心的力最终相等。这是伽利略的定理。且如果圆锥的抛物线形截面（通过改变圆锥截面的倾斜）变为双曲线，在这个［截面］边缘运动的物体的向心力变为离心力。且正如在圆或椭圆中，如果力趋向的图形的中心位于横标线上，按照任意给定的比增加或减小纵横线，或者改变纵标线对横标线的倾斜角，这些力总按照到中心的距离的比增大或减小，只要循环时间保持相等；因此在一般的图形中，如果纵标线按任意给定的比增大或减小，或者纵标线的倾角任意变化，保持循环时间［不变］，趋向位于任意横标线上的中心的力，对每一条纵标线，按照离中心的距离之比增大或减小。